SỰ HỘI TỤ ĐỀU CỦA CHUỖI HÀM

CÁC BÀI VIẾT LIÊN QUAN

CHUỖI SỐ

CHUỖI SỐ DƯƠNG

CHUỖI SỐ CÓ DẤU BẤT KỲ

CHUỖI HÀM

SỰ HỘI TỤ ĐỀU CỦA CHUỖI HÀM

CHUỖI LUỸ THỪA

SỰ HỘI TỤ ĐỀU CỦA CHUỖI HÀM

Chuỗi hàm ${\displaystyle \sum _{n=1}^{+\mathrm{\infty }}{u}_n(x)}$ được gọi là hội tụ đều trên $X$ đến $S(x)$ nếu: $\mathrm{\forall }\epsilon >0,\mathrm{\exists }{n}_0\in \mathbb{N}$ sao cho khi $n>n_0$ ta có $|S_n\left(x\right)-S(x)|<\epsilon ,\mathrm{\forall }x\in X.$

---

TIÊU CHUẨN CAUCHY VỀ SỰ HỘI TỤ ĐỀU CỦA CHUỖI HÀM

Chuỗi hàm ${\displaystyle \sum _{n=1}^{+\mathrm{\infty }}{u}_n(x)}$ hội tụ đều trên $X$ đến $S(x)$ khi và chỉ khi $\mathrm{\forall }\epsilon >0,\mathrm{\exists }{n}_0\in \mathbb{N}$ sao cho khi $p>q>n_0$ ta có $|S_p(x)-S_q(x)|<\epsilon ,\mathrm{\forall }x\in X$.

TIÊU CHUẨN WEIERSTRASS VỀ SỰ HỘI TỤ ĐỀU CỦA CHUỖI HÀM

Cho chuỗi hàm ${\displaystyle \sum _{n=1}^{+\mathrm{\infty }}{u}_n(x)}$, nếu tồn tại chuỗi số dương ${\displaystyle \sum _{n=1}^{+\mathrm{\infty }}{a}_n}$ hội tụ sao cho $|u_n(x)|\le a_n,\mathrm{\forall }n\in \mathbb{N},\mathrm{\forall }x\in X$ thì chuỗi hàm đã cho hội tụ tuyệt đối và đều trên $X$

Ví dụ 1. Xét sự hội tụ của chuỗi hàm ${\displaystyle \sum _{n=1}^{+\mathrm{\infty }}{\displaystyle \frac{\cos nx}{n^2}}}$

Nhận xét $\mathrm{\forall }n\in \mathbb{N},\mathrm{\forall }x\in \mathbb{R}:|u_n(x)|=\left|{\displaystyle \frac{\cos nx}{n^2}}\right|\le {\displaystyle \frac{1}{n^2}}=a_n$

Mặt khác, ${\displaystyle \sum _{n=1}^{+\mathrm{\infty }}{\displaystyle \frac{1}{n^2}}}$ là chuỗi số dương hội tụ (chuỗi Riemann có $\alpha =2>1$ )

Vậy chuỗi đã cho hội tụ tuyệt đối và đều trên $\mathbb{R}$

Ví dụ 2. Xét sự hội tụ của chuỗi hàm ${\displaystyle \sum _{n=1}^{+\mathrm{\infty }}{\displaystyle \frac{x^n}{n\sqrt[3]{n^2}}},x\in [-1,1]}$

Nhận xét $\mathrm{\forall }n\in \mathbb{N},\mathrm{\forall }x\in [-1,1]:|u_n(x)|=\left|{\displaystyle \frac{x^n}{n\sqrt[3]{n^2}}}\right|\le {\displaystyle \frac{1}{n^{5/3}}}=a_n.$

Mặt khác, ${\displaystyle \sum _{n=1}^{+\mathrm{\infty }}{\displaystyle \frac{1}{n^{5/3}}}}$ là chuỗi số dương hội tụ (chuỗi Riemann có $\alpha ={\displaystyle \frac{5}{3}}>1$)

Vậy, chuỗi đã cho hội tụ tuyệt đối và đều trên đoạn $[-1,1]$

MỘT SỐ TÍNH CHẤT CỦA CHUỖI HÀM HỘI TỤ ĐỀU

Định lý 1. Cho chuỗi hàm ${\displaystyle \sum _{n=1}^{+\mathrm{\infty }}{u}_n(x)}$ trong đó mọi hàm $u_n(x)$ đều liên tục trên $X$. Khi đó nếu ${\displaystyle \sum _{n=1}^{+\mathrm{\infty }}{u}_n(x)}$ hội tụ đều trên $X$ thì tổng $S(x)$ của nó cũng liên tục trên $X$

Như vậy, nếu $S(x)$ không liên tục trên $X$ thì ${\displaystyle \sum _{n=1}^{+\mathrm{\infty }}{u}_n(x)}$ không hội tụ đều trên $X$

Định lý 2. Cho chuỗi hàm ${\displaystyle \sum _{n=1}^{+\mathrm{\infty }}{u}_n(x)}$ trong đó mọi hàm $u_n(x)$ đều liên tục trên $[a,b]$ và ${\displaystyle \sum _{n=1}^{+\mathrm{\infty }}{u}_n(x)}$ hội tụ đều trên đoạn đó tới $S(x)$ thì ta có thể lấy tích phân từng số hạng của chuỗi hàm ${\displaystyle \sum _{n=1}^{+\mathrm{\infty }}{u}_n(x)}$ trên $[a,b]$: $$\underset{a}{\overset{b}{\int }}S(x)dx=\underset{a}{\overset{b}{\int }}\left[{\displaystyle \sum _{n=1}^{+\mathrm{\infty }}{u}_n(x)}\right]dx={\displaystyle \sum _{n=1}^{+\mathrm{\infty }}\underset{a}{\overset{b}{\int }}{u}_n(x)dx.}$$

Ví dụ 3. Ta có thể lấy tích phân từng số hạng của chuỗi hàm ${\displaystyle \sum _{n=1}^{+\mathrm{\infty }}{\displaystyle \frac{\cos nx}{n^2}}}$ trên đoạn $[0,{\displaystyle \frac{\pi }{2}}]$ được không?

Vì các hàm $u_n(x)={\displaystyle \frac{\cos nx}{n^2}}$ đều liên tục trên $\mathbb{R}$ nên $u_n(x)={\displaystyle \frac{\cos nx}{n^2}}$ đều liên tục trên $[0,{\displaystyle \frac{\pi }{2}}]$

Mặt khác, theo kết quả đã chứng minh ở ví dụ 2, ${\displaystyle \sum _{n=1}^{+\mathrm{\infty }}{\displaystyle \frac{\cos nx}{n^2}}}$ hội tụ đều trên $\mathbb{R}$ nên cũng hội tụ đều trên $[0,\frac{\pi }{2}]$

Theo Định lý 2, ta có thể lấy tích phân từng số hạng của chuỗi hàm ${\displaystyle \sum _{n=1}^{+\mathrm{\infty }}{\displaystyle \frac{\cos nx}{n^2}}}$ trên đoạn $[0,{\displaystyle \frac{\pi }{2}}]$ được và ta có kết quả: $$\begin{array}{rl}\underset{0}{\overset{\pi /2}{\int }}S(x)dx& ={\int }_0^{\pi /2}\left[{\displaystyle \sum _{n=1}^{+\mathrm{\infty }}{\displaystyle \frac{\cos nx}{n^2}}}\right]dx={\displaystyle \sum _{n=1}^{+\mathrm{\infty }}\underset{0}{\overset{\pi /2}{\int }}{\displaystyle \frac{\cos nx}{n^2}}dx=\underset{0}{\overset{\pi /2}{\int }}\cos xdx+\underset{0}{\overset{\pi /2}{\int }}{\displaystyle \frac{\cos 2x}{2^2}}dx+\underset{0}{\overset{\pi /2}{\int }}{\displaystyle \frac{\cos 3x}{3^2}}dx+\cdots }\\ & =\sin x{|}_0^{\pi /2}+{\displaystyle \frac{1}{2^3}}\sin 2x{|}_0^{\pi /2}+{\displaystyle \frac{1}{3^3}}\sin 3x{|}_0^{\pi /2}+\cdots +{\displaystyle \frac{1}{n^3}}\sin nx{|}_0^{\pi /2}+\cdots \\ & =1-{\displaystyle \frac{1}{3^3}}+{\displaystyle \frac{1}{5^3}}-{\displaystyle \frac{1}{7^3}}+\cdots +(-1{)}^k{\displaystyle \frac{1}{(2k+1{)}^3}}+\cdots \end{array}$$

Định lý 3. Cho chuỗi hàm ${\displaystyle \sum _{n=1}^{+\mathrm{\infty }}{u}_n(x)}$ hội tụ trên $(a,b)$, trong đó mọi hàm $u_n(x)$ đều liên tục cùng với các đạo hàm của chúng trên $(a,b)$. Khi đó nếu ${\displaystyle \sum _{n=1}^{+\mathrm{\infty }}{u}_n^{\prime }(x)}$ hội tụ đều trên $(a,b)$ thì ta có thể lấy đạo hàm từng số hạng của chuỗi hàm ${\displaystyle \sum _{n=1}^{+\mathrm{\infty }}{u}_n(x)}$ trên $(a,b)$: $S^{\prime }(x)={\left({\displaystyle \sum _{n=1}^{+\mathrm{\infty }}{u}_n(x)}\right)}^{\prime }={\displaystyle \sum _{n=1}^{+\mathrm{\infty }}{u}_n^{\prime }(x),\mathrm{\forall }x\in (a,b)}$

Ví dụ 4. Ta có thể lấy đạo hàm từng số hạng của chuỗi hàm trên ${\displaystyle \sum _{n=1}^{+\mathrm{\infty }}{\displaystyle \frac{\sin nx}{n^3}}}$ trên $\mathbb{R}$

Trước hết ta chứng minh chuỗi ${\displaystyle \sum _{n=1}^{+\mathrm{\infty }}{\displaystyle \frac{\sin nx}{n^3}}}$ hội tụ (tương tự ví dụ 2) và chuỗi ${\displaystyle \sum _{n=1}^{+\mathrm{\infty }}{\left({\displaystyle \frac{\sin nx}{n^3}}\right)}^{\prime }}$ hội tụ đều trên $\mathbb{R}$: \[\forall n\in \mathbb{N},\forall x\in\mathbb{R}:|u_{n} (x)|=\left|\dfrac{\sin nx}{n^{3} } \right|\le \dfrac{1}{n^{3} }=a_{n} \] Mà chuỗi ${\displaystyle \sum _{n=1}^{+\mathrm{\infty }}{\displaystyle \frac{1}{n^3}}}$ là chuỗi số dương hội tụ (chuỗi Riemann có $\alpha =3>1$ )

Vậy, chuỗi đã cho hội tụ trên $\mathbb{R}$

Mặt khác: ${\left({\displaystyle \frac{\sin nx}{n^3}}\right)}^{\prime }={\displaystyle \frac{\cos nx}{n^2}}$ nghĩa là ${\displaystyle \sum _{n=1}^{+\mathrm{\infty }}\left({\displaystyle \frac{\sin nx}{n^3}}\right)={\displaystyle \sum _{n=1}^{+\mathrm{\infty }}{\displaystyle \frac{\cos nx}{n^2}}}}$ (theo Ví dụ 2 thì chuỗi này hội tụ đều trên $\mathbb{R}$)

Vì các hàm $u_n(x)={\displaystyle \frac{\cos nx}{n^2}};{(u_n(x))}^{\prime }={\displaystyle \frac{\sin nx}{n^3}}$ đều liên tục trên $\mathbb{R}$ nên theo Định lý 3 thì ta có thể lấy đạo hàm từng số hạng của chuỗi hàm ${\displaystyle \sum _{n=1}^{+\mathrm{\infty }}{\displaystyle \frac{\sin nx}{n^3}}}$ trên $\mathbb{R}$, ta có kết quả:

$${\left({\displaystyle \sum _{n=1}^{+\mathrm{\infty }}{\displaystyle \frac{\sin nx}{n^3}}}\right)}^{\prime }={\displaystyle \sum _{n=1}^{+\mathrm{\infty }}{\left({\displaystyle \frac{\sin nx}{n^3}}\right)}^{\prime }={\displaystyle \sum _{n=1}^{+\mathrm{\infty }}{\displaystyle \frac{\cos nx}{n^2}}=\cos x+{\displaystyle \frac{\cos 2x}{2^2}}+{\displaystyle \frac{\cos 3x}{3^2}}+\cdots }}$$