BÀI TẬP LÝ THUYẾT TOÁN TỬ

MỘT SỐ BÀI TẬP LÝ THUYẾT TOÁN TỬ

Tổng hợp một số bài tập đã giải phần lý thuyết toán tử trong quá trình học. Bài viết này là bài tập phần toán tử tuyến tính

Một số ký hiệu viết tắt trong bài viết:

KGDC: không gian định chuẩn

Một số khái niệm cần nắm.

1. Dãy Cauchy (dãy cơ bản).

Một dãy {xn} được gọi là dãy Cauchy nếu với ϵ>0 bé tùy ý, luôn tồn tại một số n0 sao cho mọi m,n>n0 thì xmxn∥<ϵ. Cũng có thể nói cách khác là xmxn0 khi m,n hay m,n đủ lớn

Với bản thân mình hình dung thì một dãy được gọi là dãy Cauchy nếu đến một lúc nào đó, nó sẽ co lại, và kể từ vùng co đó trở đi thì nó không thể bung ra được nữa

2. Không gian Banach

Không gian Banach = KGDC + Đầy đủ

Đầy đủ = Mọi dãy Cauchy đều hội tụ


Bài tập

Bài tập 1. Cho X,Y là các KGDC và ánh xạ A:XY thỏa mãn: A(x+y)=A(x)+A(y) Chứng minh rằng: Nếu A liên tục tại 0 thì A liên tục trên X

Giải

Ta có A(0)=A(0+0)=A(0)+A(0). Do định nghĩa ánh xạ A

Suy ra A(0)=0

0=A(0)=A(xx)=A(x)+A(x). Suy ra A(x)=A(x)(1)

Lấy dãy xn bất kỳ hội tụ về x. Khi đó xnx hay xnx0 khi n

Do A liên tục tại 0 nên A(xnx)0 hay A(xn)+A(x)0 (do định nghĩa A) hay A(xn)A(x)0 (do (1))

Suy ra A liên tục trên X.

Bài tập 2. Cho X,Y là KGDC. Ánh xạ A:XY là tuyến tính. Chứng minh rằng AL(X,Y) A biến dãy Cauchy thành dãy Cauchy. (Trong đó L(X,Y) là không gian các hàm tuyến tính liên tục)

Giải

() Giả sử AL(X,Y) ta cần chứng minh A biến một dãy Cauchy trong X thành một dãy Cauchy trong Y. Tức là nếu {xn} là một dãy Cauchy trong X ta phải chỉ ra {Axn} là một dãy Cauchy trong Y

Ta có AxmAxn∥=∥A(xmxn) (Do A tuyến tính). A(xmxn)∥≤∥Axmxn

{xn} là dãy Cauchy nên xmxn0 khi m,n

Nên AxmAxn0 khi m,n. Hay Axn là dãy Cauchy

()

-------

Post a Comment

0 Comments