Số phức

1. KHÁI NIỆM SỐ PHỨC

Định nghĩa. Một số phức là một biểu thức có dạng $a+bi$, trong đó $a$ và $b$ là những số thực và số $i$ thỏa mãn $i^2=-1$. Ký hiệu số phức đó là $z$ và viết $z=a+bi$.

$i$ được gọi là đơn vị ảo, $a$ được gọi là phần thực và $b$ được gọi là phần ảo của số phức $z=a+bi$.

Tập hợp tất cả các số phức được ký hiệu là $\mathbb{C}$.

Chú ý:

Số phức $z=a+0i$ có phần ảo bằng $0$ được xem như là số thực và viết là $z=a+0i=a\in \mathbb{R}\subset\mathbb{C}$.

Số phức $z=0+bi$ có phần thực bằng $0$ được gọi là số ảo (còn gọi là số thuần ảo) và viết $z=0+bi=bi(b\in\mathbb{R}); \, i=0+1i=1i$.

Số  $0=0+0i=0i$ vừa là số thực vừa là số ảo.

---

2. HAI SỐ PHỨC BẰNG NHAU

Hai số phức $z=a+bi \,\,(a,b\in\mathbb{R}),\,z'=a'+b'i\,\,(a',b'\in\mathbb{R})$ gọi là bằng nhau nếu:$$a=a',\,b=b'$$Khi đó ta viết $z=z'$.

Hai số phức bằng nhau nếu phần thực bằng phần thực, phần ảo bằng phần ảo.

---

3.BIỂU DIỄN HÌNH HỌC CỦA SỐ PHỨC.

Mỗi số phức có dạng $z=a+bi$, tương ứng với mỗi điểm $\text{A}(a;b)$ trên hệ trục tọa độ $Oxy$.

---

4.MỘT SỐ PHÉP TOÁN CỦA SỐ PHỨC

4.1.TỔNG, HIỆU HAI SỐ PHỨC

Hai số phức $z=a+bi,\,z'=a'+b'i\,\,(a,b,a',b'\in\mathbb{R})$ Khi đó: $$z\pm z'=(a\pm a')+(b\pm b')i$$ Tính chất của tổng, hiệu hai số phức. Với mọi $z,z',z''\in\mathbb{C}$

Tính kết hợp: $(z\pm z')\pm z''=z\pm(z'\pm z'')$.

Tính giao hoán: $z+z'=z'+z$.

Cộng với số $0$: $z\pm 0=z$.

Cộng với số đối: $z\pm(\mp z)=0$.

---

4.2.NHÂN HAI SỐ PHỨC

Hai số phức $z=a+bi,\,z'=a'+b'i\,\,(a,b,a',b'\in\mathbb{R})$ Khi đó: $$zz'=(aa'-bb')+(ab'+a'b)i$$ Tính chất của phép nhân số phức. Với mọi $z,z',z''\in\mathbb{C}$.

Tính giao hoán: $zz'=z'z$.

Tính kết hợp: $(zz')z''=z(z'z'')$.

Nhân với 1: $1z=z1=z$.

Tính phân phối của phép nhân với phép cộng: $z(z'+z'')=zz'+zz''$.

---

5. SỐ PHỨC LIÊN HỢP

Số phức liên hợp của số phức $z=a+bi\,\,(a,b\in\mathbb{R})$ là số phức $a-bi$ và được ký hiệu là $\overline{z}$.

Như vậy $\boxed{\overline{z}=\overline{a+bi}=a-bi}$

Tính chất. Với mọi $z,z'\in\mathbb{C}$

$$\overline{z+z'}=\overline{z}+\overline{z'}$$ $$\overline{zz'}=\overline{z}\overline{z'}$$

---

6. MODULE CỦA SỐ PHỨC

Module của số phức $z=a+bi\,\,(a,b\in\mathbb{R})$ là số thực không âm $\sqrt{a^2+b^2}$ và được ký hiệu là $|z|$.

Tính chất.

$|z|=z\overline{z}=\sqrt{a^2+b^2}$.

---

7. PHÉP CHIA CHO SỐ PHỨC KHÁC 0

Số nghịch đảo của số phức $z$ khác $0$ là số $z^{-1}=\dfrac{1}{|z|^2}\overline{z}$.

Thương $\dfrac{z'}{z}$ của phép chia số phức $z'$ cho số phức $z$ khác $0$ là tích của $z'$ với số phức nghịch đảo của $z$, tức là  $\dfrac{z'}{z}=z'z^{-1}$.

$$z\ne0\,\,\text{thì}\,\,\dfrac{z'}{z}=\dfrac{z'\overline{z}}{|z|^2}$$