NGUYÊN LÝ BOLZANO WEIERSTRASS ĐỂ CHỨNG MINH DÃY SỐ HỘI TỤ

CHỨNG MINH SỰ HỘI TỤ CỦA DÃY SỐ BẰNG NGUYÊN LÝ BOLZANO WEIERSTRASS

Dãy số ${{a}_{n}}$ được gọi là dãy số tăng nếu ${{a}_{n+1}}>{{a}_{n}},\forall n$

Dãy số ${{a}_{n}}$ được gọi là dãy số giảm nếu ${{a}_{n+1}}<{{a}_{n}},\forall n$

Các dãy số chỉ tăng hoặc chỉ giảm được gọi là dãy số đơn điệu

Lưu ý. Dãy số đơn điệu đơn điệu bao giờ cũng bị chặn ít nhất một phía, nếu dãy số tăng thì bị chặn dưới bởi số hạng đầu tiên, còn dãy số giảm thì bị chặn trên bởi số hạng đầu tiên

Sử dụng tính đơn điệu và bị chặn để chỉ ra sự hội tụ của dãy số thì ta có nguyên lý Bolzano-Weierstrass

Nguyên lý Bolzano-Weierstrass được phát biểu như sau: Dãy tăng mà bị chặn trên thì hội tụ, dãy giảm mà bị chặn dưới thì hội tụ

Ngắn gọn hơn: dãy đơn điệu mà bị chặn thì hội tụ

Nguyên lý Bolzano-Weierstrass cho ta một điều kiện đủ để có thể kiểm tra sự hội tụ của một dãy số, tuy nhiên hội tụ tại đâu thì không nói. Đôi khi trong cuộc sống biết có là được rồi, không cần biết phải có ở đâu, như thế nào, ra làm sao, kakaka… (mấy ông toán học không thích điều này, chớ mà Caolac thích)

Ví dụ 1. Chứng minh dãy ${{a}_{n}}=\dfrac{1}{5+1}+\dfrac{1}{{{5}^{2}}+1}+\cdots +\dfrac{1}{{{5}^{n}}+1}$ hội tụ

Dễ thấy ${{a}_{n+1}}={{a}_{n}}+\dfrac{1}{{{5}^{n+1}}+1}$ nên ${{a}_{n+1}}>{{a}_{n}}$

Do đó dãy số ${{a}_{n}}$ là đơn điệu tăng

Lại có

${{a}_{n}}=\dfrac{1}{5+1}+\dfrac{1}{{{5}^{2}}+1}+\cdots +\dfrac{1}{{{5}^{n}}+1}<\dfrac{1}{5}+\dfrac{1}{{{5}^{2}}}+\cdots +\dfrac{1}{{{5}^{n}}}=S,\left( 1 \right)$

$S=\dfrac{1}{5}+\dfrac{1}{{{5}^{2}}}+\cdots +\dfrac{1}{{{5}^{n}}}$ là tổng của cấp số nhân với $\left\{ \begin{align} & {{u}_{1}}=\dfrac{1}{5} \\ & q=\dfrac{1}{5} \\ \end{align} \right.$

Suy ra $S=\dfrac{\dfrac{1}{5}\left( 1-{{\left( \dfrac{1}{5} \right)}^{n}} \right)}{1-\dfrac{1}{5}}=\dfrac{1}{4}\left( 1-{{\left( \dfrac{1}{5} \right)}^{n}} \right)<\dfrac{1}{4},\left( 2 \right)$

Từ $\left( 1 \right),\left( 2 \right)$ suy ra

${{a}_{n}}<\dfrac{1}{4}$, nghĩa là dãy số ${{a}_{n}}$ bị chặn trên bởi $\dfrac{1}{4}$

Do đó dãy số ${{a}_{n}}$ hội tụ theo nguyên lý Bolzano-Weierstrass

Ví dụ 2. Chứng minh dãy số ${{a}_{n}}=\dfrac{{{2}^{n}}}{n!}$ hội tụ và tìm giới hạn của nó

Xét $\dfrac{{{a}_{n+1}}}{{{a}_{n}}}=\dfrac{\dfrac{{{2}^{n+1}}}{\left( n+1 \right)!}}{\dfrac{{{2}^{n}}}{n}}=\dfrac{2}{n+1}<1,\forall n>1$

Do đó ${{a}_{n}}$ là dãy số giảm

Lại có $\dfrac{{{2}^{n}}}{n!}>0,\forall n$ do đó nó bị chặn dưới bởi $0$

Theo nguyên lý Bolzano-Weiersstrass thì ${{a}_{n}}$ hội tụ

+) Tìm giới hạn của ${{a}_{n}}$

Giả sử $\lim {{a}_{n}}=a$, khi đó $\lim {{a}_{n+1}}=a$

Mặt khác $\lim {{a}_{n+1}}=\lim \left( \dfrac{2}{n+1}{{a}_{n}} \right)$ (theo ở trên)

$\lim {{a}_{n+1}}=\lim \dfrac{2}{n+1}\lim {{a}_{n}}$

$\Rightarrow a=0.a\Rightarrow a=0$

Vậy dãy số $\dfrac{{{2}^{n}}}{n!}$ có giới hạn là $0$