PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN THUẦN NHẤT

Vừa làm dĩa bò né về, đi giữa đường trời lại mưa nữa chứ, cảm giác lạnh lạnh cũng thật là thú vị, về nhà làm ly nước ấm, mở láp, đọc vu vơ và viết...

CÁC BÀI VIẾT LIÊN QUAN VỀ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN

MỞ ĐẦU VỀ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN

PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TÁCH BIẾN

PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN THUẦN NHẤT

PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN ĐƯA ĐƯỢC VỀ DẠNG PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN THUẦN NHẤT

PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TUYẾN TÍNH CẤP 1 (PHẦN 1)

PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TUYẾN TÍNH CẤP 1 (PHẦN 2)

PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN ĐẲNG CẤP

PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TOÀN PHẦN

PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN THUẦN NHẤT

1. ĐỊNH NGHĨA

Hàm số $f\left( x,y \right)$ gọi là hàm thuần nhất bậc $n$ nếu $f\left( tx,ty \right)={{t}^{n}}f\left( x,y \right)$

Phương trình vi phân thuần nhất là phương trình vi phân có dạng $\dfrac{dy}{dx}=f\left( x,y \right)$, trong đó $f\left( x,y \right)$ liên tục và là hàm thuần nhất bậc $0$

---

2. PHƯƠNG PHÁP GIẢI

Đặt $y=xz$, thay vào và đưa về biến phân ly

Nếu chưa rõ về phương trình vi phân tách biến (biến phân ly) thì nên xem lại bài viết phương trình vi phân tách biến ở đầu, trong đó có đầy đủ các ví dụ cụ thể và lời giải chi tiết

Giờ thì ta xem như là mặc định rồi. OK, Let's go! đi qua các ví dụ cụ thể cho dễ hình dung vấn đề nào!

---

3. MỘT SỐ VÍ DỤ

Ví dụ 1. Giải phương trình $$y'=\dfrac{2xy}{{{x}^{2}}-{{y}^{2}}},\quad \left( 1 \right)$$

$\left( 1 \right)\Rightarrow \dfrac{dy}{dx}=\dfrac{2xy}{{{x}^{2}}-{{y}^{2}}}$

$\Rightarrow dy=\left( \dfrac{2xy}{{{x}^{2}}-{{y}^{2}}} \right)dx,\left( 2 \right)$

Đặt $y=xz\Rightarrow dy=zdx+xdz$, thay vào $\left( 2 \right)$

$\Rightarrow zdx+xdz=\left( \dfrac{2x\left( xz \right)}{{{x}^{2}}-{{\left( xz \right)}^{2}}} \right)dx$

$\Rightarrow zdx+xdz=\dfrac{2z}{1-{{z}^{2}}}dx$

$\Rightarrow xdz=\left( \dfrac{2z}{1-{{z}^{2}}}-z \right)dx$

$\Rightarrow xdz=\dfrac{z\left( 1+{{z}^{2}} \right)}{1-{{z}^{2}}}dx$

$\Rightarrow \dfrac{dx}{x}=\dfrac{1-{{z}^{2}}}{z\left( 1+{{z}^{2}} \right)}dz$

Lấy tích phân hai vế

$\displaystyle \Rightarrow \int{\dfrac{dx}{x}}=\int{\dfrac{1-{{z}^{2}}}{z\left( 1+{{z}^{2}} \right)}dz}$

$\displaystyle \Rightarrow \int{\dfrac{dx}{x}}=\int{\left( \dfrac{1}{z}-\dfrac{2z}{1+{{z}^{2}}} \right)dz}$

$\Rightarrow \ln \left| x \right|=\ln \left| z \right|-\ln \left| 1+{{z}^{2}} \right|+{{C}_{1}}$

$\Rightarrow \ln \left| x \right|=\ln \left| \dfrac{z}{1+{{z}^{2}}} \right|-\ln C,\left( {{C}_{1}}=-\ln C \right)$

$\Rightarrow \ln \left| x \right|+\ln C=\ln \left| \dfrac{z}{1+{{z}^{2}}} \right|$

$\Rightarrow \ln \left| Cx \right|=\ln \left| \dfrac{z}{1+{{z}^{2}}} \right|$

$\Rightarrow Cx=\dfrac{z}{1+{{z}^{2}}}$

Thay $z=\dfrac{y}{z}$, ta được

$\Rightarrow Cx=\dfrac{{}^{y}/{}_{x}}{1+{{\left( {}^{y}/{}_{x} \right)}^{2}}}=\dfrac{xy}{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}}$

$\Rightarrow C\left( {{x}^{2}}+{{y}^{2}} \right)=y$

Vậy nghiệm tổng quát của phương trình là: $C\left( {{x}^{2}}+{{y}^{2}} \right)=y$