MỘT SỐ BÀI TOÁN HÌNH THÚ VỊ

Cho tam giác $ABC$, chứng minh rằng trọng tâm $G$ chia tam giác thành ba tam giác có diện tích bằng nhau.

Giải

$\displaystyle \frac{GH}{AK}=\frac{GM}{AM}=\frac{1}{3}\Leftrightarrow GH=\frac{1}{3}AK$

Suy ra

$\displaystyle S_{GBC}=\frac{1}{3}S_{ABC}$

---

---

Cho tứ diện $S.ABC$, $G$ là trọng tâm tam giác $ABC$, gọi $A',B',C'$ lần lượt là các điểm nằm trên $SA,SB,SC$. Gọi $G'$ là giao của $SG$ và mặt $A'B'C'$. Chứng minh rằng $$\frac{SA}{SA'}+\frac{SB}{SB'}+\frac{SC}{SC'}=3\frac{SG}{SG'}$$

Giải

Updating...

---

---

Một cái phễu có hình dạng nón, có thiết diện qua trục là tam giác đều cạnh $a$. Ta đổ nước vào phễu, giả sử chiều cao nước trong phễu là $h$ ($0<h<a\sqrt{3}$). Sau đó ta đặt một quả cầu nội tiếp phễu thì thấy mực nước dâng lên vừa đúng miệng phễu. Tính chiều cao $h$ (theo $a$) của cột nước lúc đầu

Giải

Gọi $h,H$ lần lượt là chiều cao của mực nước trong phễu và phễu

Gọi $r$ là bán kính quả cầu nội tiếp trong phễu

Gọi $r'$ là bán kính mặt nước trong phễu khi chưa đặt quả cầu vào

Gọi $R$ là bán kính mặt nước trong phễu khi đặt quả cầu vào (bán kính mặt phễu)

Dễ thấy $\displaystyle H=a\frac{\sqrt{3}}{2}, R=\frac{a}{2}$

Dễ dàng chứng minh được $\displaystyle r=\frac{1}{3}H \quad (1)$

Theo hình ta có

$\displaystyle \frac{r'}{R}=\frac{h}{H} \quad (2)$

Ta cũng có

$\displaystyle V_{\text{nuoc}}=V_{\text{pheu}}-V_{\text{cau}}$

$r'^2=R^2-4r^3 \quad (3)$

ừ $(1),(2),(3)$ suy ra

$\displaystyle h=a\sqrt[3]{\frac{5\sqrt{3}}{24}}$