PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN ĐƯA ĐƯỢC VỀ DẠNG PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN THUẦN NHẤT

20/11 là đây sao? Trời thì lại mưa, học toán mà sao mỗi khi trời mưa lại có cảm xúc dạt dào như zậy, ngồi nhâm nhi ly cà phê, đọc gì đó thú vị, quá tuyệt vời ...

CÁC BÀI VIẾT LIÊN QUAN VỀ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN

MỞ ĐẦU VỀ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN

PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TÁCH BIẾN

PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN THUẦN NHẤT

PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN ĐƯA ĐƯỢC VỀ DẠNG PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN THUẦN NHẤT

PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TUYẾN TÍNH CẤP 1 (PHẦN 1)

PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TUYẾN TÍNH CẤP 1 (PHẦN 2)

PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN ĐẲNG CẤP

PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TOÀN PHẦN

PHƯƠNG TRÌNH ĐƯA VỀ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN THUẦN NHẤT

1. DẠNG

Phương trình có dạng ${\displaystyle \frac{dy}{dx}}=f\left({\displaystyle \frac{a_{1}x+b_{1}y+c_1}{a_{2}x+b_{2}y+c_2}}\right)$ ta có thể đưa về dạng phương trình vi phân thuần nhất bằng cách đổi biến

---

2. PHƯƠNG PHÁP GIẢI

Xét $\mathrm{\Delta }=\left|\begin{array}{cc}{a}_1& b_1\\ a_2& b_2\end{array}\right|$

+) Nếu $\mathrm{\Delta }\ne 0$, ta sẽ sử dụng phép đổi biến: $\{\begin{array}{rl}& x=\xi +h\\ & y=\eta +k\end{array}$ trong đó $h,k$ là các hằng số

Khi đó, ${\displaystyle \frac{d\eta }{d\xi }}=f\left({\displaystyle \frac{a_1\xi +b_1\eta +a_{1}h+b_{1}k+c_1}{a_2\xi +b_2\eta +a_{2}h+b_{2}k+c_2}}\right)$

Nếu ta chọn $\{\begin{array}{rl}& a_{1}h+b_{1}k+c_1=0\\ & a_{2}h+b_{2}k+c_2=0\end{array}$ thì ta được phương trình thuần nhất ${\displaystyle \frac{d\eta }{d\xi }}=f\left({\displaystyle \frac{a_1\xi +b_1\eta }{a_2\xi +b_2\eta }}\right)$

+) Nếu $\mathrm{\Delta }=0$, nghĩa là ${\displaystyle \frac{a_1}{a_2}}={\displaystyle \frac{b_1}{b_2}}=\lambda$. Do đó, ${\displaystyle \frac{dy}{dx}}=f\left({\displaystyle \frac{\lambda (a_{2}x+b_{2}y)+c_1}{a_{2}x+b_{2}y+c_2}}\right)$

Lúc này ta sẽ thực hiện phép đổi biến $z=a_{2}x+b_{2}y$ và đưa về dạng phương trình vi phân tách biến (biến phân ly)

Nhìn quá loằng ngoằng, hại não vô cùng, tuy nhiên ví dụ cụ thể sẽ dễ dàng hơn rất nhiều, còn trên là phương pháp xử lý dưới dạng tổng quát nên độ phức tạp và loằng ngoằng là đúng rồi! OK, giờ ta đi qua một số ví dụ bên dưới để hiểu rõ hơn về dạng bài toán này

---

3. VÍ DỤ

Ví dụ 1. Giải phương trình $${\displaystyle \frac{dy}{dx}}={\displaystyle \frac{x+y-3}{x-y-1}},\left(1\right)$$

Xét $\mathrm{\Delta }=\left|\begin{array}{cc}1& 1\\ 1& -1\end{array}\right|=-2\ne 0$

Đổi biến ${\displaystyle \{\begin{array}{rl}& x=\xi +h\\ & y=\eta +k\end{array}}$, với $h,k$ thoả $\{\begin{array}{rl}& h+k-3=0\\ & h-k-1=0\end{array}$

$\Rightarrow \{\begin{array}{rl}& h=2\\ & k=1\end{array}$

Từ đây ta có phép đổi biến ${\displaystyle \{\begin{array}{rl}& x=\xi +2\\ & y=\eta +1\end{array}}$

Thay vào $\left(1\right)$ ta suy ra ${\displaystyle \frac{d\eta }{d\xi }}={\displaystyle \frac{\xi +\eta }{\xi -\eta }},\left(2\right)$

Tiếp tục đổi biến $\eta =u\xi \Rightarrow d\eta =\xi du+ud\xi$

Thay vào $\left(2\right)$ ta suy ra

$\xi du+ud\xi =\left({\displaystyle \frac{\xi +u\xi }{\xi -u\xi }}\right)d\xi$

$\Rightarrow \xi du=({\displaystyle \frac{1+u}{1-u}}-u)d\xi$

$\Rightarrow \xi du=\left({\displaystyle \frac{1+u^2}{1-u}}\right)d\xi$

$\Rightarrow \left({\displaystyle \frac{1-u}{1+u^2}}\right)du={\displaystyle \frac{d\xi }{\xi }}$

Lấy tích phân hai vế ta được

${\displaystyle \int \left({\displaystyle \frac{1-u}{1+u^2}}\right)du=\int {\displaystyle \frac{d\xi }{\xi }}}$

${\displaystyle \Rightarrow \int ({\displaystyle \frac{1}{1+u^2}}-{\displaystyle \frac{u}{1+u^2}})du=\int {\displaystyle \frac{d\xi }{\xi }}}$

${\displaystyle \Rightarrow \arctan u-{\displaystyle \frac{1}{2}}\ln (1+u^2)=\ln \left|\xi \right|+C_1}$

${\displaystyle \Rightarrow \arctan u=\ln \sqrt{1+u^2}+\ln \left|\xi \right|+\ln C,(\ln C=C_1)}$

${\displaystyle \Rightarrow \arctan u=\ln \left(C\xi \sqrt{1+u^2}\right)}$

${\displaystyle \Rightarrow C\xi \sqrt{1+u^2}=e^{\arctan u}}$

Trả lại biến $x,y$

${\displaystyle \Rightarrow C\xi \sqrt{1+{\left({\displaystyle \frac{\eta }{\xi }}\right)}^2}=e^{\arctan \frac{\eta }{\xi }}}$

${\displaystyle \Rightarrow C(x-2)\sqrt{1+{\left({\displaystyle \frac{y-1}{x-2}}\right)}^2}=e^{\arctan \frac{y-1}{x-2}}}$

${\displaystyle \Rightarrow C\sqrt{{(x-2)}^2+{(y-1)}^2}=e^{\arctan \frac{y-1}{x-2}}}$

Vậy nghiệm tổng quát của phương trình là

${\displaystyle C\sqrt{{(x-2)}^2+{(y-1)}^2}=e^{\arctan \frac{y-1}{x-2}}}$