CÁCH VẼ VÀ TỊNH TIẾN ĐỒ THỊ ĐẶC BIỆT

Bài toán tịnh tiến đồ thị (chuyên đề tịnh tiến đồ thị) là một bài toán khá hay gặp trong chương trình THPT lớp 12, thường thì bài toán tịnh tiến đồ thị này không được cho theo một cách riêng lẻ, nhưng nó được vận dụng trong các bài toán lớn hơn, đặt biệt là các bài toán khó, có chứa tham số, biện luận. Do vậy việc nắm bắt được ý tưởng của dạng này là rất quan trọng, đồng thời, việc tịnh tiến đồ thị này cho ta một cách nhìn mới mẻ về đồ thị hàm số, một cách hiểu mới, một tư duy mới, điều vô cùng thú vị trong cuộc sống cũng như trong toán.

Xưa kia ta chỉ biết đồ thì là cho điểm rồi vẽ, cứ như thế, cho phức tạp vẽ phức tạp, cho đơn giản vẽ đơn giản, nhưng đọc xong bài này ta có thể thấy, từ những đồ thì của hàm số phức tạp, một cách nào đó ta quy về những đồ thị dễ hơn, mà quy những vấn đề khó về những vấn đề dễ là tư duy phổ biến trong cuộc sống nói chung và trong toán nói riêng

(Nói thì nói vậy chứ những đồ thị của các hàm số mũ cao hay chứa căn cũng khóc thét @@)

Việc hiểu và nắm được ý tưởng chủ đạo của việc tịnh tiến đồ thị sẽ giúp ta có có nhìn dễ chịu hơn về những bài toán có liên quan đến đồ thị

---

Vẽ đồ thị chứa trị tuyệt đối

Đồ thị	Cách vẽ
$y=f(-x)$	Lấy đối xứng đồ thị hàm số $y=f(x)$ qua trục $Oy$
$y=-f(x)$	Lấy đối xứng đồ thị hàm số $y=f(x)$ qua trục $Ox$
$y=f(|x|)$	- Giữ nguyên phần đồ thị $y=f(x)$ bên phải $Oy$ - Bỏ phần đồ thị $y=f(x)$ bên trái $Oy$ - Lấy đối xứng phần đồ thị được giữ qua $Oy$
$y=|f(x)|$	- Giữ nguyên phần đồ thị $y=f(x)$ phía trên $Ox$ - Bỏ phần đồ thị $y=f(x)$ phía dưới $Ox$ - Lấy đối xứng phần bị bỏ qua $Ox$
$y=|f(|x|)|$	- Biến đổi đồ thị $y=f(x)$ thành $y=f(|x|)$ - Biến đổi đồ thị $y=f(|x|)$ thành $y=|f(|x|)|$

---

Ví dụ về đồ thị của hàm chứa trị tuyệt đối

Ví dụ 1. Vẽ đồ thị hàm số $y=|x^2-2x|$

Dễ thấy đây là dạng bài toán từ đồ thị $f(x)$ suy ra đồ thị $|f(x)|$

Đầu tiên ta vẽ đồ thị hàm số $y=x^2-2x$

Ta bỏ đi phần nằm phía dưới trục $Ox$ (Bỏ phần gạch màu xanh). Sau đó lấy đối xứng phần bỏ qua trục $Ox$ ta được đồ thị của hàm số $y=|x^2-2x|$ như sau

Ví dụ 2. Vẽ đồ thị hàm số $y=x^2-2|x|$

Dễ thấy đây là dạng bài toán từ đồ thị $f(x)$ suy ra đồ thị $f(|x|)$

Vì $y=x^2-2|x|$ cũng chính là $y=|x|^2-2|x|$

Đầu tiên ta cũng vẽ đồ thị hàm số $y=x^2-2x$

Tiếp theo ta bỏ phần phía bên trái trục $Oy$ (Bỏ phần gạch màu xanh). Sau đó lấy đối xứng phần còn lại qua trục $Oy$ ta được đồ thị của hàm số $y=x^2-2|x|$ như sau

---

Phép tịnh tiến đồ thị hàm số

Giả sử $a$ là một số thực dương

Đồ thị	Cách tịnh tiến
$y=f(x)+a$	Tịnh tiến cả đồ thị $y=f(x)$ lên trên $a$
$y=f(x)-a$	Tịnh tiến cả đồ thị $y=f(x)$ xuống dưới $a$
$y=f(x+a)$	Tịnh tiến cả đồ thị $y=f(x)$ sang trái $a$
$y=f(x-a)$	Tịnh tiến cả đồ thị $y=f(x)$ sang phải $a$

---

Ví dụ về phép tịnh tiến đồ thị hàm số

Ví dụ. Vẽ đồ thị hàm số $y=x^2+1$

Giải.

Trước tiên ta nhận xét một chút là đồ thị hàm số $y=x^2+1$ chính là đồ thị của hàm số $y=x^2$ sau đó tịnh tiến lên trên $1$ đơn vị

Đầu tiên ta vẽ đồ thị hàm số $y=x^2$, và dĩ nhiên ai cũng biết nó là một parabol đi qua gốc toạ độ rồi (lớp 9 ta đã chiến cái này)

Đồ thị của nó có dạng như sau (đường màu đỏ)

Bây giờ theo lý thuyết, ta tịnh tiến (hay nâng) cả đồ thị lên trên $1$ đơn vị ta sẽ được đồ thị $y=x^2+1$ như sau (đường màu xanh)

Giờ thì mọi thứ đã quá sáng tỏ đúng không nào

Dĩ nhiên giờ thì đồ thị của hàm số $y=x^2-3$ quá dễ đúng không nào?

Ví dụ trên là nâng lên, hạ xuống của đồ thị, ta sẽ đi sang một ví dụ khác là dịch trái, dịch phải một đồ thị

Việc nâng lên hạ xuống thì ta sẽ dễ cảm nhận hơn so với việc dịch trái dịch phải, qua ví dụ sau đây sẽ rõ

Ví dụ. Vẽ đồ thị hàm số $y=x^2+2x+1$

Nhìn qua ví dụ thì kiểu, dễ mà, áp dụng ở trên, vẽ đồ thị hàm số $y=x^2+2x$ sau đó nâng lên $1$. Ok, hợp lý đấy, nhưng việc vẽ đồ thị hàm số $y=x^2+2x$ nó cũng khó ngang ngửa đồ thị $y=x^2+2x+1$, vậy việc làm này không ổn lắm. Vậy có cách nhìn nào hợp lý hơn không?

Có đấy, để ý một chút ta sẽ thấy là: $y=x^2+2x+1$ cũng chính là hằng đẳng thức $y=(x+1)^2$, đã thấy được gì chưa nào?

Đây chính là đồ thị của hàm số $y=x^2$ dịch sang trái $1$ đơn vị. Kaka, khó cảm nhận chưa, sẽ cực dễ nếu ta hình dung, nhưng cũng lấy đi kha khá chất xám nếu chưa rõ

Qua phân tích trên, vậy thì đồ thị hàm số $y=x^2+2x+1$ hay $y=(x+1)^2$ thực chất chỉ là đồ thị hàm số $y=x^2$ tịnh tiến sang trái $1$ đơn vị, và hình ảnh của nó sẽ có dạng như sau (đường màu xanh)

Mọi thứ tới đây xem như sáng tỏ. Ý nghĩa của nó là gì? Ý nghĩa của nó là từ một đồ thị của hàm số có thể phức tạp, ta quy về một đồ thị của hàm số đơn giản hơn và sau đó, thông qua một số phép tịnh tiến (hoặc co giãn ở phần dưới) ta thu được đồ thị mà ta mong muốn

Dĩ nhiên là việc làm này có ý nghĩa rồi, nếu nó không có ý nghĩa, hoặc cách làm khó hơn thì chẳng ai làm cả

Ví dụ. Vẽ đồ thị hàm số $y=x^2-3x+1$

Quá khó để tưởng tượng, tuy nhiên bằng một số phép biến đổi đại số đơn giản ta đưa về dạng

$\displaystyle y=\left(x-\frac{3}{2} \right)^2-\frac{5}{4}$

OK, tới đây thì mọi thứ quá đã rồi! Tại sao quá đã ư? Nếu bạn thắc mắc thì chịu khó đọc lại nha! Kakaka...

---

Phép co giãn đồ thị hàm số

Đồ thị	Cách vẽ
$y=f(px)$ với $(p>1)$	Co đồ thị theo chiều ngang hệ số $p$
$y=f(px)$ với $(0< p <1)$	Giãn đồ thị theo chiều ngang hệ số $\frac{1}{p}$
$y=qf(x)$ với $(q>1)$	Giãn đồ thị theo chiều dọc với hệ số $q$
$y=qf(x)$ với $(0<q<1)$	Co đồ thị theo chiều dọc với hệ số $\frac{1}{q}$

---

Cổ nhân

Có một bậc cổ nhân ở ẩn trên núi, một hôm một vị đệ tử của ông hỏi ông

Đệ tử: "Thưa thầy, sao khi con làm một việc gì, con đã cố gắng rồi, mà đôi khi không đạt như mong muốn, bạn bè xung quanh đều hơn con, con phải làm sao đây thầy?"

Nhẹ nhạng nâng tách trà, cổ nhân đáp

Cổ nhân: "Bây giờ con hãy giải cho bài này, sau đó ta sẽ giải thích cho con hiểu"

Nói xong, cổ nhân nhặt một nhành cây khô vẽ lên đất 1 đoạn thẳng, vẽ xong cổ nhân nói tiếp

Cổ nhân: "Con hãy làm cho đoạn thẳng này ngắn lại mà không được xoá bớt nó đi"

Vị đệ tử trở về nhà ngẫm nghĩ ba ngày ba đêm nhưng vẫn không thể nghĩ ra được cách nào để có thể làm đoạn thẳng ngắn lại mà không xoá nó

Bảy ngày sau, vị đệ tử này đến gặp cổ nhân và thưa

Đệ tử: "Mặt dù đã cố gắng nhưng con không có giải đáp cho bài này! Có lẽ là không có đáp án"

Cổ nhân đáp: "Đúng vậy, nếu nghĩ theo cách thông thường thì sẽ không có đáp án, tuy nhiên hãy nghĩ theo một hướng khác để có được một ý nghĩa khác"

Nói rồi cổ nhân nhặt cành cây khô vạch lên đất, sát vạch hôm trước một đoạn thẳng dài hơn

Cổ nhân chậm rãi nói: "Con hiểu ý ta chứ?"

Vị đệ tử ngơ ngác: "Xin thầy chỉ giáo"

Cổ nhân tiếp: "Các bạn của con, hay những việc con làm, giống như đoạn thẳng ta vẽ trước ở đây, còn sự cố gắng của con như là đoạn thẳng ta vẽ sau, đối với đoạn thẳng ta vẽ trước, phàm không có cách nào để làm cho nó ngắn lại cả, cách để nó ngắn lại trong mắt con là con phải dài hơn nó"

Nói tới đây, vị đệ tử có vẻ chợt nhận ra được điều gì đó, lẩm bẩm chắp tay đa tạ thầy và cáo từ

3 năm sau...

Câu chuyện đến đây là kết thúc, ba năm sau ra sao thì Cao mỗ không hề biết kaka...

Nếu đã lỡ vô tình ghé qua blog thì hãy để lại cảm nhận của các bạn dưới phần comment nhé!