CHUỖI SỐ CÓ DẤU BẤT KỲ

CÁC BÀI VIẾT LIÊN QUAN ĐẾN GIẢI TÍCH

CHUỖI SỐ CÓ DẤU BẤT KỲ

Trước khi tham khảo bài viết này, các bạn nên xem lại hai bài viết về chuỗi số và chuỗi số dương

1. CHUỖI ĐAN DẤU

Chuỗi đan dấu là chuỗi số có dạng $\pm (u_{1} -u_{2} +\cdots +(-1)^{n+1} u_{n} +\cdots ),{\rm \; }u_{n} >0$

Chú ý. Ta chỉ cần xét tính chất của chuỗi số $u_{1} -u_{2} +\cdots +(-1)^{n+1} u_{n} +\cdots ,{\rm \; }u_{n} >0$, kí hiệu: $\sum\limits_{n=1}^{+\infty }(-1)^{n+1} u_{n}$ hoặc $\sum\limits_{n=1}^{+\infty }(-1)^{n-1} u_{n}$

2. TIÊU CHUẨN LEIBNIZ

Để kiểm tra sự hội tụ của chuỗi đan dấu, ta sử dụng tiêu chuẩn Leibniz

Cho chuỗi đan dấu $\sum\limits_{n=1}^{+\infty }(-1)^{n+1} u_{n} $

Nếu dãy số dương $u_{1} ,u_{2},\ldots,u_{n},\ldots$ đơn điệu giảm và $u_{n} \to 0$ khi $n\to \infty$ thì chuỗi đã cho hội tụ và có tổng không vượt quá số hạng đầu tiên $u_{1}$

Ví dụ 1. Xét sự hội tụ, phân kỳ của chuỗi số $\sum\limits_{n=1}^{+\infty }(-1)^{n+1} \dfrac{1}{n} $

Phân tích các điều kiện của định lý Leibniz đối với chuỗi đã cho, và đưa ra kết luận

$\left\{\dfrac{1}{n} \right\}_{n=1}^{\infty }$ đơn điệu giảm và ${\mathop{\lim }\limits_{n\to +\infty }} \dfrac{1}{n} =0$ nên $\sum\limits_{n=1}^{+\infty }(-1)^{n+1} \dfrac{1}{n} $ hội tụ

Hoặc kết luận: Chuỗi $\sum\limits_{n=1}^{+\infty }(-1)^{n+1} \dfrac{1}{n}$ là chuỗi đan dấu thỏa mãn các điều kiện của định lý Leibniz, nên hội tụ

Ví dụ 2. Xét sự hội tụ, phân kỳ của chuỗi số $\sum\limits_{n=1}^{+\infty }(-1)^{n-1} \dfrac{n+1}{n^{2} +n+1} $

Chuỗi $\sum\limits_{n=1}^{+\infty }(-1)^{n-1} \dfrac{n+1}{n^{2} +n+1}$ là chuỗi đan dấu thỏa mãn các điều kiện của định lý Leibniz, nên hội tụ

3. CHUỖI ĐAN DẤU BẤT KỲ

Nếu chuỗi số $\sum\limits_{n=1}^{+\infty }|u_{n} |$ hội tụ thì chuỗi số $\sum\limits_{n=1}^{+\infty }u_{n} $ cũng hội tụ

Khi đó, ta nói chuỗi $\sum\limits_{n=1}^{+\infty }u_{n}$ hội tụ tuyệt đối

Chú ý. Định lý chỉ nêu điều kiện đủ chứ không nêu điều kiện cần để chuỗi $\sum\limits_{n=1}^{+\infty }u_{n} $ hội tụ (nghĩa là có thể chuỗi $\sum\limits_{n=1}^{+\infty }u_{n} $ hội tụ mà chuỗi $\sum\limits_{n=1}^{+\infty }|u_{n} |$ lại phân kỳ, khi đó ta nói chuỗi $\sum\limits_{n=1}^{+\infty }u_{n} $ hội tụ không tuyệt đối hay bán hội tụ)

Đương nhiên: nếu chuỗi $\sum\limits_{n=1}^{+\infty }u_{n} $ phân kỳ thì chuỗi $\sum\limits_{n=1}^{+\infty }|u_{n} |$ cũng phân kỳ

Ví dụ 3. Xét sự hội tụ, phân kỳ của chuỗi số $\sum\limits_{n=1}^{+\infty }\dfrac{\sin n\alpha }{n^{7} } $

Xét chuỗi số dương $\sum\limits_{n=1}^{+\infty }\left|\dfrac{\sin n\alpha }{n^{7} } \right| $

Nhận xét. $\left|\dfrac{\sin n\alpha }{n^{7} } \right|\le \dfrac{1}{n^{7} } ,\forall n\ge 1$

Mặt khác chuỗi $\sum\limits_{n=1}^{\infty }\dfrac{1}{n^{7} }$ hội tụ (vì đây là chuỗi Riemann có $\alpha =7>1$)

Nên theo định lý so sánh 1 thì chuỗi $\sum\limits_{n=1}^{+\infty }\left|\dfrac{\sin n\alpha }{n^{7} } \right| $ hội tụ $\Rightarrow \sum\limits_{n=1}^{+\infty }\dfrac{\sin n\alpha }{n^{7} } $ hội tụ

Vậy, chuỗi $\sum\limits_{n=1}^{+\infty }\dfrac{\sin n\alpha }{n^{7} } $ hội tụ (Hội tụ tuyệt đối)

Ví dụ 4. Xét sự hội tụ tuyệt đối, bán hội tụ của chuỗi số $\sum\limits_{n=1}^{+\infty }(-1)^{n+1} \dfrac{1}{n} $

Theo kết quả của Ví dụ 1, chuỗi $\sum\limits_{n=1}^{+\infty }(-1)^{n+1} \dfrac{1}{n}$ hội tụ

Nhưng $\left|(-1)^{n+1} \dfrac{1}{n} \right|=\dfrac{1}{n} $

Mặt khác chuỗi điều hòa $\sum\limits_{{\rm n}={\rm 1}}^{+\infty }\dfrac{1}{n}$ phân kỳ nên $\sum\limits_{{\rm n}={\rm 1}}^{+\infty }\left|(-1)^{n+1} \dfrac{1}{n} \right|$ phân kỳ

Vậy, chuỗi $\sum\limits_{n=1}^{+\infty }(-1)^{n+1} \dfrac{1}{n} $ là chuỗi bán hội tụ

Ví dụ 5. Xét sự hội tụ tuyệt đối, bán hội tụ của chuỗi số $\sum\limits_{{\rm n}={\rm 1}}^{+\infty }(-1)^{n-1}\dfrac{1}{n^{2} } $

$\left|(-1)^{n-1} \dfrac{1}{n^{2} } \right|=\dfrac{1}{n^{2} } $, mà chuỗi $\sum\limits_{{\rm n}={\rm 1}}^{+\infty }\dfrac{1}{n^{2} } $ hội tụ (chuỗi Riemann có $\alpha =2>1$)

Như vậy, $\sum\limits_{{\rm n}={\rm 1}}^{+\infty }\left|(-1)^{n-1} \dfrac{1}{n^{2} } \right| $ hội tụ $\Rightarrow \sum\limits_{{\rm n}={\rm 1}}^{+\infty }(-1)^{n-1} \dfrac{1}{n^{2} }$ hội tụ (hội tụ tuyệt đối).

tag: bài tập chuỗi số có lời giải

CHUỖI SỐ CÓ DẤU BẤT KỲ