Tìm điều kiện tham số $m$ để phương trình bậc hai có hai nghiệm thỏa mãn

Bài toán. Cho phương trình bậc hai $ax^2+bx+c=0\quad (a\ne 0)\quad (*)$

• Phương trình $(*)$ có hai nghiệm phân biệt khi và chỉ khi $\displaystyle \begin{cases}a\ne0\\\Delta>0 (\Delta'>0)\end{cases}$
• Phương trình $(*)$ có nghiệm kép khi và chỉ khi $\displaystyle \begin{cases}a\ne 0\\ \Delta=0 (\Delta '=0)\end{cases}$
• Phương trình $(*)$ vô nghiệm khi và chỉ khi $\displaystyle \begin{cases}a\ne 0\\ \Delta<0 (\Delta'<0)\end{cases}$
• Phương trình $(*)$ có hai nghiệm phân biệt cùng dấu khi và chỉ khi $\begin{cases}a\ne 0\\\Delta>0 (\Delta'>0)\\P>0\end{cases}$
• Phương trình $(*)$ có hai nghiệm phân biệt cùng dấu dương $\displaystyle \begin{cases}a\ne 0\\ \Delta>0 (\Delta'>0)\\P>0\\S>0\end{cases}$
• Phương trình $(*)$ có hai nghiệm phân biệt cùng dấu âm $\displaystyle \begin{cases}a\ne 0\\ \Delta>0 (\Delta'>0)\\P>0\\S<0\end{cases}$
• Phương trình $(*)$ có hai nghiệm phân biệt trái dấu khi và chỉ khi $ac<0$
• Phương trình $(*)$ có hai nghiệm đối nhau khi và chỉ khi $\displaystyle \begin{cases}a\ne 0\\\Delta>0 (\Delta'>0)\\S=0\end{cases}$

---

Ví dụ 1. Tìm $m$ để phương trình ${{x}^{2}}-\left( {{m}^{2}}+1 \right)x+{{m}^{2}}-7m+12=0$ có hai nghiệm trái dấu

Giải

Để phương trình có hai nghiệm trái dấu thì $ac<0$

Dễ thấy $a=1;b=-\left( {{m}^{2}}+1 \right);c={{m}^{2}}-7m+12$, do đó

$ac<0\Leftrightarrow 1.\left( {{m}^{2}}-7m+12 \right)<0$

$\Leftrightarrow {{m}^{2}}-7m+12<0$

$\Leftrightarrow 3<x<4$

Vậy $3<x<4$ thì phương trình trên có hai nghiệm trái dấu

Ví dụ 2. Tìm $m$ để phương trình $3{{x}^{2}}-4mx+{{m}^{2}}-2m-3=0$ có hai nghiệm phân biệt cùng dấu

Giải

Dễ thấy $a=3;b=-4m;c={{m}^{2}}-2m-3$

Để phương trình có hai nghiệm phân biệt cùng dấu thì $\left\{ \begin{align} & \Delta '>0 \\ & P>0 \\ \end{align} \right.$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{align} & {{\left( -2m \right)}^{2}}-3.\left( {{m}^{2}}-2m-3 \right)>0 \\ & \frac{{{m}^{2}}-2m-3}{3}>0 \\ \end{align} \right.$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{align} & {{m}^{2}}+6m+9>0 \\ & {{m}^{2}}-2m-3>0 \\ \end{align} \right.$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{align} & m\ne -3 \\ & \left[ \begin{aligned} & m<-1 \\ & m>3 \\ \end{aligned} \right. \\ \end{align} \right.$

$\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & m<-1 \\ & m>3 \\ \end{align} \right.$

Vậy $m<-1$ hoặc $m>3$ thì phương trình trên có hai nghiệm cùng dấu