KHÔNG GIAN VECTO

Một không gian vecto $V$ trên một trường $F$ là một tập hợp được trang bị hai phép toán

Phép cộng: $+:V\times V\to V$ xác định bởi $\left( x;y \right)\mapsto x+y$

Phép nhân vô hướng: $K\times V\to V$ xác định bởi $\left( k,x \right)\mapsto kx$

Và thoả mãn những điều kiện sau đây

1) $\left( x+y \right)+z=x+\left( y+z \right),\forall x,y,z\in V$

2) $\exists 0\in V:0+x=x+0=x,\forall x\in V$

3) $\forall x\in V,\exists x'\in V:x+x'=x'+x=0$

4) $x+y=y+x,\forall x,y\in V$

5) $\left( a+b \right)x=ax+bx,\forall a,b\in F,\forall x\in V$

6) $a\left( x+y \right)=ay+ay,\forall a\in F,\forall x,y\in V$

7) $a\left( bx \right)=\left( ab \right)x,\forall a,b\in F,\forall x\in V$

8) $1x=x,\forall x\in V$

Khi $K=\mathbb{R}$ ta gọi $V$ là một không gian vecto thực

Khi $K=\mathbb{C}$ ta gọi $V$ là một không gian vecto phức

MỘT SỐ VÍ DỤ BÀI TẬP

Nhớ lại cảm giác lúc mới học thì thực sự việc chứng minh một không gian vecto con, hay một số bài tập chứng minh dựa vào định nghĩa cũng là một điều gì đó trừu tượng và khó hiểu, có lẽ cái logic hiển nhiên đã được lắp đặt, logic được cung cấp và được sử dụng trở nên quen thuộc ở phổ thông, không hiểu nó từ đâu ra, không hiểu được cấu trúc cơ bản của nó là gì, do vậy việc tiếp nhận những kiến thức trừu tượng trở nên khó khăn hơn rất nhiều

Đôi khi học, làm bài tập được, qua môn được, nhưng thực chất để cảm nhận được nó là cái gì, thì chắc phải là những người thực sự muốn biết nó là cái gì, như bản thân Caolac, học qua năm nhất, cũng qua hết môn nhưng thực sự lên năm 2 đại học Caolac mới ngộ ra được khái niệm ánh xạ, một khái niệm cực kỳ cơ bản của toán (chắc là do bản thân dở, chứ cũng không quá khó để cảm nhận), cụ thể lúc đó Caolac không thể phân biệt được đơn ánh và song ánh, Caolac vẫn biết đơn ánh là cứ hai phần tử ở tập nguồn khác nhau thì dẫn tới hai ảnh ở tập đích khác nhau, còn song ánh là vừa đơn ánh vừa toàn ánh, Caolac vẫn biết toàn ánh là mỗi phần tử ở tập đích, luôn tồn tại phần tử ở tập nguồn sao cho ánh xạ qua nó bằng nó, biết là biết zậy nhưng nó khác nhau gì thì không cảm nhận nổi

Do vậy nên những chứng minh bên dưới, cố gắng Caolac sẽ chứng minh theo cách hiểu của mình, một cách rõ ràng nhất

Ví dụ 1. Trong không gian ${{\mathbb{R}}^{4}}$ cho tập con $A=\left\{ \left( {{x}_{1}};{{x}_{2}};{{x}_{3}};{{x}_{4}} \right)\in {{\mathbb{R}}^{4}}|{{x}_{1}}+{{x}_{2}}+2{{x}_{3}}-{{x}_{4}}=0 \right\}$

a) Chứng minh rằng $A$ là một không gian vecto con của ${{\mathbb{R}}^{4}}$

b) Tìm một cơ sở và số chiều của $A$

Giải

a) Để chứng minh $A$ là không gian vecto con của ${{\mathbb{R}}^{4}}$ ta cần phải kiểm tra các điều kiện sau

$\left\{ \begin{align} & A\ne \varnothing \\ & x+y\in A,\forall x,y\in A \\ & kx\in A,\forall k\in \mathbb{R},\forall x\in A \\ \end{align} \right.$

+) Chỉ ra $A\ne \varnothing $

Ta thấy $\left( 0;0;0;0 \right)\in A$ vì $0+0+2.0-0=0$ thoả tính chất của tập $A$

Do đó $A\ne \varnothing $

+) Chỉ ra $x+y\in A,\forall x,y\in A$

Giả sử lấy tuỳ ý $x,y\in A$, khi đó $x=\left( {{x}_{1}};{{x}_{2}};{{x}_{3}};{{x}_{4}} \right)$ và $y=\left( {{y}_{1}};{{y}_{2}};{{y}_{3}};{{y}_{4}} \right)$

$x+y=\left( {{x}_{1}}+{{y}_{1}};{{x}_{2}}+{{y}_{2}};{{x}_{3}}+{{y}_{3}};{{x}_{4}}+{{y}_{4}} \right)$

Dễ thấy $\left( {{x}_{1}}+{{y}_{1}} \right)+\left( {{x}_{2}}+{{y}_{2}} \right)+2\left( {{x}_{3}}+{{y}_{3}} \right)-\left( {{x}_{4}}+{{y}_{4}} \right)$

$=\left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}}+2{{x}_{3}}-{{x}_{4}} \right)+\left( {{y}_{1}}+{{y}_{2}}+2{{y}_{3}}-{{y}_{4}} \right)$

$=0+0=0$

Do đó $x+y\in A$

+) Chỉ ra $kx\in A,\forall k\in \mathbb{R},\forall x\in A$

Giả sử lấy tuỳ ý $x\in A$, khi đó $x=\left( {{x}_{1}};{{x}_{2}};{{x}_{3}};{{x}_{4}} \right)$, lấy $k\in \mathbb{R}$ tuỳ ý

Ta có $kx=\left( k{{x}_{1}};k{{x}_{2}};k{{x}_{3}};k{{x}_{4}} \right)$

Dễ thấy $k{{x}_{1}}+k{{x}_{2}}+2\left( k{{x}_{3}} \right)-k{{x}_{4}}=k\left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}}+2{{x}_{3}}-{{x}_{4}} \right)$

$=k.0=0$

Do đó $kx\in A$

Từ đây ta suy ra $A$ là không gian vecto con của ${{\mathbb{R}}^{4}}$

b) Với mọi $x\in A$, khi đó $x=\left( {{x}_{1}};{{x}_{2}};{{x}_{3}};{{x}_{4}} \right)$ và ${{x}_{1}}+{{x}_{2}}+2{{x}_{3}}-{{x}_{4}}=0$

Khi đó ${{x}_{4}}={{x}_{1}}+{{x}_{2}}+2{{x}_{3}}$ hay

$x=\left( {{x}_{1}};{{x}_{2}};{{x}_{3}};{{x}_{1}}+{{x}_{2}}+2{{x}_{3}} \right)$

$=\left( {{x}_{1}};0;0;{{x}_{1}} \right)+\left( 0;{{x}_{2}};0;{{x}_{2}} \right)+\left( 0;0;{{x}_{3}};2{{x}_{3}} \right)$

$={{x}_{1}}\left( 1;0;0;1 \right)+{{x}_{2}}\left( 0;1;0;1 \right)+{{x}_{3}}\left( 0;0;1;2 \right)$

Vậy hệ $\left\{ \left( 1;0;0;1 \right),\left( 0;1;0;1 \right),\left( 0;0;1;2 \right) \right\}$ là một hệ sinh của $A$

Mặt khác, giả sử

${{k}_{1}}\left( 1;0;0;1 \right)+{{k}_{2}}\left( 0;1;0;1 \right)+{{k}_{3}}\left( 0;0;1;2 \right)=0$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{align} & {{k}_{1}}=0 \\ & {{k}_{2}}=0 \\ & {{k}_{3}}=0 \\ & {{k}_{1}}+{{k}_{2}}+2{{k}_{3}}=0 \\ \end{align} \right.$

$\Leftrightarrow {{k}_{1}}={{k}_{2}}={{k}_{3}}=0$

Do đó hệ $\left\{ \left( 1;0;0;1 \right),\left( 0;1;0;1 \right),\left( 0;0;1;2 \right) \right\}$ là độc lập tuyến tính

Một hệ vừa là hệ sinh, vừa độc lập tuyến tính nên hệ $\left\{ \left( 1;0;0;1 \right),\left( 0;1;0;1 \right),\left( 0;0;1;2 \right) \right\}$ là một cơ sở của $A$

tag: bài tập không gian véctơ có lời giải, vector , véctơ

KHÔNG GIAN VECTO