TÍCH PHÂN BẤT ĐỊNH CỦA CÁC HÀM HỮU TỶ

Khi học phép tính tích phân ở THPT chúng ta thường chỉ giải quyết các bài toán cụ thể từ dễ đến khó, từ đó lâu dần có kinh nghiệm và độ nhạy bén để xử lý các tích phân tùy vào khả năng mỗi người. Không biết các bạn như thế nào chứ đối với bản thân Caolac thì việc biết được nguồn gốc cũng như cách thức tổng quát thì cảm thấy rất tuyệt, cho dù có thể việc tính toán phức tạp, nhưng mình biết là sẽ giải quyết được vấn đề. Giống như việc cho một định thức cấp $n$, thì Caolac biết là chắc chắn sẽ tính được thông qua khai triển Laplace cho dù cách này có thể khá phức tạp so với nhiều cách khác

Bài viết này Caolac và các bạn cùng nhau đi tìm hiểu về "Tích phân bất định của một số lớp hàm đặc biệt" mà cụ thể ở đây là lớp các hàm hữu tỷ, tức là biểu thức dưới dấu tích phân có dạng hàm hữu tỷ. Nếu nắm được ý tưởng trong bài viết này thì khi gặp tích phân bất định của hàm hữu tỷ ta sẽ không còn lo ngại, vấn đề còn lại chỉ là thời gian và tốc độ tính toán

Trong bài viết này thì từ "tích phân" sẽ hiểu là "tích phân bất định"

Tích phân bất định của hàm hữu tỷ có dạng:

$$\int\frac{P(x)}{Q(x)}dx$$

trong đó $P(x)$, $Q(x)$ là các đa thức có bậc hữu hạn

Ý tưởng của việc tính tích phân bất định của lớp hàm hữu tỷ này là phân tích biểu thức dưới dấu tích phân thành tổng của những phân thức hữu tỷ mà ở đó việc tính tích phân bất định của chúng là đơn giản hơn nhiều. Ok, chúng ta hãy cùng nhau xâm nhập vấn đề nào, Let's go!

Ở đây ta chỉ xét trường hợp $\deg(P) < \deg(Q)$ ($\deg(P)$ là bậc của đa thức $P(x)$). Bởi lẽ một lý do đơn giản là nếu $\deg(P) \ge \deg(Q)$ thì bằng phép chia đa thức ta có thể viết lại dưới dạng:

$$\frac{P(x)}{Q(x)}=H(x)+\frac{R(x)}{Q(x)}$$

trong đó $H(x)$ là thương của phép chia, $R(x)$ là phần dư và tất nhiên là $\deg(R) < \deg(Q)$

Cơ sở quan trọng của việc hình thành phương pháp tính tích phân của lớp hàm hữu tỷ này là định lý:

Mọi đa thức với hệ số thực luôn có thể phân tích thành nhân tử của các đơn thức và đa thức bậc hai

Theo định lý trên thì $Q(x)$ có thể phân tích được thành nhân tử của các đơn thức và đa thức bậc hai, do đó $\dfrac{P(x)}{Q(x)}$ có thể phân tích được thành tổng của các phân thức dạng:

$$\frac{A_1}{ax+b}+\frac{A_2}{(ax+b)^2}+\cdots+\frac{A_n}{(ax+b)^n}$$ và $$\frac{B_1x+C_1}{px^2+qx+r}+\frac{B_2x+C_2}{(px^2+qx+r)^2}+\cdots+\frac{B_mx+C_m}{(px^2+qx+r)^m}$$

trong đó đa thức $px^2+qx+r$ là bất khả quy (nếu không thì lại phân tích được thành nhóm ở trên rồi)

Các hệ số $A_1,\ldots,A_n,B_1,\ldots,B_m,C_1,\ldots,C_m$ được xác định bằng phương pháp đồng nhất hệ số (đồng nhất thức)

Cuối cùng ta sẽ tính tích phân bất định cho từng phân thức và thu được kết quả. Tuy nhiên việc tính tính phân bất định của các phân thức hữu tỷ sau khi đã phân tích cũng gặp một số rắc rối nhất định và chúng sẽ được giải quyết ở phần bên dưới. Bây giờ chúng ta thử làm một ví dụ để có thể hình dung được những gì đã nói ở trên. Viết theo kiểu tổng quát thì có vẻ khoai đấy nhưng khi ví dụ cụ thể thì mọi chuyện sẽ trong sáng ngay thôi!

Ví dụ 1. Tính tích phân bất định sau $$\int\frac{x^4}{x^3+1}dx$$

$P(x)=x^4, \, Q(x)=x^3+1$ có $\deg(P)=4>\deg(Q)=3$

Thực hiện phép chia đa thức ta được: $$\frac{x^4}{x^3+1}=x-\frac{x}{x^3+1}$$

Bây giờ ta chỉ cần phân tích chú $\dfrac{x}{x^3+1}$ nữa là xong

$$\frac{x}{x^3+1}=\frac{x}{(x+1)(x^2-x+1)}=\frac{A}{x+1}+\frac{Bx+D}{x^2-x+1}$$

Sử dụng phương pháp đồng nhất hệ số. Quy đồng mẫu chung cho ta: $$x=A(x^2-x+1)+(Bx+D)(x+1)=(A+B)x^2+(-A+B+D)x+(A+D)$$

Đồng nhất hai vế cho ta: $$\begin{cases}
A+B &=&0 \\
-A+B+D &=&1\\
A+D &=&0
\end{cases}$$

Hay $A=-\dfrac{1}{3},B=\dfrac{1}{3},D=\dfrac{1}{3}$

Như vậy $$\frac{x^4}{x^3+1}=x+\frac{1}{3(x+1)}-\frac{x+1}{3(x^2-x+1)}$$

Khi đó việc tính tính phân bất định của đề bài sẽ chia nhỏ ra thành việc tính tổng của ba tích phân bất định: $$\int\frac{x^4}{x^3+1}dx=\int xdx+\int \frac{1}{3(x+1)}dx-\int\frac{x+1}{x^2-x+1}dx$$

Dĩ nhiên là 3 tích phân bất định sau khi phân tích sẽ dễ dàng tính được, còn cụ thể là bao nhiêu thì các bạn tự tính nha, bài viết này chủ yếu nêu ý tưởng để giải quyết dạng lớp tích phân bất định các hàm hữu tỷ này

Từ những phân tích như trên thì việc tính tích phân bất định của lớp hàm hữu tỷ chỉ còn trở ngại ở các tích phân bất định dạng: $$\int \frac{dx}{(ax+b)^n}\quad \text{và} \quad \int \frac{Ax+B}{(px^2+qx+r)^n}dx$$

Với tích phân đầu tiên thì quá đơn giản. Nếu trường hợp $n=1$ thì tích phân sẽ thành $$\int \frac{dx}{ax+b}$$

Tích phân này thì không cần phải bàn cãi gì nữa rồi

Nếu $n\ne 1$ khi đó: $$\int \frac{dx}{(ax+b)^n}=\frac{1}{a}\int\frac{d(ax+b)}{(ax+b)^n}=\frac{1}{a}\int (ax+b)^{-n}d(ax+b)$$

Tới đây thì cũng không có gì phải bàn cãi nữa

Giờ ta đi giải quyết nốt cái tích phân dạng thứ hai, đây cũng là dạng khó khăn nhất của lớp hàm này

$$\begin{aligned}
\int\frac{Ax+B}{(px^2+qx+r)^n}dx&=\int\frac{\frac{A}{2p}(2px+q)+B-\frac{qA}{2p}}{(px^2+qx+r)^n}dx\\
&=\frac{A}{2p}\int\frac{d(px^2+qx+r)}{(px^2+qx+r)^n}+\frac{2pB-qA}{2p}\int\frac{dx}{(px^2+qx+r)^n}
\end{aligned}$$

Tới đây ta thấy tích phân chỉ còn khó khăn ở dạng: $$\int \frac{dx}{(px^2+qx+r)^n}$$

Vì đa thức dưới mẫu $px^2+qx+r$ của chúng ta là bất khả quy nên ta có thể viết dưới dạng: $$px^2+qx+r=p[(x+\alpha)^2+\beta^2]$$

Bằng phép đổi biến $t=x+\alpha$ ta đưa tích phân về dạng: $$I_n=\int \frac{dt}{(t^2+\beta^2)^n}$$

Đối với tích phân này trong trường hợp $n=1$ thì sẽ thành: $$\int \frac{dt}{t^2+\beta^2}=\frac{1}{\beta}\arctan \frac{t}{\beta}+C$$

Nếu trong trường hợp $n>1$ thì ta sẽ lấy tích phân từng phần với: $$\begin{cases}
u&=&\dfrac{1}{(t^2+\beta^2)^n}\\
dv&=& dt
\end{cases}
\Rightarrow
\begin{cases}
du&=& \dfrac{-2nt}{(t^2+\beta^2)^{n+1}}dt\\
v&=& t
\end{cases}$$

và do đó

$$\begin{aligned}
I_n&=\dfrac{t}{\big( t^2+\beta ^2\big)^n}+2n\int \dfrac{t^2 dt}{\big( t^2+\beta ^2\big)^{n+1}}\\
&=\dfrac{t}{\big( t^2+\beta ^2\big)^n}+2n \left[ \int \dfrac{t^2+\beta ^2}{\big( t^2 + \beta ^2\big)^{n+1}}dt - \int \dfrac{\beta ^2}{\big( t^2+ \beta ^2\big)^{n+1}}dt\right]\\
&=\dfrac{t}{\big( t^2 +\beta ^2\big)^n}+2nI_n-2n\beta ^2 I_{n+1}
\end{aligned}$$

Vậy ta có hệ thức truy hồi: $$I_n=\dfrac{t}{\big( t^2 +\beta ^2\big)^n}+2nI_n-2n\beta ^2 I_{n+1}$$

Từ đó ta có thể tính $I_2$ thông qua $I_1$, $I_3$ thông qua $I_2$, $\ldots$

Như vậy tới đây ta đã giải quyết hết tất cả các trường hợp của lớp tích phân bất định của các hàm hữu tỷ. Mọi thứ bây giờ đối với tích phân các hàm hữu tỷ giống như công thức nghiệm của tam thức bậc hai. Tuyệt vời!