GIẢI TÍCH - DÃY SỐ (BÀI TẬP CÓ LỜI GIẢI)

CHỨNG MINH DÃY SỐ HỘI TỤ, PHÂN KÌ BẰNG ĐỊNH NGHĨA

Ngôn ngữ epsilon-delta trong giải tích đã khiến caolac khóc thét khi mới tiếp cận. Dưới đây là một số bài tập chứng minh sự hội tụ, phân kì của dãy số bằng định nghĩa

CHỨNG MINH DÃY SỐ HỘI TỤ BẰNG ĐỊNH NGHĨA

Ví dụ 1. Chứng minh ${\displaystyle lim{\displaystyle \frac{{(-1)}^{n-1}}{n}}=0}$ bằng định nghĩa

Đặt ${\displaystyle a_n={\displaystyle \frac{{(-1)}^{n-1}}{n}}}$, để chứng minh $a_n$ có giới hạn là $0$ ta cần chỉ ra một số$N\left(\epsilon \right)$ ($N$ phụ thuộc vào $\epsilon$) sao cho mọi $n\ge N\left(\epsilon \right)$ (tức $n$ đủ lớn) thì $|a_n-0|<\epsilon$

Ta có ${\displaystyle |a_n-0|=|{\displaystyle \frac{{(-1)}^{n+1}}{n}}-0|={\displaystyle \frac{1}{n}}}$

Giả sử $\epsilon >0$ tuỳ ý, khi đó ${\displaystyle \frac{1}{n}}<\epsilon$ $\iff n>{\displaystyle \frac{1}{\epsilon }}$

Ta chọn $N\left(\epsilon \right)=\left[{\displaystyle \frac{1}{\epsilon }}\right]+1$, khi đó ${\displaystyle \frac{1}{N\left(\epsilon \right)}}<\epsilon$

Do đó, với mọi $\epsilon >0$ tuỳ ý cho trước, ta luôn chỉ ra được số $N\left(\epsilon \right)=\left[{\displaystyle \frac{1}{\epsilon }}\right]+1$ sao cho, mọi $n\ge N\left(\epsilon \right)$ ta luôn có

$|a_n-0|={\displaystyle \frac{1}{n}}\le {\displaystyle \frac{1}{N\left(\epsilon \right)}}<\epsilon$

Vậy ta có điều phải chứng minh

Ví dụ 2. Chứng minh $lim{\displaystyle \frac{n}{n+1}}=1$ bằng định nghĩa

Đặt $a_n={\displaystyle \frac{n}{n+1}}$

Ta có $|a_n-1|=|{\displaystyle \frac{n}{n+1}}-1|=\left|{\displaystyle \frac{-1}{n+1}}\right|={\displaystyle \frac{1}{n+1}}$

Giả sử $\epsilon >0$ tuỳ ý, khi đó

${\displaystyle \frac{1}{n+1}}<\epsilon$$\iff {\displaystyle \frac{1}{\epsilon }}<n+1$$\iff n>{\displaystyle \frac{1}{\epsilon }}-1$

Ta chọn $N\left(\epsilon \right)=[{\displaystyle \frac{1}{\epsilon }}-1]+1$. Khi đó ${\displaystyle \frac{1}{N\left(\epsilon \right)+1}}<\epsilon$

Do đó, với mọi $\epsilon >0$ tuỳ ý, ta luôn chọn được $N\left(\epsilon \right)=[{\displaystyle \frac{1}{\epsilon }}-1]+1$ sao cho, $n\ge N\left(\epsilon \right)$ ta luôn có

$|a_n-1|={\displaystyle \frac{1}{n+1}}\le {\displaystyle \frac{1}{N\left(\epsilon \right)+1}}<\epsilon$

Vậy ta có điều phải chứng minh

CHỨNG MINH DÃY SỐ PHÂN KÌ BẰNG ĐỊNH NGHĨA

Ví dụ 3. Chứng minh dãy $a_n=n$ phân kỳ

Ta sẽ sử dụng phản chứng, để chứng minh dãy $a_n$ phân kỳ, ta giả sử dãy $a_n$ hội tụ và dẫn đến điều vô lý

Giả sử $a_n\to a$ khi $n\to +\mathrm{\infty }$

Chọn $\epsilon =1$. Theo định nghĩa sự hội tụ của dãy thì tồn tại số $N\left(\epsilon \right)$ sao cho $\mathrm{\forall }n\ge N\left(\epsilon \right)$ thì $|n-a|<1$

Từ đó ta có $-1<n-a<1$

Suy ra $n-a<1\Rightarrow n<a+1$ (Điều này là vô lý)

Vì $a+1$ là hữu hạn, mà $\mathrm{\forall }n>N\left(\epsilon \right)$ là không bị chặn trên

Vậy ta có điều phải chứng minh

Ví dụ 4. Chứng minh dãy $a_n={(-1)}^n$ phân kỳ

Giả sử $a_n\to a$ khi $n\to +\mathrm{\infty }$

Ta lấy $\epsilon ={\displaystyle \frac{1}{2}}$, khi đó theo định nghĩa sự hội tụ của dãy số, luôn tồn tại $N\left(\epsilon \right)$ sao cho $\mathrm{\forall }n\ge N\left(\epsilon \right)$ thì

$|a_n-a|<\epsilon$

Do $a_n$ chỉ là $1$ hoặc $-1$ với $\mathrm{\forall }n$ nên

$|-1-a|<\epsilon$ và $|1-a|<\epsilon$

Suy ra $2=|(1-a)+(1+a)|\le |1-a|+|1+a|<\epsilon +\epsilon =2\epsilon =2\cdot {\displaystyle \frac{1}{2}}=1$ (Vô lý)

Vây ta có điều phải chứng minh

CÁC BÀI VIẾT LIÊN QUAN ĐẾN GIẢI TÍCH

DÃY SỐ (BÀI TẬP CÓ LỜI GIẢI)

CHUỖI SỐ

CHUỖI SỐ DƯƠNG

CHUỖI SỐ CÓ DẤU BẤT KỲ

CHUỖI LUỸ THỪA

CHUỖI HÀM

SỰ HỘI TỤ ĐỀU CỦA CHUỖI HÀM

TÍCH PHÂN BẤT ĐỊNH CỦA CÁC HÀM HỮU TỶ