PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TUYẾN TÍNH CẤP 1 [PHẦN 1]

Một trong những dạng cơ bản của phương trình vi phân thường là phương trình vi phân tuyến tính cấp 1. Bài viết này sẽ giải quyết bài toán về phương trình vi phân tuyến tính này. Đây là một môn học mình bị ác cảm chính vì thế nên mình mặc định là không hiểu nổi gì, nhiều khi nghĩ lại thấy hiểu một vấn đề hay không còn phụ thuộc vào niềm tin. Nhưng không sao, đâu cũng vào đó kakaka. OK Let's go!

Phương trình vi phân tuyến tính cấp 1 là phương trình vi phân có dạng: $y^{\prime }+p(x)y=q(x)$

Trước khi xử lý thằng này thì ta sẽ xử lý thằng đệ của nó, là một trường hợp đặc biệt khi $q(x)=0$ mà người ta gọi là phương trình vi phân tuyến tính cấp 1 thuần nhất. (Mẹo: cứ thêm chữ thuần nhất là vế phải bằng 0)

1. Phương trình vi phân tuyến tính cấp 1 thuần nhất

Dạng. Phương trình vi phân tuyến tính cấp 1 thuần nhất có dạng: $$\begin{array}{}\text{(1)}& y^{\prime }+p(x)y=0\end{array}$$

Phương pháp giải.

Cách 1. Biến phân ly (Tách biến)

Nếu để ý một chút thì $\text{(1)}$ là phương trình vi phân tách biến (hay biến phân ly). Cách làm đối với phương pháp này là tách mỗi biến về mỗi vế của phương trình.

Ta biến đổi một chút

$$\begin{array}{rl}(1)& \iff y^{\prime }=-p(x)y\\ & \iff {\displaystyle \frac{dy}{dx}}=-p(x)y\\ & \iff {\displaystyle \frac{dy}{y}}=-p(x)dx\end{array}$$

Tới đây ta lấy tích phân hai vế lên:

$$\begin{array}{rl}& \int {\displaystyle \frac{dy}{y}}=\int -p(x)dx+C_1\\ & \iff \ln |y|=\int -p(x)dx+C_1\\ & \iff y=e^{\int -p(x)dx+C_1}\\ & \iff y=e^{C_1}{e}^{\int -p(x)dx}\\ & \iff y=C{e}^{\int -p(x)dx}(C=e^{C_1}=const)\end{array}$$

Lưu ý một chút là việc lựa chọn hằng số như thế nào không quan trọng, thông thường ta sẽ chọn sao cho gọn nhất, như trên $e^{C_1}$ là một hằng số phụ thuộc $C_1$, ta có thể đặt $C=e^{C_1}$ mà không sợ ảnh hưởng kết quả.

Tới đây ta rút ra được công thức nghiệm tổng quát của $\text{(1)}$ là:

$$\begin{array}{}\text{(2)}& \boxed{{\displaystyle y=C{e}^{\int -p(x)dx}}}\end{array}$$

Hãy nhớ công thức trên để có thể làm dạng toán này một cách dễ dàng. Ta đi qua một ví dụ.

Ví dụ. Tìm nghiệm tổng quát của phương trình: $$y^{\prime }-{\displaystyle \frac{2x}{1+x^2}}y=0$$

Giải.

Giải trực tiếp

$y^{\prime }-{\displaystyle \frac{2x}{1+x^2}}y=0$

$\iff {\displaystyle \frac{dy}{dx}}={\displaystyle \frac{2x}{1+x^2}}y$

$\iff {\displaystyle \frac{dy}{y}}={\displaystyle \frac{2xdx}{1+x^2}}$

${\displaystyle \iff \int {\displaystyle \frac{dy}{y}}=\int {\displaystyle \frac{2xdx}{1+x^2}}+C_1}$

${\displaystyle \iff \int {\displaystyle \frac{dy}{y}}=\int {\displaystyle \frac{d(1+x^2)}{1+x^2}}+C_1}$

$\iff \ln |y|=\ln (1+x^2)+C_1$

$\iff y=e^{C_1}(1+x^2)$

$\iff y=C(1+x^2)(C=e^{C_1})$

Nếu áp dụng ngay công thức $\text{(2)}$ thì sẽ tiết kiệm được thời gian hơn. Với ví dụ trên thì $p(x)=-{\displaystyle \frac{2x}{1+x^2}}$. Khi đó:

${\displaystyle y=C{e}^{\int -p(x)dx}}$

${\displaystyle y=C{e}^{\int \frac{2x}{1+x^2}dx}}$

${\displaystyle y=C{e}^{\int \frac{d(1+x^2)}{1+x^2}}}$

${\displaystyle y=C{e}^{\ln (1+x^2)}}$

$y=C(1+x^2)$

Vậy nghiệm tổng quát của phương trình là: $y=C(1+x^2)$

---

Cách 2. Thừa số tích phân

Ý tưởng phương pháp này là sẽ đưa vế trái của $\text{(1)}$ về dạng vi phân toàn phần của một hàm nào đó tức là có dạng $u^{\prime }=0$. Khi ấy chỉ cần lấy tích phân hai vế nữa là xong. Tuy nhiên không phải lúc nào vế trái cũng là vi phân toàn phần của một hàm nào đó, muốn có vậy ta phải thêm bớt một đại lượng mà ở đây người ta gọi là thừa số tích phân.

Đối với phương pháp này chỉ cần nhớ mỗi cái thằng đệ $e^{\int p(x)dx}$. Thế là xong! Ở đây đang xét trong thuần nhất (tức $q(x)=0$), sau không thuần nhất ($q(x)\ne 0$) thì với thằng $e^{\int p(x)dx}$ cũng giải vô tư. Còn các cách khác để mình biết thêm, chứ chỉ cần nhớ mỗi thằng $e^{\int p(x)dx}$ là đủ xử tử dạng phương trình vi phân tuyến tính cấp một rồi.

Ta nhân hai vế của $\text{(1)}$ với thằng đệ nhắc đến ở trên $e^{\int p(x)dx}$ ta được:

$$\begin{array}{rl}& y^{\prime }+p(x)y=0\\ & y^{\prime }{e}^{\int p(x)dx}+p(x)y{e}^{\int p(x)dx}=0\end{array}$$

Khi đó vế trái là vi toàn phần của một hàm, tức là vế trái có thể viết lại dưới dạng $(y{e}^{\int p(x)dx}{)}^{\prime }$. Xem $y$ là hàm theo $x$. Nếu tính $(y{e}^{\int p(x)dx}{)}^{\prime }$ cụ thể sẽ ra ta sẽ được vế trái.

Như vậy ta sẽ có là:

$$\begin{array}{rl}& (y{e}^{\int p(x)dx}{)}^{\prime }=0\\ & y{e}^{\int p(x)dx}=C\\ & y=C{e}^{\int -p(x)dx}\end{array}$$

Cuối cùng ta cũng dẫn đến công thức $\text{(2)}$.

Tới đây có thể các bạn thắc mắc ủa tại sao phải nhân cho thằng đệ $e^{\int p(x)dx}$ mà không nhân cho thằng khác, rồi làm sao biết thằng đệ này ở đâu ra mà tin dùng nó? Có một phần lý thuyết nói về phương pháp sử dụng thừa số tích phân này và cách tìm thừa số tích phân như thế nào. Các bạn có thể tìm hiểu thêm trong sách, đối với dạng tuyến tính này thì thừa số tích phân luôn là $e^{\int p(x)dx}$, nên cứ rơi vào tuyến tính thì gọi thằng đệ vào chắc chắn sẽ giải quyết được vấn đề. Mình thì hay quên công thức, nên cứ quên thì thay thằng đệ này vào nháp nháp là nhớ lại ngay.

Thử ví dụ trên cho cách này.

Ví dụ. Tìm nghiệm tổng quát của phương trình: $$y^{\prime }-{\displaystyle \frac{2x}{1+x^2}}y=0$$

Giải.

Với đề trên thì $p(x)=-{\displaystyle \frac{2x}{1+x^2}}$

Đầu tiên ta phải tìm thừa số tích phân là thằng đệ $e^{\int p(x)dx}$

$$\begin{array}{rl}& e^{\int p(x)dx}=e^{\int -\frac{2x}{1+x^2}dx}\\ =& e^{-\int \frac{d(1+x^2)}{1+x^2}}=e^{-\ln (1+x^2)}\\ =& e^{\ln (1+x^2{)}^{-1}}=\frac{1}{1+x^2}\end{array}$$

Giờ ta chỉ cần nhân vào hai vế với ${\displaystyle \frac{1}{1+x^2}}$

$$\begin{array}{rl}& y^{\prime }\times {\displaystyle \frac{1}{1+x^2}}-{\displaystyle \frac{2x}{1+x^2}}y\times {\displaystyle \frac{1}{1+x^2}}=0\\ \iff & {\displaystyle \frac{1}{1+x^2}}{y}^{\prime }-{\displaystyle \frac{2x}{(1+x^2{)}^2}}y=0\\ \iff & ({\displaystyle \frac{y}{1+x^2}}{)}^{\prime }=0\\ \iff & {\displaystyle \frac{y}{1+x^2}}=C\\ \iff & y=C(1+x^2)\end{array}$$

---

Tóm lại: Đối với phương trình vi phân tuyến tính cấp 1 thuần nhất, ta có thể giải rất bình thường bằng cách đưa về phương trình vi phân tách biến (biến phân ly), ta cũng có thể giải quyết bằng cách sử dụng phương pháp thừa số tích phân, lúc đó thì chỉ nhớ tới thằng đệ $e^{\int p(x)dx}$.

Qua phần này thì hãy nhớ dạng phương trình vi phân $y^{\prime }+p(x)y=0$ thì có nghiệm tổng quát là $y=C{e}^{\int -p(x)dx}$

Trước khi xử lý thằng phương trình vi phân tuyến tính cấp 1 không thuần nhất (ở phần thứ 2) thì hãy cùng làm vài bài tập nhỏ để quen với dạng vi phân tuyến tính cấp 1 thuần nhất.

---

Bài tập phương trình vi phân tuyến tính cấp 1 có lời giải

Sau đây là một số bài tập về phương trình tuyến tính cấp 1 có lời giải

Câu 1. Tìm tích phân tổng quát (hay nghiệm tổng quát) của phương trình sau:

$$y^{\prime }+{\displaystyle \frac{4x}{4+x^2}}y=0$$

Ta có: ${\displaystyle p\left(x\right)=\frac{4x}{4+x^2}}$

Thừa số tích phân: $e^{\int p\left(x\right)dx}=e^{\int \frac{4x}{4+x^2}dx}$

$=e^{2\int \frac{d(4+x^2)}{4+x^2}}=e^{2\ln (4+x^2)}$

$=e^{\ln {(4+x^2)}^2}={(4+x^2)}^2$

+) Ta nhân cả hai vế cho ${(4+x^2)}^2$ ta được

${\displaystyle (y^{\prime }+\frac{4x}{4+x^2}y){(4+x^2)}^2=0}$

$\iff y^{\prime }{(4+x^2)}^2+4xy(4+x^2)=0$

$\iff {\left[y{(4+x^2)}^2\right]}^{\prime }=0$

$\iff y{(4+x^2)}^2=C$ (Lấy tích phân hai vế)

${\displaystyle \iff y=\frac{C}{{(4+x^2)}^2}}$

Câu 2. Tìm tích phân tổng quát (hay nghiệm tổng quát) của phương trình sau:

$$y^{\prime }-xy=0$$

Ta có: $p\left(x\right)=-x$

Thừa số tích phân: $e^{\int -xdx}=e^{-\frac{x^2}{2}}$

+) Ta nhân cả hai vế cho: $e^{-\frac{x^2}{2}}$ ta được

$(y^{\prime }-xy)e^{-\frac{x^2}{2}}=0$

$\iff y^{\prime }{e}^{-\frac{x^2}{2}}-xy{e}^{-\frac{x^2}{2}}=0$

$\iff {\left(y{e}^{-\frac{x^2}{2}}\right)}^{\prime }=0$ (Lấy tích phân hai vế)

$\iff y{e}^{-\frac{x^2}{2}}=C$

$\iff y=\frac{C}{e^{-\frac{x^2}{2}}}=C{e}^{\frac{x^2}{2}}$

---

Hãy để lại cảm nhận hay bổ sung thêm cho bài viết dưới phần comment nhé!

XEM THÊM CÁC BÀI VIẾT VỀ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN