CHUỖI SỐ DƯƠNG

CÁC BÀI VIẾT LIÊN QUAN ĐẾN GIẢI TÍCH

DÃY SỐ (BÀI TẬP CÓ LỜI GIẢI)

CHUỖI SỐ

CHUỖI SỐ DƯƠNG

CHUỖI SỐ CÓ DẤU BẤT KỲ

CHUỖI LUỸ THỪA

CHUỖI HÀM

SỰ HỘI TỤ ĐỀU CỦA CHUỖI HÀM

TÍCH PHÂN BẤT ĐỊNH CỦA CÁC HÀM HỮU TỶ

Trước khi đọc bài viết này, nếu các bạn có quên, thì nên Xem lại bài viết về chuỗi số

CHUỖI SỐ DƯƠNG

1. ĐỊNH NGHĨA

Chuỗi số $\displaystyle \sum _{n=1}^{+\infty }u_{n} $ được gọi là chuỗi số dương nếu $u_{n} >0,{\rm \; }\forall n$

Chú ý

+) Nếu tổng riêng của chuỗi số dương bị chặn trên thì chuỗi số đó hội tụ (Vì $\left\{S_{n} \right\}$ là dãy số tăng, bị chặn trên thì luôn $\exists {\mathop{\lim }\limits_{n\to \infty }} S_{n} $ nên chuỗi số hội tụ, còn nếu $\left\{S_{n} \right\}$ là dãy số tăng, không bị chặn trên thì $S_{n} \to \infty $ khi $n\to \infty $ nên chuỗi số phân kỳ).

+) Để xét sự hội tụ, phân kỳ của chuỗi số dương, ngoài những cách đã trình bày ở bài viết chuỗi số (dùng định nghĩa xét ${\mathop{\lim }\limits_{n\to \infty }} S_{n} $ , dùng định lý điều kiện cần của chuỗi hội tụ xét ${\mathop{\lim }\limits_{n\to \infty }} u_{n} $ và xét $\left\{S_{n} \right\}$ bị chặn trên), ta còn có thêm 5 cách (2 định lý so sánh và 3 tiêu chuẩn hội tụ) sẽ lần lượt được trình bày phần dưới đây.

---

2. ĐỊNH LÝ SO SÁNH THỨ NHẤT

Cho hai chuỗi số dương $\displaystyle \sum_{n=1}^{+\infty }u_{n} $ và $\displaystyle \sum _{n=1}^{+\infty }v_{n} $. Giả sử $u_{n} \le v_{n} ,{\rm \; }\forall n\ge n_{0} \in \mathbb N$.

Khi đó

+) Nếu chuỗi $\displaystyle \sum _{n=1}^{+\infty }v_{n} $ hội tụ thì chuỗi $\displaystyle \sum_{n=1}^{+\infty }u_{n}$ cũng hội tụ.

+) Nếu chuỗi $\displaystyle \sum _{n=1}^{+\infty }u_{n} $ phân kỳ thì chuỗi $\displaystyle \sum_{n=1}^{+\infty }v_{n}$ cũng phân kỳ.

Ví dụ 1. Xét sự hội tụ hay phân kỳ của chuỗi số $\displaystyle \sum_{n=1}^{+\infty }\dfrac{1}{\sqrt{n} }$

Dễ thấy: $\dfrac{1}{\sqrt{n} } \ge \dfrac{1}{n} ,{\rm \; \; \; }\forall n\ge 1$

Mặt khác chuỗi điều hòa $\displaystyle \sum_{n=1}^{+\infty }\dfrac{1}{n} $ phân kỳ nên chuỗi đã cho phân kỳ

Ví dụ 2. Xét sự hội tụ hay phân kỳ của chuỗi số $\displaystyle \sum_{n=1}^{+\infty }\dfrac{1}{\sqrt{n} 5^{n}}$

Dễ thấy: $\dfrac{1}{\sqrt{n} 5^{n} } \le \dfrac{1}{5^{n} } ,{\rm \; \; }\forall n\ge 1$

Mặt khác chuỗi $\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }\left(\dfrac{1}{5}\right)^{n} $ hội tụ ($|q|=\dfrac{1}{5} <1$) nên chuỗi đã cho hội tụ.

---

3. ĐỊNH LÝ SO SÁNH THỨ HAI

Cho hai chuỗi số dương $\displaystyle \sum_{n=1}^{+\infty}u_{n}$ và $\displaystyle \sum_{n=1}^{+\infty }v_{n}$. Giả sử tồn tại ${\mathop{\lim }\limits_{n\to \infty }}\dfrac{u_{n} }{v_{n}} =k$

Khi đó

1. Nếu $k\in (0,+\infty )$ thì hai chuỗi số đã cho có cùng tính chất (đồng thời hội tụ hoặc đồng thời phân kỳ)

2. Nếu $k=0$ và chuỗi $\displaystyle \sum _{n=1}^{+\infty }v_{n} $ hội tụ thì chuỗi $\displaystyle \sum _{n=1}^{+\infty }u_{n} $ cũng hội tụ

3. Nếu $k=+\infty $ và chuỗi $\displaystyle \sum _{n=1}^{+\infty }v_{n} $ phân kỳ thì chuỗi $\displaystyle \sum _{n=1}^{+\infty }u_{n} $ cũng phân kỳ

Ví dụ 3. Xét sự hội tụ hay phân kỳ của chuỗi số $\displaystyle \sum_{{\rm n}={\rm 1}}^{+\infty }\dfrac{5}{n+3}$

Xem chuỗi đã cho là chuỗi $\displaystyle \sum _{n=1}^{+\infty }u_{n} $, xét chuỗi $\displaystyle \sum _{n=1}^{+\infty }v_{n} $ là chuỗi điều hòa

Dễ thấy ${\mathop{\lim }\limits_{n\to \infty }} \left(\dfrac{5}{n+3}:\dfrac{1}{n} \right)={\mathop{\lim }\limits_{n\to \infty }} \dfrac{5n}{n+3} =5\in (0,+\infty )$

Mặt khác, chuỗi điều hòa $\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }\dfrac{1}{n} $ phân kỳ nên chuỗi đã cho phân kỳ

---

4. TIÊU CHUẨN D'ALEMBERT

Một tiêu chuẩn nữa để kiểm tra sự hội tụ của chuỗi số là tiêu chuẩn D'Alembert

Cho chuỗi số dương $\displaystyle \sum_{n=1}^{+\infty }u_{n}$, giả sử ${\mathop{\lim }\limits_{n\to \infty }} \dfrac{u_{n+1} }{u_{n}}=D$ thì chuỗi đã cho hội tụ khi $D<1$ và phân kỳ khi $D>1$

Chú ý. Khi $D=1$ chuỗi đã cho có thể hội tụ, có thể phân kỳ (Nôm na khi $D=1$ thì với tiêu chuẩn D'Alembert không kết luận được gì về sự hội tụ của chuỗi số)

Ví dụ 4. Xét sự hội tụ hay phân kỳ của chuỗi số $\displaystyle \sum _{{\rm n}={\rm 1}}^{+\infty }\dfrac{n}{5^{n} } $

Ta có: $u_{n} =\dfrac{n}{5^{n} } \Rightarrow u_{n+1} =\dfrac{n+1}{5^{n+1} } $ $$\Rightarrow {\mathop{\lim }\limits_{n\to \infty }} \dfrac{u_{n+1} }{u_{n} } ={\mathop{\lim }\limits_{n\to \infty }} \dfrac{n+1}{5^{n+1} }:\dfrac{n}{5^{n} } ={\mathop{\lim }\limits_{n\to \infty }} \dfrac{n+1}{5n} =\dfrac{1}{5} <1$$ Vậy chuỗi số $\displaystyle \sum_{{\rm n}={\rm 1}}^{+\infty }\dfrac{n}{5^{n} }$ hội tụ

Ví dụ 5. Xét sự hội tụ hay phân kỳ của chuỗi số $\displaystyle \sum_{{\rm n}={\rm 1}}^{+\infty }\dfrac{1}{\sqrt{n} 5^{n} } $

Ta có: $u_{n} =\dfrac{1}{\sqrt{n} .5^{n} } \Rightarrow u_{n+1} =\dfrac{1}{\sqrt{n+1} .5^{n+1} } $ $$\Rightarrow {\mathop{\lim }\limits_{n\to \infty }} \dfrac{u_{n+1} }{u_{n} } ={\mathop{\lim }\limits_{n\to \infty }} \dfrac{1}{\sqrt{n+1} .5^{n+1} } :\dfrac{1}{\sqrt{n} .5^{n} }={\mathop{\lim }\limits_{n\to \infty }} \dfrac{\sqrt{n} }{5\sqrt{n+1} } =\dfrac{1}{5} <1$$ Vậy chuỗi số $\displaystyle \sum _{{\rm n}={\rm 1}}^{+\infty }\dfrac{1}{\sqrt{n} 5^{n} }$ hội tụ

Ví dụ 6. Xét sự hội tụ hay phân kỳ của chuỗi số $\displaystyle \sum_{{\rm n}={\rm 1}}^{+\infty }\dfrac{5^{n} }{n+3} $

Ta có: $u_{n} =\dfrac{5^{n} }{n+3} \Rightarrow u_{n+1} =\dfrac{5^{n+1} }{n+4} $ $$\Rightarrow {\mathop{\lim }\limits_{n\to \infty }} \dfrac{u_{n+1} }{u_{n} } ={\mathop{\lim }\limits_{n\to \infty }} \dfrac{5^{n+1} }{n+4}:\dfrac{5^{n} }{n+3} ={\mathop{\lim }\limits_{n\to \infty }}\dfrac{5(n+3)}{n+4} =5>1$$ Vậy chuỗi số $\displaystyle \sum_{{\rm n}={\rm 1}}^{+\infty }\dfrac{5^{n} }{n+3} $ phân kỳ

Ví dụ 7. Xét sự hội tụ hay phân kỳ của chuỗi số $\displaystyle \sum_{{\rm n}={\rm 1}}^{+\infty }\dfrac{1}{n^{2}}$

Ta có: $$u_{n} =\frac{1}{n^{2} } \Rightarrow u_{n+1} =\frac{1}{(n+1)^{2} }$$$$\Rightarrow {\mathop{\lim }\limits_{n\to \infty }} \dfrac{u_{n+1} }{u_{n} } ={\mathop{\lim }\limits_{n\to \infty }} \dfrac{1}{(n+1)^{2} }:\dfrac{1}{n^{2} } ={\mathop{\lim }\limits_{n\to \infty }} \left(\dfrac{n}{n+1}\right)^{2} =1$$

Vậy, áp dụng tiêu chuẩn D’Alembert chưa kết luận được bài toán

---

5. TIÊU CHUẨN CAUCHY

Một tiêu chuẩn nữa để kiểm tra sự hội tụ của chuỗi số là tiêu chuẩn Cauchy

Cho chuỗi số dương $\displaystyle \sum_{n=1}^{+\infty }u_{n} $, giả sử ${\mathop{\lim }\limits_{n\to \infty }} \sqrt[{n}]{u_{n} } =C$ thì chuỗi đã cho hội tụ khi $C<1$ và phân kỳ khi $C>1$

Chú ý. Khi $C=1$ chuỗi đã cho có thể hội tụ, có thể phân kỳ

Ví dụ 8. Xét sự hội tụ hay phân kỳ của chuỗi số $\displaystyle \sum _{{\rm n}={\rm 1}}^{+\infty }\left(\dfrac{5n}{n+1} \right)^{n} $

Ta có: $u_{n} =\left(\dfrac{5n}{n+1} \right)^{n} \Rightarrow {\mathop{\lim }\limits_{n\to \infty }} \sqrt[{n}]{u_{n} } ={\mathop{\lim }\limits_{n\to \infty }} \dfrac{5n}{n+1} =5>1$

Vậy, chuỗi số $\displaystyle \sum _{{\rm n}={\rm 1}}^{+\infty }\left(\dfrac{5n}{n+1} \right)^{n} $ phân kỳ

Ví dụ 9. Xét sự hội tụ hay phân kỳ của chuỗi số $\displaystyle \sum _{n=1}^{+\infty }\dfrac{1}{[\ln (n+1)]^{n} } $

Ta có: $u_{n} =\dfrac{1}{[\ln (n+1)]^{n} } $. $$\Rightarrow {\mathop{\lim }\limits_{n\to \infty }} \sqrt[{n}]{u_{n} } ={\mathop{\lim }\limits_{n\to \infty }} \dfrac{1}{\ln (n+1)} =0<1$$

Vậy, chuỗi số $\displaystyle \sum _{n=1}^{+\infty }\dfrac{1}{[\ln (n+1)]^{n} } $ hội tụ

Ví dụ 10. Xét sự hội tụ hay phân kỳ của chuỗi số $\displaystyle \sum _{{\rm n}={\rm 1}}^{+\infty }\left(\dfrac{n}{n+1} \right)^{n} $

Ta có: $u_{n} =\left(\dfrac{n}{n+1} \right)^{n} $ $$\Rightarrow {\mathop{\lim }\limits_{n\to \infty }} \sqrt[{n}]{u_{n} } ={\mathop{\lim }\limits_{n\to \infty }} \dfrac{n}{n+1} =1$$ Vậy, áp dụng tiêu chuẩn Cauchy chưa kết luận được bài toán

Ta có thể áp dụng định lý điều kiện cần của chuỗi số hội tụ để xét tính chất của chuỗi số trên: $${\mathop{\lim }\limits_{n\to \infty }} u_{n} ={\mathop{\lim }\limits_{n\to \infty }} \left(\dfrac{n}{n+1} \right)^{n} =\dfrac{1}{{\mathop{\lim }\limits_{n\to \infty }} \left(\dfrac{n+1}{n} \right)^{n} }=\dfrac{1}{{\mathop{\lim }\limits_{n\to \infty }} \left(1+\dfrac{1}{n} \right)^{n} }=\dfrac{1}{e} \ne 0.$$

Vậy chuỗi số đã cho phân kỳ

---

6. TIÊU CHUẨN TÍCH PHÂN

Cho chuỗi số dương $\displaystyle \sum _{n=1}^{+\infty }u_{n} $ mà các số hạng $u_{n} $ của nó là trị của một hàm liên tục $f(x)$ tại các trị nguyên của $x$ và $f(x)$ đơn điệu giảm trên khoảng $(1,+\infty )$

Khi đó

1) Nếu tích phân suy rộng $\displaystyle \int\limits_{1}^{+\infty }f(x)dx $ hội tụ thì chuỗi số $\displaystyle \sum _{n=1}^{+\infty }u_{n} $ cũng hội tụ

2) Nếu tích phân suy rộng $\displaystyle \int\limits_{1}^{+\infty }f(x)dx$ phân kỳ thì chuối số $\displaystyle \sum _{n=1}^{+\infty }u_{n} $ cũng phân kỳ

Ví dụ 11. Xét tính hội tụ, phân kỳ của chuỗi Riemann $\displaystyle \sum _{n=1}^{+\infty }\dfrac{1}{n^{\alpha } } {\rm \; \; } (\alpha \in \mathbb{R})$

Chú ý. Đây là chuỗi số dương, dễ thấy hai tiêu chuẩn Cauchy và D’Alembert đều không cho kết luận được, nhưng tiêu chuẩn tích phân có thể cho ta kết luận một cách nhanh chóng

Chọn $f(x)=\dfrac{1}{x^{\alpha } } $

Dễ thấy, $f(x)$ thỏa các điều kiện của tiêu chuẩn tích phân

Bằng cách xét $\displaystyle {\mathop{\lim }\limits_{b\to +\infty }} \int\limits_{1}^{b}\dfrac{1}{x^{\alpha } } dx $ ta dễ dàng có kết quả về tính chất của tích phân suy rộng $\displaystyle \int\limits_{1}^{+\infty }\dfrac{1}{x^{\alpha } } dx $: hội tụ khi $\alpha >1$ và phân kỳ khi $\alpha \le 1$

Vậy, chuỗi $\displaystyle \sum\limits_{n=1}^{+\infty }\dfrac{1}{n^{\alpha } } $ hội tụ khi $\alpha >1$ và phân kỳ khi $\alpha \le 1$

Chẳng hạn. Chuỗi $\displaystyle \sum\limits_{{\rm n}={\rm 1}}^{+\infty }\dfrac{1}{n^{2} } $ hội tụ (là chuỗi Riemann có $\alpha =2>1$)

Chuỗi $\displaystyle \sum\limits_{{\rm n}={\rm 1}}^{+\infty }\dfrac{1}{\sqrt[{3}]{n} } $ phân kỳ (là chuỗi Riemann có $\alpha =\dfrac{1}{3} <1$)

Chuỗi điều hòa $\displaystyle \sum\limits_{{\rm n}={\rm 1}}^{+\infty }\dfrac{1}{n} $ phân kỳ (là chuỗi Riemann có $\alpha =1$)

tag: bài tập chuỗi số có lời giải