Tìm điều kiện tham số m để phương trình bậc hai có hai nghiệm thỏa mãn

Bài toán. Cho phương trình bậc hai $a{x}^2+bx+c=0(a\ne 0)(\ast )$

• Phương trình $(\ast )$ có hai nghiệm phân biệt khi và chỉ khi ${\displaystyle \{\begin{array}{l}a\ne 0\\ \mathrm{\Delta }>0({\mathrm{\Delta }}^{\prime }>0)\end{array}}$
• Phương trình $(\ast )$ có nghiệm kép khi và chỉ khi ${\displaystyle \{\begin{array}{l}a\ne 0\\ \mathrm{\Delta }=0({\mathrm{\Delta }}^{\prime }=0)\end{array}}$
• Phương trình $(\ast )$ vô nghiệm khi và chỉ khi ${\displaystyle \{\begin{array}{l}a\ne 0\\ \mathrm{\Delta }<0({\mathrm{\Delta }}^{\prime }<0)\end{array}}$
• Phương trình $(\ast )$ có hai nghiệm phân biệt cùng dấu khi và chỉ khi $\{\begin{array}{l}a\ne 0\\ \mathrm{\Delta }>0({\mathrm{\Delta }}^{\prime }>0)\\ P>0\end{array}$
• Phương trình $(\ast )$ có hai nghiệm phân biệt cùng dấu dương ${\displaystyle \{\begin{array}{l}a\ne 0\\ \mathrm{\Delta }>0({\mathrm{\Delta }}^{\prime }>0)\\ P>0\\ S>0\end{array}}$
• Phương trình $(\ast )$ có hai nghiệm phân biệt cùng dấu âm ${\displaystyle \{\begin{array}{l}a\ne 0\\ \mathrm{\Delta }>0({\mathrm{\Delta }}^{\prime }>0)\\ P>0\\ S<0\end{array}}$
• Phương trình $(\ast )$ có hai nghiệm phân biệt trái dấu khi và chỉ khi $ac<0$
• Phương trình $(\ast )$ có hai nghiệm đối nhau khi và chỉ khi ${\displaystyle \{\begin{array}{l}a\ne 0\\ \mathrm{\Delta }>0({\mathrm{\Delta }}^{\prime }>0)\\ S=0\end{array}}$

---

Ví dụ 1. Tìm $m$ để phương trình $x^2-(m^2+1)x+m^2-7m+12=0$ có hai nghiệm trái dấu

Giải

Để phương trình có hai nghiệm trái dấu thì $ac<0$

Dễ thấy $a=1;b=-(m^2+1);c=m^2-7m+12$, do đó

$ac<0\iff 1.(m^2-7m+12)<0$

$\iff m^2-7m+12<0$

$\iff 3<x<4$

Vậy $3<x<4$ thì phương trình trên có hai nghiệm trái dấu

Ví dụ 2. Tìm $m$ để phương trình $3x^2-4mx+m^2-2m-3=0$ có hai nghiệm phân biệt cùng dấu

Giải

Dễ thấy $a=3;b=-4m;c=m^2-2m-3$

Để phương trình có hai nghiệm phân biệt cùng dấu thì $\{\begin{array}{rl}& {\mathrm{\Delta }}^{\prime }>0\\ & P>0\end{array}$

$\iff \{\begin{array}{rl}& {(-2m)}^2-3.(m^2-2m-3)>0\\ & \frac{m^2-2m-3}{3}>0\end{array}$

$\iff \{\begin{array}{rl}& m^2+6m+9>0\\ & m^2-2m-3>0\end{array}$

$\iff \{\begin{array}{rl}& m\ne -3\\ & [\begin{array}{rl}& m<-1\\ & m>3\end{array}\end{array}$

$\iff [\begin{array}{rl}& m<-1\\ & m>3\end{array}$

Vậy $m<-1$ hoặc $m>3$ thì phương trình trên có hai nghiệm cùng dấu