Tính đơn điệu của hàm số

 Nhắc lại kiến thức về xét dấu.

1. Khái niệm

Định nghĩa

Cho hàm số $f(x)$ xác định trên $I$ (khoảng, nửa khoảng, đoạn).

• Hàm số $f(x)$ được gọi là đồng biến trên $I$ nếu $$\forall x_1,x_2\in I, x_1<x_2\Leftrightarrow f(x_1)<f(x_2);$$
• Hàm số $f(x)$ được gọi là nghịch biến trên $I$ nếu $$\forall x_1,x_2\in I, x_1<x_2\Leftrightarrow f(x_1)>f(x_2).$$

Hàm số luôn đồng biến hay luôn nghịch biến trên $I$ gọi là đơn điệu trên $I$.

2. Tính chất

Điều kiện cần để hàm số đơn điệu trên một khoảng

Cho hàm số $f(x)$ có đạo hàm trên khoảng $I$

• Nếu $f(x)$ đồng biến trên khoảng $I$ thì $f(x)\ge 0, \forall x\in I$;
• Nếu $f(x)$ nghịch biến trên khoảng $I$ thì $f(x)\le 0, \forall x\in I$.

Điều kiện đủ để hàm số đơn điệu trên một khoảng

Cho hàm số $f(x)$ có đạo hàm trên khoảng $I$

• Nếu $f'(x)\ge 0$ với mọi $x\in I$ thì hàm số đồng biến trên khoảng $I$, (dấu "$=$" xảy ra tại hữu hạn điểm thuộc $I$);
• Nếu $f'(x)\le 0$ với mọi $x\in I$ thì hàm số nghịch biến trên khoảng $I$, (dấu "$=$" xảy ra tại hữu hạn điểm thuộc $I$);
• Nếu $f'(x)=0$ với mọi $x\in I$ thì $f(x)$ không đổi (tức $f(x)$ là hàm hằng) trên $I$.

3. Các bước xét tính đơn điệu

Bước 1. Tập xác định.

Bước 2. Tìm các điểm $x_i$ mà tại đó $f'(x_i)=0$ hoặc $f(x_i)$ không xác định.

Bước 3. Lập bảng biến thiên.

Bước 4. Dựa vào bảng biến thiên đưa ra kết luận về tính đơn điệu.

Ví dụ.