MA TRẬN VÀ CÁC PHÉP TOÁN CỦA MA TRẬN

MA TRẬN VÀ CÁC PHÉP TOÁN TRÊN MA TRẬN

ĐỊNH NGHĨA MA TRẬN

Một ma trận cấp $m\times n$ trên $\mathbb{R}$ là một bảng số gồm $m\times n$ phần tử trong $\mathbb{R}$ được viết thành $m$ dòng và $n$ cột

1. Kí hiệu $A=[a_{ij}{]}_{m\times n}$ hoặc $A=(a_{ij}{)}_{m\times n}$ hoặc $A\in {\mathcal{M}}_{m\times n}$
2. $a_{ij}$: phần tử hàng $i$, cột $j$.
3. $(a_{ij}{)}_{n\times n}$ là ma trận vuông cấp $n$; các phần tử $a_{11},a_{22},\cdots ,a_{nn}$ là các phần tử trên đường chéo chính.

---

CÁC MA TRẬN ĐẶC BIỆT

Dưới đây là một số ma trận đặc biệt

1) Ma trận hàng: $\left[\begin{array}{cccc}{a}_{11}& a_{12}& \cdots & a_{1n}\end{array}\right]$

2) Ma trận cột: $\left[\begin{array}{c}{a}_{11}\\ a_{21}\\ ⋮\\ a_{n1}\end{array}\right]$

3) Ma trận Không: $(a_{ij}=0{)}_{m\times n}$, $\mathrm{\forall }i,j$

4) Ma trận đường chéo: $a_{ij}=0$, $\mathrm{\forall }i\ne j$

5) Ma trận đơn vị: $I_n={\left[\begin{array}{cccc}1& 0& \cdots & 0\\ 0& 1& \cdots & 0\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ 0& 0& \cdots & 1\end{array}\right]}_{n\times n}$.

6) Ma trận tam giác dưới: ${\left[\begin{array}{cccc}{a}_{11}& 0& \cdots & 0\\ a_{21}& a_{22}& \cdots & 0\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ a_{n1}& a_{n2}& \cdots & a_{nn}\end{array}\right]}_{n\times n}$

7) Ma trận tam giác trên: ${\left[\begin{array}{cccc}{a}_{11}& a_{12}& \cdots & a_{1n}\\ 0& a_{22}& \cdots & a_{2n}\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ 0& 0& \cdots & a_{nn}\end{array}\right]}_{n\times n}$

8) Ma trận đối xứng: $a_{ij}=a_{ji}$ với mọi $i,j$. Chẳng hạn: $A=\left(\begin{array}{ccc}1& 3& 2\\ 3& 0& -1\\ 2& -1& -2\end{array}\right)$

---

HAI MA TRẬN BẰNG NHAU

Nôm na ta hiểu hai ma trận bằng nhau là tất cả các phần tử trong ma trận tương ứng đều giống nhau

Cho $A,B\in {\mathcal{M}}_{m\times n}$. Khi đó $A=B\iff a_{ij}=b_{ij},\mathrm{\forall }i,j$

Ví dụ 1. Cho 2 ma trận $A=\left[\begin{array}{cc}1& 0\\ 1& -1\end{array}\right]$ và $B=\left[\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right]$. Xác định $a,b,c,d$ để $A=B$

Để $A=B$ thì $a=c=1,b=0$ và $d=-1$

---

PHÉP CỘNG HAI MA TRẬN

Nôm na ta cộng tương ứng các phần tử trong hai ma trận lại với nhau, lưu ý một chút là hai ma trận mà ta thao tác phải cùng kích cỡ

Cho $A,B\in {\mathcal{M}}_{m\times n}$. Khi đó $A+B=(a_{ij}+b_{ij}{)}_{m\times n}$

Một số tính chất của phép cộng ma trận

1) $A+B=B+A$

2) $(A+B)+C=A+(B+C)$

3) $A+O=A$

Ví dụ 2. Cho $A=\left[\begin{array}{ccc}2& 3& 5\\ -1& 4& 0\end{array}\right]$ và $B=\left[\begin{array}{ccc}5& 7& -5\\ 2& -3& 1\end{array}\right]$. Tính $A+B$

$A+B=\left[\begin{array}{ccc}2+5& 3+7& 5+(-5)\\ -1+2& 4-3& 0+1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}7& 10& 0\\ 1& 1& 1\end{array}\right]$

---

PHÉP NHÂN MỘT SỐ VỚI MỘT MA TRẬN (NHÂN VÔ HƯỚNG)

Nôm na để nhân một số với một ma trận, ta nhân số đó với từng phần tử của ma trận

Cho $A\in {\mathcal{M}}_{m\times n}$ và $k\in \mathbb{R}$. Khi đó $kA=(k{a}_{ij}{)}_{m\times n}$

Một số tính chất của phép nhân vô hướng

Cho $\alpha ,\beta \in \mathbb{R}$ và $A,B\in \mathbb{R}$. Khi đó

1) $(\alpha \beta )A=\alpha (\beta A)$

2) $(\alpha +\beta )A=\alpha A+\beta A$

3) $\alpha (A+B)=\alpha A+\alpha B$

Lưu ý. $-A=(-1)\cdot A$

Ví dụ 3. Cho $A=\left[\begin{array}{cc}3& 4\\ 7& -2\end{array}\right]$. Tính $2\cdot A$

Ta có: $2\cdot A=\left[\begin{array}{cc}2.3& 2.4\\ 2.7& 2.(-2)\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}6& 8\\ 14& -4\end{array}\right]$

---

MA TRẬN CHUYỂN VỊ

Nôm na để thu được ma trận chuyển vị ta sẽ thay đổi hàng thành cột

Cho $A\in {\mathcal{M}}_{m\times n}$. Khi đó ma trận chuyển vị của $A$, kí hiệu là $A^T=(a_{ji}{)}_{n\times m}$

Một số tính chất của ma trận chuyển vị

Cho $A,B\in {\mathbb{M}}_{m\times n}$. Khi đó

1) $(A^T{)}^T=A$

2) $A^T=B^T\iff A=B$

3) $(A+B{)}^T=A^T+B^T$

4) $(AB{)}^T=B^T{A}^T$

Ví dụ 4. Cho $A=\left[\begin{array}{ccc}1& 0& 2\\ 3& -1& -2\end{array}\right]$. Tính $A^T$

Ta có $A^T=\left[\begin{array}{cc}1& 3\\ 0& -1\\ 2& -2\end{array}\right]$

---

PHÉP NHÂN HAI MA TRẬN

Đối với phép nhân hai ma trận được định nghĩa một cách rườm rà hơn một tí, Caolac có một bài chi tiết hơn về phép nhân hai ma trận

Lưu ý. Phép nhân hai ma trận không có tính giao hoán

Tính chất của phép nhân hai ma trận

Cho $A,B,C$ là các ma trận với kích cỡ sao cho phép toán có nghĩa và $\alpha \in \mathbb{R}$ ta có

1) $(A\cdot B)\cdot C=A\cdot (B\cdot C)$

2) $0\cdot A=O$

3) $A\cdot (B\pm C)=A\cdot B\pm A\cdot C$

4) $(B\pm C)\cdot A=B\cdot A\pm C\cdot A$

5) $\alpha (A\cdot B)=(\alpha A)\cdot B=A\cdot (\alpha B)$

Ví dụ 5. Cho $A=\left[\begin{array}{cc}1& -1\\ -1& 1\end{array}\right]$ và $B=\left[\begin{array}{cc}1& 1\\ 2& 2\end{array}\right]$. Tính $A\cdot B$ và $B\cdot A$ và rút ra nhận xét

Ta có: $$A\cdot B=\left[\begin{array}{cc}1.1+(-1).2& 1.1+(-1).2\\ (-1).1+1.2& (-1).1+1.2\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}-1& -1\\ 1& 1\end{array}\right],$$ $$B\cdot A=\left[\begin{array}{cc}1.1+1.(-1)& 1.(-1)+1.1\\ 2.1+2.(-1)& 2.(-1)+2.1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}0& 0\\ 0& 0\end{array}\right].$$

Dễ thấy $A\cdot B\ne B\cdot A$, nghĩa là phép nhân hai ma trận không có tính giao hoán