MỘT SỐ BÀI TOÁN HÌNH THÚ VỊ

Cho tam giác $ABC$, chứng minh rằng trọng tâm $G$ chia tam giác thành ba tam giác có diện tích bằng nhau.

Giải

${\displaystyle \frac{GH}{AK}=\frac{GM}{AM}=\frac{1}{3}\iff GH=\frac{1}{3}AK}$

Suy ra

${\displaystyle S_{GBC}=\frac{1}{3}{S}_{ABC}}$

---

---

Cho tứ diện $S.ABC$, $G$ là trọng tâm tam giác $ABC$, gọi $A^{\prime },B^{\prime },C^{\prime }$ lần lượt là các điểm nằm trên $SA,SB,SC$. Gọi $G^{\prime }$ là giao của $SG$ và mặt $A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$. Chứng minh rằng $$\frac{SA}{S{A}^{\prime }}+\frac{SB}{S{B}^{\prime }}+\frac{SC}{S{C}^{\prime }}=3\frac{SG}{S{G}^{\prime }}$$

Giải

Updating...

---

---

Một cái phễu có hình dạng nón, có thiết diện qua trục là tam giác đều cạnh $a$. Ta đổ nước vào phễu, giả sử chiều cao nước trong phễu là $h$ ($0<h<a\sqrt{3}$). Sau đó ta đặt một quả cầu nội tiếp phễu thì thấy mực nước dâng lên vừa đúng miệng phễu. Tính chiều cao $h$ (theo $a$) của cột nước lúc đầu

Giải

Gọi $h,H$ lần lượt là chiều cao của mực nước trong phễu và phễu

Gọi $r$ là bán kính quả cầu nội tiếp trong phễu

Gọi $r^{\prime }$ là bán kính mặt nước trong phễu khi chưa đặt quả cầu vào

Gọi $R$ là bán kính mặt nước trong phễu khi đặt quả cầu vào (bán kính mặt phễu)

Dễ thấy ${\displaystyle H=a\frac{\sqrt{3}}{2},R=\frac{a}{2}}$

Dễ dàng chứng minh được ${\displaystyle r=\frac{1}{3}H(1)}$

Theo hình ta có

${\displaystyle \frac{r^{\prime }}{R}=\frac{h}{H}(2)}$

Ta cũng có

${\displaystyle V_{\text{nuoc}}=V_{\text{pheu}}-V_{\text{cau}}}$

$r^{\prime 2}=R^2-4r^3(3)$

ừ $(1),(2),(3)$ suy ra

${\displaystyle h=a\sqrt[3]{\frac{5\sqrt{3}}{24}}}$