Số phức

1. KHÁI NIỆM SỐ PHỨC

Định nghĩa. Một số phức là một biểu thức có dạng $a+bi$, trong đó $a$ và $b$ là những số thực và số $i$ thỏa mãn $i^2=-1$. Ký hiệu số phức đó là $z$ và viết $z=a+bi$.

$i$ được gọi là đơn vị ảo, $a$ được gọi là phần thực và $b$ được gọi là phần ảo của số phức $z=a+bi$.

Tập hợp tất cả các số phức được ký hiệu là $\mathbb{C}$.

Chú ý:

Số phức $z=a+0i$ có phần ảo bằng $0$ được xem như là số thực và viết là $z=a+0i=a\in \mathbb{R}\subset \mathbb{C}$.

Số phức $z=0+bi$ có phần thực bằng $0$ được gọi là số ảo (còn gọi là số thuần ảo) và viết $z=0+bi=bi(b\in \mathbb{R});i=0+1i=1i$.

Số  $0=0+0i=0i$ vừa là số thực vừa là số ảo.

---

2. HAI SỐ PHỨC BẰNG NHAU

Hai số phức $z=a+bi(a,b\in \mathbb{R}),z^{\prime }=a^{\prime }+b^{\prime }i(a^{\prime },b^{\prime }\in \mathbb{R})$ gọi là bằng nhau nếu:$$a=a^{\prime },b=b^{\prime }$$Khi đó ta viết $z=z^{\prime }$.

Hai số phức bằng nhau nếu phần thực bằng phần thực, phần ảo bằng phần ảo.

---

3.BIỂU DIỄN HÌNH HỌC CỦA SỐ PHỨC.

Mỗi số phức có dạng $z=a+bi$, tương ứng với mỗi điểm $\text{A}(a;b)$ trên hệ trục tọa độ $Oxy$.

---

4.MỘT SỐ PHÉP TOÁN CỦA SỐ PHỨC

4.1.TỔNG, HIỆU HAI SỐ PHỨC

Hai số phức $z=a+bi,z^{\prime }=a^{\prime }+b^{\prime }i(a,b,a^{\prime },b^{\prime }\in \mathbb{R})$ Khi đó: $$z\pm z^{\prime }=(a\pm a^{\prime })+(b\pm b^{\prime })i$$ Tính chất của tổng, hiệu hai số phức. Với mọi $z,z^{\prime },z^{″}\in \mathbb{C}$

Tính kết hợp: $(z\pm z^{\prime })\pm z^{″}=z\pm (z^{\prime }\pm z^{″})$.

Tính giao hoán: $z+z^{\prime }=z^{\prime }+z$.

Cộng với số $0$: $z\pm 0=z$.

Cộng với số đối: $z\pm (\mp z)=0$.

---

4.2.NHÂN HAI SỐ PHỨC

Hai số phức $z=a+bi,z^{\prime }=a^{\prime }+b^{\prime }i(a,b,a^{\prime },b^{\prime }\in \mathbb{R})$ Khi đó: $$z{z}^{\prime }=(a{a}^{\prime }-b{b}^{\prime })+(a{b}^{\prime }+a^{\prime }b)i$$ Tính chất của phép nhân số phức. Với mọi $z,z^{\prime },z^{″}\in \mathbb{C}$.

Tính giao hoán: $z{z}^{\prime }=z^{\prime }z$.

Tính kết hợp: $(z{z}^{\prime })z^{″}=z(z^{\prime }{z}^{″})$.

Nhân với 1: $1z=z1=z$.

Tính phân phối của phép nhân với phép cộng: $z(z^{\prime }+z^{″})=z{z}^{\prime }+z{z}^{″}$.

---

5. SỐ PHỨC LIÊN HỢP

Số phức liên hợp của số phức $z=a+bi(a,b\in \mathbb{R})$ là số phức $a-bi$ và được ký hiệu là $\bar{z}$.

Như vậy $\boxed{{\displaystyle \bar{z}=\overline{a+bi}=a-bi}}$

Tính chất. Với mọi $z,z^{\prime }\in \mathbb{C}$

$$\overline{z+z^{\prime }}=\bar{z}+\overline{z^{\prime }}$$ $$\overline{z{z}^{\prime }}=\bar{z}\overline{z^{\prime }}$$

---

6. MODULE CỦA SỐ PHỨC

Module của số phức $z=a+bi(a,b\in \mathbb{R})$ là số thực không âm $\sqrt{a^2+b^2}$ và được ký hiệu là $|z|$.

Tính chất.

$|z|=z\bar{z}=\sqrt{a^2+b^2}$.

---

7. PHÉP CHIA CHO SỐ PHỨC KHÁC 0

Số nghịch đảo của số phức $z$ khác $0$ là số $z^{-1}={\displaystyle \frac{1}{|z{|}^2}}\bar{z}$.

Thương ${\displaystyle \frac{z^{\prime }}{z}}$ của phép chia số phức $z^{\prime }$ cho số phức $z$ khác $0$ là tích của $z^{\prime }$ với số phức nghịch đảo của $z$, tức là  ${\displaystyle \frac{z^{\prime }}{z}}=z^{\prime }{z}^{-1}$.

$$z\ne 0\text{thì}{\displaystyle \frac{z^{\prime }}{z}}={\displaystyle \frac{z^{\prime }\bar{z}}{|z{|}^2}}$$