CHUỖI LUỸ THỪA

CÁC BÀI VIẾT LIÊN QUAN ĐẾN GIẢI TÍCH

CHUỖI LUỸ THỪA

ĐỊNH NGHĨA CHUỖI LUỸ THỪA

Chuỗi lũy thừa là chuỗi hàm có dạng $\sum_{n = 0}^{+ \infty} a_{n} (x - x_{0})^{n}$

Lưu ý. Ta chỉ cần xét chuỗi lũy thừa trong trường hợp $x_{0} = 0$ : $\sum_{n = 0}^{+ \infty} a_{n} x^{n}$ (vì mọi chuỗi lũy thừa có dạng $\sum_{n = 0}^{+ \infty} a_{n} (x - x_{0})^{n}$ bằng phép đổi biến $X := x - x_{0}$ ta đều đưa được về dạng $\sum_{n = 0}^{+ \infty} a_{n} x^{n}$

ĐỊNH LÝ ABEL

Nếu $\sum_{n = 0}^{+ \infty} a_{n} x^{n}$ hội tụ tại $x = x_{0} \neq 0$ thì nó hội tụ tuyệt đối tại mọi $x$ thỏa mãn $| x | < | x_{0} |$

Từ đó ta có hệ quả sau

Nếu $\sum_{n = 0}^{+ \infty} a_{n} x^{n}$ phân kỳ tại $x = x_{0}$ thì nó phân kỳ tại mọi $x$ thỏa mãn $| x | > | x_{0} |$

Vậy, luôn tồn tại số $R \in (0, + \infty)$ sao cho $\sum_{n = 0}^{+ \infty} a_{n} x^{n}$ hội tụ tuyệt đối trên $(- R, R)$ và phân kỳ trên các khoảng $(- \infty, - R); (R, + \infty)$ . Còn tại $x = - R; x = R$ thì $\sum_{n = 0}^{+ \infty} a_{n} x^{n}$ có thể hội tụ có thể phân kỳ. Số $R$ nói trên được gọi là bán kính hội tụ và $(- R, R)$ được gọi là khoảng hội tụ của chuỗi lũy thừa $\sum_{n = 0}^{+ \infty} a_{n} x^{n}$

Như vậy: Muốn tìm miền hội tụ của chuỗi lũy thừa $\sum_{n = 0}^{+ \infty} a_{n} x^{n}$ ta tìm khoảng hội tụ $(- R, R)$ , rồi xét thêm sự hội tụ tại hai đầu mút $x = - R$ và $x = R$

TÌM BÁN KÍNH HỘI TỤ

Nếu $lim_{n \to + \infty} \frac{| a_{n + 1} |}{| a_{n} |} = ρ$ (hoặc $lim_{n \to + \infty} \sqrt[n]{| a_{n} |} = ρ$ ) thì bán kính hội tụ $R$ của chuỗi được xác định theo công thức: $R = {\begin{cases} \frac{1}{ρ} & với ρ \in (0, + \infty) \\ 0 & với ρ = + \infty \\ + \infty & với ρ = 0 \end{cases} .$

MỘT SỐ VÍ DỤ BÀI TẬP

Ví dụ 1. Tìm miền hội tụ của chuỗi lũy thừa $\sum_{n = 1}^{+ \infty} \frac{x^{n}}{n \sqrt[3]{n^{2}}}$

Trước hết phải xác định: $a_{n} = \frac{1}{n \sqrt[3]{n^{2}}} = \frac{1}{n^{5 / 3}}$ để lựa chọn công thức phù hợp tìm: $ρ = lim_{n \to + \infty} \frac{| a_{n + 1} |}{| a_{n} |} = lim_{n \to + \infty} \frac{n^{5 / 3}}{(n + 1)^{5 / 3}} = lim_{n \to + \infty} {(\frac{n}{n + 1})}^{5 / 3} = 1 \in (0, + \infty) .$ Suy ra, bán kính hội tụ $R = 1$ , khoảng hội tụ $(- 1, 1)$

Tại $x = - 1$ ta có chuỗi số: $\sum_{n = 1}^{+ \infty} \frac{(- 1)^{n}}{n^{5 / 3}}$ hội tụ (là chuỗi đan dấu, thỏa mãn các điều kiện của định lý Leibniz)

Tại $x = 1$ ta có chuỗi số: $\sum_{n = 1}^{+ \infty} \frac{1}{n^{5 / 3}}$ hội tụ (là chuỗi Riemann có $α = \frac{5}{3} > 1$ )

Vậy, miền hội tụ của chuỗi lũy thừa đã cho là $[- 1, 1]$

Ví dụ 2. Tìm miền hội tụ của chuỗi lũy thừa $\sum_{n = 1}^{+ \infty} (- 1)^{n} \frac{x^{n}}{n^{7}}$

Tương tự Ví dụ 1, trước hết phải xác định: $a_{n} = \frac{(- 1)^{n}}{n^{7}}$ để lựa chọn công thức phù hợp tìm: $ρ = lim_{n \to + \infty} \frac{| a_{n + 1} |}{| a_{n} |} = lim_{n \to + \infty} {(\frac{n}{n + 1})}^{7} = 1 \in (0, + \infty) .$ Suy ra, bán kính hội tụ $R = 1$ , khoảng hội tụ $(- 1, 1)$

Tại $x = - 1$ ta có chuỗi số: $\sum_{n = 1}^{+ \infty} \frac{1}{n^{7}}$ hội tụ (là chuỗi Riemann có $α = 7 > 1$ )

Tại $x = - 1$ ta có chuỗi số: $\sum_{n = 1}^{+ \infty} \frac{(- 1)^{n}}{n^{7}}$ hội tụ (là chuỗi đan dấu, thỏa mãn các điều kiện của định lý Leibniz)

Vậy, miền hội tụ của chuỗi lũy thừa đã cho là $[- 1, 1]$

Ví dụ 3. Tìm miền hội tụ của chuỗi lũy thừa $\sum_{n = 1}^{+ \infty} {(\frac{5 n x}{n + 1})}^{n}$

Trước hết phải xác định: $a_{n} = {(\frac{5 n}{n + 1})}^{n}$ để lựa chọn công thức phù hợp tìm: $ρ = lim_{n \to + \infty} \sqrt[n]{| a_{n} |} = lim_{n \to + \infty} \sqrt[n]{{(\frac{5 n}{n + 1})}^{n}} = lim_{n \to + \infty} \frac{5 n}{n + 1} = 5 \in (0, + \infty) .$ Suy ra, bán kính hội tụ $R = \frac{1}{5}$ , khoảng hội tụ $(- \frac{1}{5}, \frac{1}{5})$

Tại $x = - \frac{1}{5}$ ta có chuỗi số: $\sum_{n = 1}^{+ \infty} (- 1)^{n} {(\frac{n}{n + 1})}^{n}$ phân kỳ ( $u_{n}$ không dần tới 0 khi $n \to \infty$ )

Tại $x = \frac{1}{5}$ ta có chuỗi số: $\sum_{n = 1}^{+ \infty} {(\frac{n}{n + 1})}^{n}$ phân kỳ (không dần tới 0 khi $n \to \infty$ )

Vậy, miền hội tụ của chuỗi lũy thừa đã cho là $(- \frac{1}{5}, \frac{1}{5})$

MỘT SỐ TÍNH CHẤT CỦA CHUỖI LUỸ THỪA

Giả sử chuỗi lũy thừa $\sum_{n = 0}^{+ \infty} a_{n} x^{n}$ có khoảng hội tụ là $(- R, R)$

Tính chất 1. Chuỗi $\sum_{n = 0}^{+ \infty} a_{n} x^{n}$ hội tụ đều trên mọi $[a, b]$ bất kỳ trong $(- R, R)$

Tính chất 2. Tổng $S (x)$ của chuỗi $\sum_{n = 0}^{+ \infty} a_{n} x^{n}$ là hàm liên tục trên $(- R, R)$

Tính chất 3. Có thể lấy tích phân từng số hạng của chuỗi $\sum_{n = 0}^{+ \infty} a_{n} x^{n}$ trên $[a, b]$ bất kỳ trong $(- R, R)$ : $\int_{a}^{b} S (x) d x = \int_{a}^{b} a_{0} d x + \int_{a}^{b} a_{1} x d x + \dots + \int_{a}^{b} a_{n} x^{n} d x + \dots$

Đặc biệt, $\forall x \in (- R, R)$ : $\int_{0}^{x} S (x) d x = \int_{0}^{x} a_{0} d x + \int_{0}^{x} a_{1} x d x + \dots + \int_{0}^{x} a_{n} x^{n} d x + \dots = a_{0} x + \frac{a_{1}}{2} x^{2} + \dots + \frac{a_{n}}{n + 1} x^{n + 1} + \dots$ Tính chất 4. Có thể lấy đạo hàm từng số hạng của chuỗi $\sum_{n = 0}^{+ \infty} a_{n} x^{n}$ tại mọi điểm trong khoảng $(- R, R)$ :

$S^{'} (x) = a_{1} + 2 a_{2} x + \dots + n a_{n} x^{n - 1} + \dots$

CHUỖI LUỸ THỪA