BÀI TẬP LÝ THUYẾT TOÁN TỬ

MỘT SỐ BÀI TẬP LÝ THUYẾT TOÁN TỬ

Tổng hợp một số bài tập đã giải phần lý thuyết toán tử trong quá trình học. Bài viết này là bài tập phần toán tử tuyến tính

Một số ký hiệu viết tắt trong bài viết:

KGDC: không gian định chuẩn

Một số khái niệm cần nắm.

1. Dãy Cauchy (dãy cơ bản).

Một dãy $\{x_n\}$ được gọi là dãy Cauchy nếu với $\epsilon>0$ bé tùy ý, luôn tồn tại một số $n_0$ sao cho mọi $m,n>n_0$ thì $\parallel x_m-x_n\parallel <\epsilon$. Cũng có thể nói cách khác là $\parallel x_m-x_n \parallel\to 0$ khi $m,n\to \infty$ hay $m,n$ đủ lớn

Với bản thân mình hình dung thì một dãy được gọi là dãy Cauchy nếu đến một lúc nào đó, nó sẽ co lại, và kể từ vùng co đó trở đi thì nó không thể bung ra được nữa

2. Không gian Banach

Không gian Banach = KGDC + Đầy đủ

Đầy đủ = Mọi dãy Cauchy đều hội tụ

---

Bài tập

Bài tập 1. Cho $X,Y$ là các KGDC và ánh xạ $A: X\to Y$ thỏa mãn: $$A(x+y)=A(x)+A(y)$$ Chứng minh rằng: Nếu $A$ liên tục tại $0$ thì $A$ liên tục trên $X$

Giải

Ta có $A(0)=A(0+0)=A(0)+A(0)$. Do định nghĩa ánh xạ $A$

Suy ra $A(0)=0$

$0=A(0)=A(x-x)=A(x)+A(-x)$. Suy ra $A(-x)=-A(x) \quad (1)$

Lấy dãy $x_n$ bất kỳ hội tụ về $x$. Khi đó $x_n\to x$ hay $x_n-x\to 0$ khi $n\to \infty$

Do $A$ liên tục tại $0$ nên $A(x_n-x)\to 0$ hay $A(x_n)+A(-x)\to 0$ (do định nghĩa $A$) hay $A(x_n)-A(x)\to 0$ (do $(1)$)

Suy ra $A$ liên tục trên $X.\quad \square$

Bài tập 2. Cho $X,Y$ là KGDC. Ánh xạ $A:X\to Y$ là tuyến tính. Chứng minh rằng $A\in L(X,Y)\Leftrightarrow$ $A$ biến dãy Cauchy thành dãy Cauchy. (Trong đó $L(X,Y)$ là không gian các hàm tuyến tính liên tục)

Giải

$(\Rightarrow)$ Giả sử $A\in L(X,Y)$ ta cần chứng minh $A$ biến một dãy Cauchy trong $X$ thành một dãy Cauchy trong $Y$. Tức là nếu $\{x_n\}$ là một dãy Cauchy trong $X$ ta phải chỉ ra $\{Ax_n\}$ là một dãy Cauchy trong $Y$

Ta có $\parallel Ax_m-Ax_n \parallel=\parallel A(x_m-x_n)\parallel$ (Do $A$ tuyến tính). $\parallel A(x_m-x_n)\parallel\le \parallel A \parallel \cdot \parallel x_m-x_n \parallel$

Mà $\{x_n\}$ là dãy Cauchy nên $\parallel x_m-x_n \parallel \to 0$ khi $m,n \to \infty$

Nên $ \parallel Ax_m-Ax_n \parallel \to 0$ khi $m,n \to \infty$. Hay $Ax_n$ là dãy Cauchy

$(\Leftarrow)$

-------