Tổng hợp lý thuyết lớp 9 (Đại số)

Bài viết này tóm tắt toàn bộ nội dung lớp 9 phần đại số. Học xong lớp 9 thì về phần đại số các em phải nắm được những vấn đề cốt lõi sau. Chúng ta cùng nhau ôn tập lại nào. Let's go!

1.ĐIỀU KIỆN ĐỂ CĂN THỨC CÓ NGHĨA.

$\sqrt{A}$ có nghĩa khi $A\ge 0$.

2.CÁC CÔNG THỨC BIẾN ĐỔI CĂN THỨC.

1# $\sqrt{A^2}=|A|$.

2# $\sqrt{AB}=\sqrt{A}\sqrt{B}(A\ge 0;B\ge 0)$.

3# $\sqrt{{\displaystyle \frac{A}{B}}}={\displaystyle \frac{\sqrt{A}}{\sqrt{B}}}(A\ge 0;B>0)$.

4# $\sqrt{A^{2}B}=|A|\sqrt{B}(B\ge 0)$.

5# $A\sqrt{B}=\sqrt{A^{2}B}(A\ge 0;B\ge 0)$.

6# $A\sqrt{B}=-\sqrt{A^{2}B}(A<0;B\ge 0)$.

Các công thức trục căn thức ở mẫu.

7# $\sqrt{{\displaystyle \frac{A}{B}}}={\displaystyle \frac{1}{|B|}}\sqrt{AB}(AB\ge 0;B\ne 0)$.

8# ${\displaystyle \frac{A}{\sqrt{B}}}={\displaystyle \frac{A\sqrt{B}}{B}}(B>0)$.

9# ${\displaystyle \frac{C}{\sqrt{A}\pm \sqrt{B}}}={\displaystyle \frac{C(\sqrt{A}\mp \sqrt{B})}{A-B}}(A\ge 0;B\ge 0;A\ne B)$.

10# ${\displaystyle \frac{C}{\sqrt{A}\pm B}}={\displaystyle \frac{C(\sqrt{A}\mp B)}{A-B^2}}(A\ge 0;A\ne B^2)$.

3.HÀM SỐ $y=ax+b(a\ne 0)$.

Tính chất:

Hàm số đồng biến trên $\mathbb{R}$ khi $a>0$.

Hàm số nghịch biến trên $\mathbb{R}$ khi $a<0$.

Đồ thị:

Đồ thị hàm số là một đường thẳng đi qua hai điểm $A(0;b)B(0;-b/a)$.

4.HÀM SỐ $y=a{x}^2(a\ne 0)$.

Tính chất:

Nếu $a>0$ thì hàm số đồng biến khi $x>0$ và hàm số nghịch biến khi $x<0$.

Nếu $a<0$ thì hàm số đồng biến khi $x<0$ và hàm số nghịch biến khi $x>0$.

Đồ thị:

Đồ thị hàm số $y=a{x}^2$ là một Parabol đi qua gốc tọa độ $O(0;0)$.

Nếu $a>0$ thì đồ thị nằm trên trục hoành.

Nếu $a<0$ thì đồ thị nằm dưới trục hoành.

Đồ thị hàm số $y=a{x}^2$ nhận trục tung $(Oy)$ làm trục đối xứng.

5.VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA HAI ĐƯỜNG THẲNG.

Cho hai đường  thẳng $(d):y=ax+b$ và $(d^{\prime }):y=a^{\prime }x+b^{\prime }$. Khi đó:

$(d)$ cắt $(d^{\prime })$ $\iff a\ne a^{\prime }$.

$(d)//(a^{\prime })\iff a=a^{\prime }$ và $b\ne b^{\prime }$.

$(d)\equiv (d^{\prime })\iff a=a^{\prime }$ và $b=b^{\prime }$.

6.VỊ  TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA ĐƯỜNG THẲNG VÀ ĐƯỜNG CONG.

Cho đường thẳng $(d):y=ax+b$ và đường cong $(P):y=a{x}^2$. Khi đó giao điểm của $(d)$ và $(P)$ chỉ xảy ra một trong 3 trường hợp sau:

$(d)$ cắt $(P)$ tại hai điểm.

$(d)$ tiếp xúc $(P)$ ($(d)$ cắt $(P)$ tại một điểm).

$(d)$ không cắt $(P)$ hay $(d)$ và $(P)$ không có điểm chung.

7.PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI.

Cho phương trình bậc hai: $y=a{x}^2+bx+c(a\ne 0)$.

Công thức nghiệm.

$\mathrm{\Delta }=b^2-4ac$.

Nếu $\mathrm{\Delta }<0$ thì phương trình vô nghiệm.

Nếu $\mathrm{\Delta }=0$ thì phương trình có nghiệm kép $x_1=x_2={\displaystyle \frac{-b}{2a}}$.

Nếu $\mathrm{\Delta }>0$ thì phương trình có hai nghiệm phân biệt:

$$x_1={\displaystyle \frac{-b+\sqrt{\mathrm{\Delta }}}{2a}};x_2={\displaystyle \frac{-b-\sqrt{\mathrm{\Delta }}}{2a}}$$

Công thức nghiệm thu  gọn.

Nếu hệ số $b$ chia hết cho $2$ hay $b$ là số chẵn thì ta đặt $b^{\prime }=b/2$ và có công thức nghiệm thu gọn như sau:

${\mathrm{\Delta }}^{\prime }=b^{\prime 2}-ac$.

Nếu ${\mathrm{\Delta }}^{\prime }<0$ thì phương trình vô nghiệm.

Nếu ${\mathrm{\Delta }}^{\prime }=0$ thì phương trình có nghiệm kép $x_1=x_2={\displaystyle \frac{-b^{\prime }}{a}}$.

Nếu ${\mathrm{\Delta }}^{\prime }>0$ thì phương trình có hai nghiệm phân biệt:

$$x_1={\displaystyle \frac{-b^{\prime }+\sqrt{{\mathrm{\Delta }}^{\prime }}}{a}};x_2={\displaystyle \frac{-b^{\prime }-\sqrt{{\mathrm{\Delta }}^{\prime }}}{a}}$$

8.HỆ THỨC VIET VÀ ỨNG DỤNG.

Hệ thức Viet.

Nếu $x_1,x_2$ là hai nghiệm của phương trình $a{x}^2+bx+c(a\ne 0)$. Khi đó:

$S=x_1+x_2={\displaystyle \frac{-b}{a}}$.

$P=x_1{x}_2={\displaystyle \frac{c}{a}}$.

Ứng dụng.

Tìm hai số $u,v$ khi biết tổng $S=u+v$ và tích $P=uv$. Khi đó để tìm được $u,v$ ta giải phương trình bậc hai:

$$x^2-Sx+P=0(S^2\ge 4P)$$

Nhẩm nghiệm nhanh.

Cho phương trình bậc hai $a{x}^2+bx+c=0(a\ne 0)$.

Nếu $a+b+c=0$ thì phương trình có nghiệm: $x=1;x={\displaystyle \frac{c}{a}}$.

Nếu $a-b+c=0$ thì phương trình có nghiệm: $x=-1;x={\displaystyle \frac{-c}{a}}$.

9.GIẢI BÀI  TOÁN BẰNG CÁCH LẬP PHƯƠNG TRÌNH, HỆ PHƯƠNG TRÌNH.