CHỨNG MINH DÃY SỐ HỘI TỤ, PHÂN KÌ BẰNG ĐỊNH NGHĨA
Ngôn ngữ epsilon-delta trong giải tích đã khiến caolac khóc thét khi mới tiếp cận. Dưới đây là một số bài tập chứng minh sự hội tụ, phân kì của dãy số bằng định nghĩa
CHỨNG MINH DÃY SỐ HỘI TỤ BẰNG ĐỊNH NGHĨA
Ví dụ 1. Chứng minh $\displaystyle \lim \dfrac{{{\left( -1 \right)}^{n-1}}}{n}=0$ bằng định nghĩa
Đặt $\displaystyle {{a}_{n}}=\dfrac{{{\left( -1 \right)}^{n-1}}}{n}$, để chứng minh ${{a}_{n}}$ có giới hạn là $0$ ta cần chỉ ra một số$N\left( \varepsilon \right)$ ($N$ phụ thuộc vào $\varepsilon $) sao cho mọi $n\ge N\left( \varepsilon \right)$ (tức $n$ đủ lớn) thì $\left| {{a}_{n}}-0 \right|<\varepsilon $
Ta có $\displaystyle \left| {{a}_{n}}-0 \right|=\left| \dfrac{{{\left( -1 \right)}^{n+1}}}{n}-0 \right|=\dfrac{1}{n}$
Giả sử $\varepsilon >0$ tuỳ ý, khi đó $\dfrac{1}{n}<\varepsilon $ $\Leftrightarrow n>\dfrac{1}{\varepsilon }$
Ta chọn $N\left( \varepsilon \right)=\left[ \dfrac{1}{\varepsilon } \right]+1$, khi đó $\dfrac{1}{N\left( \varepsilon \right)}<\varepsilon $
Do đó, với mọi $\varepsilon >0$ tuỳ ý cho trước, ta luôn chỉ ra được số $N\left( \varepsilon \right)=\left[ \dfrac{1}{\varepsilon } \right]+1$ sao cho, mọi $n\ge N\left( \varepsilon \right)$ ta luôn có
$\left| {{a}_{n}}-0 \right|=\dfrac{1}{n}\le \dfrac{1}{N\left( \varepsilon \right)}<\varepsilon $
Vậy ta có điều phải chứng minh
Ví dụ 2. Chứng minh $\lim \dfrac{n}{n+1}=1$ bằng định nghĩa
Đặt ${{a}_{n}}=\dfrac{n}{n+1}$
Ta có $\left| {{a}_{n}}-1 \right|=\left| \dfrac{n}{n+1}-1 \right|=\left| \dfrac{-1}{n+1} \right|=\dfrac{1}{n+1}$
Giả sử $\varepsilon >0$ tuỳ ý, khi đó
$\dfrac{1}{n+1}<\varepsilon $$\Leftrightarrow \dfrac{1}{\varepsilon }<n+1$$\Leftrightarrow n>\dfrac{1}{\varepsilon }-1$
Ta chọn $N\left( \varepsilon \right)=\left[ \dfrac{1}{\varepsilon }-1 \right]+1$. Khi đó $\dfrac{1}{N\left( \varepsilon \right)+1}<\varepsilon $
Do đó, với mọi $\varepsilon >0$ tuỳ ý, ta luôn chọn được $N\left( \varepsilon \right)=\left[ \dfrac{1}{\varepsilon }-1 \right]+1$ sao cho, $n\ge N\left( \varepsilon \right)$ ta luôn có
$\left| {{a}_{n}}-1 \right|=\dfrac{1}{n+1}\le \dfrac{1}{N\left( \varepsilon \right)+1}<\varepsilon $
Vậy ta có điều phải chứng minh
CHỨNG MINH DÃY SỐ PHÂN KÌ BẰNG ĐỊNH NGHĨA
Ví dụ 3. Chứng minh dãy ${{a}_{n}}=n$ phân kỳ
Ta sẽ sử dụng phản chứng, để chứng minh dãy ${{a}_{n}}$ phân kỳ, ta giả sử dãy ${{a}_{n}}$ hội tụ và dẫn đến điều vô lý
Giả sử ${{a}_{n}}\to a$ khi $n\to +\infty $
Chọn $\varepsilon =1$. Theo định nghĩa sự hội tụ của dãy thì tồn tại số $N\left( \varepsilon \right)$ sao cho $\forall n\ge N\left( \varepsilon \right)$ thì $\left| n-a \right|<1$
Từ đó ta có $-1<n-a<1$
Suy ra $n-a<1\Rightarrow n<a+1$ (Điều này là vô lý)
Vì $a+1$ là hữu hạn, mà $\forall n>N\left( \varepsilon \right)$ là không bị chặn trên
Vậy ta có điều phải chứng minh
Ví dụ 4. Chứng minh dãy ${{a}_{n}}={{\left( -1 \right)}^{n}}$ phân kỳ
Giả sử ${{a}_{n}}\to a$ khi $n\to +\infty $
Ta lấy $\varepsilon =\dfrac{1}{2}$, khi đó theo định nghĩa sự hội tụ của dãy số, luôn tồn tại $N\left( \varepsilon \right)$ sao cho $\forall n\ge N\left( \varepsilon \right)$ thì
$\left| {{a}_{n}}-a \right|<\varepsilon $
Do ${{a}_{n}}$ chỉ là $1$ hoặc $-1$ với $\forall n$ nên
$\left| -1-a \right|<\varepsilon $ và $\left| 1-a \right|<\varepsilon $
Suy ra $2=\left| \left( 1-a \right)+\left( 1+a \right) \right|\le \left| 1-a \right|+\left| 1+a \right|<\varepsilon +\varepsilon =2\varepsilon =2\cdot \dfrac{1}{2}=1$ (Vô lý)
Vây ta có điều phải chứng minh
CÁC BÀI VIẾT LIÊN QUAN ĐẾN GIẢI TÍCH
0 Comments
Vui lòng đăng nhập google để bình luận
Để gõ công thức toán, hãy đặt [biểu thức toán] trong dấu $$
Ví dụ: $[biểu thức toán]$