CHUỖI SỐ (SERIES)

CÁC BÀI VIẾT LIÊN QUAN ĐẾN GIẢI TÍCH

Thuật ngữ tiếng anh

Chuỗi số : Series

Tổng của chuỗi số : The total sum of series

Hội tụ : Convergent

Phân kỳ :Divergent

CHUỖI SỐ

1. ĐỊNH NGHĨA

Cho một dãy vô hạn các số $u_{1},u_{2},\cdots,u_{n},...$

Biểu thức: $u_{1} +u_{2} +\cdots +u_{n} +\cdots $ được gọi là một chuỗi số và kí hiệu $\displaystyle \sum _{n=1}^{+\infty }u_{n}.$

Nghĩa là

$$\sum _{n=1}^{+\infty }u_{n} =u_{1} +u_{2} +\cdots +u_{n} +\cdots\tag{1}\label{a}$$

+) $S_{n}:=\sum _{k=1}^{n}u_{k}$ được gọi là tổng riêng thứ $n$ của chuỗi số.

+) Nếu $S_{n} $ dần tới một giới hạn hữu hạn, khi $n\to \infty $ thì ta nói chuỗi \eqref{a} hội tụ và có tổng là $S$, ta viết: $S=\sum _{n=1}^{+\infty }u_{n}$.

+) $R_{n} :=S-S_{n} $ được gọi là phần dư thứ $n$ của chuỗi số.

Như vậy, chuỗi số hội tụ khi và chỉ khi $R_{n} \to 0$ khi $n\to \infty$.

+) Nếu $S_{n}$ không dần tới một giới hạn hữu hạn khi $n\to \infty$ thì ta nói chuỗi \eqref{a} phân kỳ.

Ví dụ

Ví dụ 1. Xét sự hội tụ, phân kỳ của các chuỗi số $\displaystyle \sum _{n=1}^{+\infty }\dfrac{1}{n(n+1)}$.

Ta có: $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty }\dfrac{1}{n(n+1)} =\dfrac{1}{1.2} +\dfrac{1}{2.3} +\cdots +\dfrac{1}{n(n+1)} +\cdots$

Ta tìm tổng riêng thứ $n$: $\displaystyle S_{n} =\dfrac{1}{1.2} +\dfrac{1}{2.3}+\cdots+\dfrac{1}{n(n+1)}$.

Nhận xét.

$\displaystyle \dfrac{1}{n(n+1)} =\dfrac{1}{n} -\dfrac{1}{n+1}$

$\Rightarrow S_{n} =\dfrac{1}{1.2} +\dfrac{1}{2.3} +\cdots +\dfrac{1}{n(n+1)}=\dfrac{1}{1}-\dfrac{1}{2} +\dfrac{1}{2} -\dfrac{1}{3} +\cdots +\dfrac{1}{n} -\dfrac{1}{n+1} =1-\dfrac{1}{n+1} $

$\Rightarrow \lim\limits_{n\to \infty } S_{n} =\lim\limits_{n\to \infty } \left(1-\dfrac{1}{n+1}\right)=1=S.$

Vậy chuỗi đã cho hội tụ và có tổng là $1$

Ví dụ 2. Xét sự hội tụ, phân kỳ của các chuỗi số $\displaystyle \sum_{n=1}^{+\infty }aq^{n-1}, a\ne 0$.

Ta có: $\displaystyle \sum_{n=1}^{+\infty }aq^{n-1} =a+aq+aq^{2} +\cdots +aq^{n-1} +\cdots $

Đây là cấp số nhân vô hạn với công bội là $q$. Ta có: $S_{n} =a+aq+aq^{2} +\cdots +aq^{n-1} $

+) Với $q\ne 1$ thì $S_{n} =a\dfrac{1-q^{n} }{1-q} $

Ta xét các trường hợp sau:

TH1: $|q|<1 \Rightarrow {\mathop{\lim }\limits_{n\to \infty }} q^{n} =0 \Rightarrow {\mathop{\lim }\limits_{n\to \infty }} S_{n} =\dfrac{a}{1-q} =S$. Vậy $|q|<1$ chuỗi đã cho hội tụ và có tổng là $S=\dfrac{a}{1-q}$.

TH2: $|q|>1 \Rightarrow {\mathop{\lim }\limits_{n\to \infty }} q^{n} =\infty \Rightarrow {\mathop{\lim }\limits_{n\to \infty }}S_{n} =\infty$. Vậy $|q|>1$ chuỗi đã cho phân kỳ.

+) Với $\displaystyle q=-1\Rightarrow \sum _{n=1}^{+\infty }aq^{n-1} =a-a+a-a+\cdots $ $$S_{n} =a\cdot \dfrac{1-(-1)^{n} }{1+1} =\left\{\begin{array}{l}{0;n=2k} \\ {a;n=2k+1} \end{array}\right.$$ $S_{n}$ không dần tới một giới hạn hữu hạn khi $n\to \infty$. Vậy $q=-1$ chuỗi đã cho phân kỳ.

+) Với $q=1$ ta có $\displaystyle \sum _{n=1}^{+\infty }aq^{n-1} =a+a+a+\cdots +a+\cdots $ $$S_{n} =na\Rightarrow {\mathop{\lim }\limits_{n\to \infty }} S_{n} =\infty$$ Vậy $q=1$ chuỗi đã cho phân kỳ.

Kết luận

$\displaystyle \sum _{n=1}^{+\infty }aq^{n-1} (a\ne 0)$ hội tụ (về $S=\dfrac{a}{1-q} $ ) khi $|q|<1$ và phân kỳ khi $|q|\ge 1$.

2. ĐIỀU KIỆN CẦN ĐỂ MỘT CHUỖI SỐ HỘI TỤ

Nếu $\displaystyle \sum _{n=1}^{+\infty }u_{n} $ hội tụ thì $u_{n} \to 0$ khi $n\to \infty $.

Điều này cũng đồng nghĩa với hệ quả sau

Nếu $u_{n} $ không dần tới $0$ khi $n\to \infty $ thì $\displaystyle \sum _{n=1}^{+\infty }u_{n}$ phân kỳ.

Ví dụ 3. Xét tính hội tụ, phân kỳ của chuỗi số: $\displaystyle \sum_{{\rm n}={\rm 1}}^{+\infty }\dfrac{2n+3}{n}$

Chuỗi số $\displaystyle \sum_{{\rm n}={\rm 1}}^{+\infty }\dfrac{2n+3}{n}$ phân kỳ vì $\dfrac{2n+3}{n} \stackrel{n\to +\infty }{\longrightarrow}2\ne 0$.

Ví dụ 4. Xét tính hội tụ, phân kỳ của chuỗi số: $\displaystyle \sum _{{\rm n}={\rm 1}}^{+\infty }\dfrac{1}{\sqrt{n}}$

Rõ ràng: ${\mathop{\lim }\limits_{n\to \infty }} u_{n} ={\mathop{\lim }\limits_{n\to \infty }} \dfrac{1}{\sqrt{n} } =0$

Nhưng ta lại có: $$S_{n} =\frac{1}{\sqrt{1} } +\dfrac{1}{\sqrt{2} } +\dfrac{1}{\sqrt{3} } +\cdots +\dfrac{1}{\sqrt{n} } >\dfrac{1}{\sqrt{n} } +\dfrac{1}{\sqrt{n} } +\dfrac{1}{\sqrt{n} } +\cdots +\dfrac{1}{\sqrt{n} }=\dfrac{n}{\sqrt{n} }=\sqrt{n} $$ Vì $S_{n} >\sqrt{n} $ nên ${\mathop{\lim }\limits_{n\to \infty }} S_{n} >{\mathop{\lim }\limits_{n\to +\infty }} \sqrt{n} =+\infty $. Vậy chuỗi đã cho phân kỳ.

Ví dụ 5. Xét sự hội tụ hay phân kỳ của chuỗi $\displaystyle \sum _{{\rm n}={\rm 1}}^{+\infty }\dfrac{1}{n}$

Chuỗi $\displaystyle \sum _{{\rm n}={\rm 1}}^{+\infty }\dfrac{1}{n}$ gọi là chuỗi điều hoà

Nhận xét: ${\mathop{\lim }\limits_{n\to \infty }} u_{n} ={\mathop{\lim }\limits_{n\to \infty }} \dfrac{1}{n} =0$

Tuy nhiên: \[\begin{array}{l} {S_{2n} -S_{n} =1 +\dfrac{1}{2} +\dfrac{1}{3} +\cdots +\dfrac{1}{n} +\dfrac{1}{n+1} +\dfrac{1}{n+2} +\dfrac{1}{n+3} +\cdots +\dfrac{1}{2n}}-(1 +\dfrac{1}{2} +\dfrac{1}{3} +\cdots +\dfrac{1}{n} )\\{{\rm \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; }=\dfrac{1}{n+1} +\dfrac{1}{n+2} +\dfrac{1}{n+3} +\cdots +\dfrac{1}{2n}>\dfrac{1}{2n} +\dfrac{1}{2n} +\dfrac{1}{2n} +\cdots +\dfrac{1}{2n} =\dfrac{1}{2}} \end{array}\]

Khi đó $S_{n} $ và $S_{2n} $ không cùng dần tới một giới hạn khi $n\to \infty $ ( ${\mathop{\lim }\limits_{n\to \infty }} (S_{2n} -S_{n} )\ne 0$)

Vậy chuỗi đã cho phân kỳ

3. ĐIỀU KIỆN CẦN VÀ ĐỦ ĐỂ MỘT CHUỖI SỐ HỘI TỤ (TIÊU CHUẨN CAUCHY)

Ta đã biết điều kiện cần của chuỗi số hội tụ là khi $u_{n} \to 0$ khi $n\to \infty $

Tiêu chuẩn Cauchy sau cho ta điều kiện cần và đủ để chuỗi số hội tụ

(Tiêu chuẩn Cauchy) Điều kiện cần và đủ để chuỗi số $\displaystyle \sum _{n=1}^{+\infty }u_{n} $ hội tụ là $\forall \varepsilon >0$ cho trước, tồn tại số nguyên dương $n_{0} $ sao cho khi $p>q>n_{0} $ ta có $\displaystyle |S_{p} -S_{q} |=\left|\sum _{n=q+1}^{p}u_{n} \right|<\varepsilon $

Ví dụ 6. Xét sự hội tụ hay phân kỳ của chuỗi điều hoà: $\displaystyle \sum _{{\rm n}={\rm 1}}^{+\infty }\dfrac{1}{n}$

Với chuỗi điều hòa $\displaystyle \sum _{{\rm n}={\rm 1}}^{+\infty }\dfrac{1}{n} $, ta thấy điều kiện của định lý Cauchy không được thỏa mãn vì không thể xảy ra bất đẳng thức $\displaystyle |S_{2n} -S_{n} |=\left|\sum _{k=n+1}^{2n}\dfrac{1}{k} \right|<\varepsilon $ nên chuỗi đã cho phân kỳ.

XEM TIẾP CHUỖI SỐ DƯƠNG

tag: bài tập chuỗi số có lời giải

CHUỖI SỐ (SERIES)