CHUỖI HÀM

CÁC BÀI VIẾT LIÊN QUAN ĐẾN GIẢI TÍCH

DÃY SỐ (BÀI TẬP CÓ LỜI GIẢI)

CHUỖI SỐ

CHUỖI SỐ DƯƠNG

CHUỖI SỐ CÓ DẤU BẤT KỲ

CHUỖI LUỸ THỪA

CHUỖI HÀM

SỰ HỘI TỤ ĐỀU CỦA CHUỖI HÀM

TÍCH PHÂN BẤT ĐỊNH CỦA CÁC HÀM HỮU TỶ

CHUỖI HÀM

1. ĐỊNH NGHĨA CHUỖI HÀM

Chuỗi hàm là chuỗi mà các số hạng của nó là những hàm của biến độc lập $x$, kí hiệu ${\displaystyle \sum _{n=1}^{+\mathrm{\infty }}{u}_n(x)}$

Khi cho $x$ một giá trị cụ thể $x_0$, chuỗi hàm ${\displaystyle \sum _{n=1}^{+\mathrm{\infty }}{u}_n(x)}$ trở thành chuỗi số ${\displaystyle \sum _{n=1}^{+\mathrm{\infty }}{u}_n(x_0)}$. Nếu chuỗi số ${\displaystyle \sum _{n=1}^{+\mathrm{\infty }}{u}_n(x_0)}$ hội tụ (phân kỳ) thì $x_0$ được gọi là điểm hội tụ (điểm phân kỳ) của chuỗi hàm ${\displaystyle \sum _{n=1}^{+\mathrm{\infty }}{u}_n(x)}$. Tập tất cả các điểm hội tụ của chuỗi hàm được gọi là miền hội tụ của chuỗi hàm

$S_n(x):={\displaystyle \sum _{k=1}^n{u}_k(x)}$ là tổng riêng thứ $n$ của chuỗi hàm.

Nếu $\mathrm{\exists }\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{S}_n(x)=S(x)$ thì ta nói chuỗi hàm ${\displaystyle \sum _{n=1}^{+\mathrm{\infty }}{u}_n(x)}$ hội tụ về hàm $S(x)$ và có thể viết: ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{u}_n(x)=S(x)}$

$R_n(x):=S(x)-S_n(x)$ được gọi là phần dư thứ $n$ của chuỗi hàm

Như vậy, chuỗi hàm hội tụ khi và chỉ khi $R_n(x)\to 0$ khi $n\to \mathrm{\infty }$

---

Ví dụ 1. Xét sự hội tụ, phân kỳ của chuỗi hàm ${\displaystyle \sum _{n=1}^{+\mathrm{\infty }}{x}^n}$

$${\displaystyle \sum _{n=1}^{+\mathrm{\infty }}{x}^n=x+x^2+x^3+\cdots +x^n+\cdots }$$ $$\Rightarrow S_n(x)=x+x^2+x^3+\cdots +x^n=x(1+x+x^2+\cdots +x^{n-1})$$

TH1: Nếu $x\ne 1$: $S_n(x)=x\cdot {\displaystyle \frac{1-x^n}{1-x}}$

+) $|x|<1:\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{x}^n=0\Rightarrow \underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{S}_n(x)={\displaystyle \frac{x}{1-x}}=S(x)$. Với $|x|<1$ thì chuỗi đã cho hội tụ và có tổng là $S(x)={\displaystyle \frac{x}{1-x}}$

+) $|x|>1:\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{x}^n=\mathrm{\infty }\Rightarrow \underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{S}_n(x)=\mathrm{\infty }$. Với $|x|>1$ thì chuỗi đã cho phân kỳ

TH2: Nếu $x=-1:S_n(x)={\displaystyle \frac{(-1{)}^n-1}{2}}=\{\begin{array}{l}0;n=2k\\ -1;n=2k+1\end{array}$. Với $x=-1$ chuỗi đã cho phân kỳ

TH3: Nếu $x=1$: $S_n(x)=\underset{n}{\underbrace{1+1+\dots +1}}=n\stackrel{n\to \mathrm{\infty }}{⟶}\mathrm{\infty }$. Với $x=1$ chuỗi đã cho phân kỳ

Chú ý. Miền hội tụ của chuỗi ${\displaystyle \sum _{n=1}^{+\mathrm{\infty }}{x}^n}$ là $(-1,1)$

Tương tự, ta dễ dàng chứng minh ${\displaystyle \sum _{n=0}^{+\mathrm{\infty }}{x}^n}$ hội tụ (về $S(x)={\displaystyle \frac{1}{1-x}}$) nếu $|x|<1$, phân kỳ nếu $|x|\ge 1$

Vậy, chuỗi hàm ${\displaystyle \sum _{n=1}^{+\mathrm{\infty }}{x}^n}$ hội tụ (về $S(x)={\displaystyle \frac{x}{1-x}}$) nếu $|x|<1$, phân kỳ nếu $|x|\ge 1$