Database

Cho $x,y,z$ đôi một khác nhau và khác không thỏa $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=0$. Tính:

$\displaystyle A=\frac{xy}{z^2+2xy}+\frac{yz}{x^2+2yz}+\frac{zx}{y^2+2zx}$

Giải.

Điều kiện $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=0$ tương đương với $xy+yz+zx=0$.

Ta có:

$x^2+2yz=x^2+yz+yz=x^2+yz-xy-zx=(x-y)(x-z)$

$z^2+2xy=(z-x)(z-y)$

$y^2+2zx=(y-z)(y-x)$

Nên suy ra:

$\displaystyle A=\frac{xy}{(z-x)(z-y)}+\frac{yz}{(x-y)(x-z)}+\frac{zx}{(x-z)(x-y)}$

$\displaystyle =\frac{xy(y-x)+yz(z-y)+zx(x-z)}{(x-y)(y-z)(z-x)}$

$\displaystyle =\frac{xy[(y-z)+(z-x)]+yz(z-y)+zx(x-z)}{(x-y)(y-z)(z-x)}$

$\displaystyle =\frac{(y-z)(xy-yz)+(z-x)(xy-zx)}{(x-y)(y-z)(z-x)}$

$\displaystyle =\frac{-y(y-z)(z-x)+x(z-x)(y-z)}{(x-y)(y-z)(z-x)}$

$\displaystyle =\frac{(x-y)(y-z)(z-x)}{(x-y)(y-z)(z-x)}$

$=1$

---

Tìm GTNN của biểu thức $$A={x-\sqrt{x}+1\over 2012\sqrt{x}}$$

Cho $\displaystyle f(x)={2018^x \over 2018^x+\sqrt{2018}}$,
i) Chứng minh rằng nếu $a,b\in\mathbb{R}; a,b=1$ thì $f(a)+f(b)=1$
ii) Tính giá trị của biểu thức $$S=f\left(\frac{1}{2019} \right)+f\left(\frac{2}{2019} \right)+f\left(\frac{3}{2019} \right)+\cdots +f\left(\frac{2018}{2019} \right)$$