XÁC ĐỊNH GIAO TUYẾN CỦA HAI MẶT PHẲNG

XÁC ĐỊNH GIAO TUYẾN CHUNG CỦA HAI MẶT PHẲNG

Giao tuyến của hai mặt phẳng là đường thẳng chung (đường thẳng chứa tất cả các điểm chung) của hai mặt phẳng đó

Phương pháp chung. Để xác định giao tuyến của hai mặt phẳng (không có yếu tố song song) ta sẽ đi xác định hai điểm chung (phân biệt)

+) Một điểm chung nhìn vào sẽ thấy liền, ta tam gọi là điểm chung dễ (điểm chung thứ nhất)

+) Một điểm chung nữa có được bằng cách vẽ thêm, nối, … ta tạm gọi là điểm chung khó (điểm chung thứ hai)

Khi đó giao tuyến của hai mặt phẳng là đường thẳng đi qua hai điểm chung đã chỉ ra ở trên

---

Ví dụ 1. Cho điểm $S$ là một điểm không thuộc mặt phẳng hình bình hành $ABCD$. Xác định giao tuyến của hai mặt phẳng $\left( SAC \right)$ và $\left( SBD \right)$

Trong mặt phẳng $(ABCD)$, gọi $O=AC\cap BD$

+) Dễ thấy $S\in \left( SAC \right)\cap \left( SBD \right)$ (hay $S$ là điểm chung thứ nhất)

+) $\left\{ \begin{align} & O\in AC\subset \left( SAC \right) \\ & O\in BD\subset \left( SB\text{D} \right) \\ \end{align} \right.$

Suy ra $O\in \left( SAC \right)\cap \left( SBD \right)$ (hay $O$ là điểm chung thứ hai)

Từ đây ta suy ra, giao tuyến của $\left( SAC \right)$ và $\left( SBD \right)$ là $SO$

Ví dụ 2. Cho tứ diện $SABC$. Gọi $M,N$ lần lượt là hai điểm trên $AB,BC$ sao cho $MN$ không song song với $AC$. Tìm giao tuyến của $\left( SMN \right)$ và $\left( SAC \right)$

+) Dễ thấy $S\in \left( SMN \right)\cap \left( SAC \right)$ (hay $S$ là điểm chung thứ nhất)

Trong mặt phẳng $\left( ABC \right)$, gọi $O=MN\cap AC$

+) $\left\{ \begin{align} & O\in MN\subset \left( SMN \right) \\ & O\in AC\subset \left( SAC \right) \\ \end{align} \right.$

Suy ra $O\in \left( SMN \right)\cap \left( SAC \right)$ (hay $O$ là điểm chung thứ hai)

Từ đây suy ra, giao tuyến của $\left( SMN \right)$ và $\left( SAC \right)$ là $SO$

---

GIAO TUYẾN CÓ YẾU TỐ SONG SONG

Nếu như hai mặt phẳng mà ta cần xác định giao tuyến lần lượt chứ hai đường thẳng song song với nhau, ta tạm gọi là bài toán tìm giao tuyến có yếu tố song song

Phương pháp

+) Xác định một điểm chung

+) Kết luận, giao tuyến chính là đường thẳng đi qua điểm chung và song song với hai đường thẳng (hai đường thẳng song song lần lượt thuộc hai mặt phẳng)

Ví dụ 3. Cho chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình chữ nhật.

a) Xác định giao tuyến của $\left( SAB \right)$ và $\left( SCD \right)$

b) Xác định giao tuyến của $\left( SBC \right)$ và $\left( SAD \right)$

a) Xác định giao tuyến $\left( SAB \right)$ và $\left( SCD \right)$

+) Ta có $\left\{ \begin{align} & S\in \left( SAB \right) \\ & S\in \left( SCD \right) \\ \end{align} \right.$

Suy ra $S\in \left( SAB \right)\cap \left( SCD \right)$, (hay $S$ là một điểm chung)

+) Lại có $\left\{ \begin{align} & AB\subset \left( SAB \right) \\ & CD\subset \left( SCD \right) \\ & AB\parallel CD \\ \end{align} \right.$

Suy ra giao tuyến của $\left( SAB \right)$ và $\left( SCD \right)$ và đường thẳng ${{d}_{2}}$ đi qua $S$ và song song với $AB$ (hoặc $CD$)

Xem hình vẽ ở trên

b) Xác định giao tuyến của $\left( SBC \right)$ và $\left( SAD \right)$

+) Ta có $\left\{ \begin{align} & S\in \left( SBC \right) \\ & S\in \left( SAD \right) \\ \end{align} \right.$

Suy ra $S\in \left( SBC \right)\cap \left( SAD \right)$, (hay $S$ là một điểm chung)

+) Lại có $\left\{ \begin{align} & BC\subset \left( SBC \right) \\ & AD\subset \left( SAD \right) \\ & BC\parallel AD \\ \end{align} \right.$

Suy ra giao tuyến của $\left( SBC \right)$ và $\left( SAD \right)$ và đường thẳng ${{d}_{1}}$ đi qua $S$ và song song với $BC$ (hoặc $AD$)

Xem hình vẽ ở trên