ĐỊNH THỨC VÀ TÍNH CHẤT CỦA ĐỊNH THỨC

ĐỊNH THỨC

ĐỊNH NGHĨA ĐỊNH THỨC

Xét ma trận vuông cấp $n$ $$A=\left[\begin{array}{cccccc} {a_{11} } & {a_{12} } & {\cdots } & {a_{1j} } & {\cdots } & {a_{1n} } \\ {a_{21} } & {a_{22} } & {\cdots } & {a_{2j} } & {\cdots } & {a_{2n} } \\ {\vdots } & {\vdots } & {\ddots } & {\vdots } & {\ddots } & {\vdots } \\ {a_{i1} } & {a_{i2} } & {\cdots } & {a_{ij} } & {\cdots } & {a_{in} } \\ {\vdots } & {\vdots } & {\ddots } & {\vdots } & {\ddots } & {\vdots } \\ {a_{n1} } & {a_{n2} } & {\cdots } & {a_{nj} } & {\cdots } & {a_{nn} } \end{array}\right].$$Ma trận vuông cấp $n-1$ có được từ $A$ bằng cách bỏ đi hàng $i, (i=\overline{1,n})$, cột $j,(j=\overline{1,n})$ được gọi là ma trận con ứng với phần tử $a_{ij}$. Kí hiệu $M_{ij}$

Chẳng hạn $A=\left[\begin{array}{cc} {a_{11} } & {a_{12} } \\ {a_{21} } & {a_{22} } \end{array}\right]$ có 4 ma trận con ứng với 4 phần tử $a_{ij} $ là: $M_{11} =\left[a_{22} \right],M_{12} =\left[a_{21} \right]$, $M_{21} =\left[a_{12} \right],M_{22} =\left[a_{11} \right]$

Hay $A=\left[\begin{array}{ccc} {a_{11} } & {a_{12} } & {a_{13} } \\ {a_{21} } & {a_{22} } & {a_{23} } \\ {a_{31} } & {a_{32} } & {a_{33} } \end{array}\right]$ có 9 ma trận con ứng với 9 phần tử là: $$M_{11} =\left[\begin{array}{cc} {a_{22} } & {a_{23} } \\ {a_{32} } & {a_{33} } \end{array}\right];\quad M_{12} =\left[\begin{array}{cc} {a_{21} } & {a_{23} } \\ {a_{31} } & {a_{33} } \end{array}\right];\quad M_{13} =\left[\begin{array}{cc} {a_{21} } & {a_{22} } \\ {a_{31} } & {a_{32} } \end{array}\right];$$ $$M_{21} =\left[\begin{array}{cc} {a_{12} } & {a_{13} } \\ {a_{32} } & {a_{33} } \end{array}\right];\quad M_{22} =\left[\begin{array}{cc} {a_{11} } & {a_{13} } \\ {a_{31} } & {a_{33} } \end{array}\right];\quad M_{23} =\left[\begin{array}{cc} {a_{11} } & {a_{12} } \\ {a_{31} } & {a_{32} } \end{array}\right];$$ $$M_{31} =\left[\begin{array}{cc} {a_{12} } & {a_{13} } \\ {a_{22} } & {a_{23} } \end{array}\right];\quad M_{32} =\left[\begin{array}{cc} {a_{11} } & {a_{13} } \\ {a_{21} } & {a_{23} } \end{array}\right];\quad M_{33} =\left[\begin{array}{cc} {a_{11} } & {a_{12} } \\ {a_{21} } & {a_{22} } \end{array}\right].$$

Định thức của ma trận vuông $A$ là một số, kí hiệu $\det \left(A\right)$, được định nghĩa quy nạp như sau:

1) $A$ là ma trận vuông cấp 1: $A=\left[a_{11} \right]$ thì $\det \left(A\right)=a_{11} $

2) $A$ là ma trận vuông cấp 2: $A=\left[\begin{array}{cc} {a_{11} } & {a_{12} } \\ {a_{21} } & {a_{22} } \end{array}\right]$ thì $$\det \left(A\right)=a_{11} \det \left(M_{11} \right)- a_{12} \det \left(M_{12} \right)=a_{11} a_{22} - a_{12} a_{21} .$$

3) $A$ là ma trận vuông cấp 3: $A=\left[\begin{array}{ccc} {a_{11} } & {a_{12} } & {a_{13} } \\ {a_{21} } & {a_{22} } & {a_{23} } \\ {a_{31} } & {a_{32} } & {a_{33} } \end{array}\right]$ thì \begin{align}\det \left(A\right)&=a_{11} \det \left(M_{11} \right)- a_{12} \det \left(M_{12} \right)+a_{13} \det \left(M_{13} \right)\\&=a_{11} \left(a_{22} a_{33} - a_{32} a_{23} \right)\; - a_{12} \left(a_{21} a_{33} - a_{31} a_{23} \right)+a_{13} \left(a_{21} a_{32} - a_{31} a_{22} \right)\\&=a_{11} a_{22} a_{33} +a_{12} a_{31} a_{23} +a_{13} a_{21} a_{32} -\left(a_{13} a_{22} a_{31} +a_{11} a_{32} a_{23} +a_{12} a_{21} a_{33} \right).\end{align}

4) $A$ là ma trận vuông cấp $n$: $A=\left[\begin{array}{cccc} {a_{11} } & {a_{12} } & {\cdots } & {a_{1n} } \\ {a_{21} } & {a_{22} } & {\cdots } & {a_{2n} } \\ {\vdots } & {\vdots } & {\ddots } & {\vdots } \\ {a_{n1} } & {a_{n2} } & {\cdots } & {a_{nn} } \end{array}\right]$ thì $$\det \left(A\right)=a_{11} \det \left(M_{11} \right)- a_{12} \det \left(M_{12} \right)+a_{13} \det \left(M_{13} \right)- \cdots +\left(-1\right)^{1+n} a_{1n} \det \left(M_{1n} \right).$$

Lưu ý. 1) Định thức chỉ định nghĩa cho lớp ma trận vuông cấp $n$

2) Thường dùng dấu $|\,|$ để kí hiệu cho định thức, chẳng hạn định thức của ma trận $A=\left[\begin{array}{cc} {a_{11} } & {a_{12} } \\ {a_{21} } & {a_{22} } \end{array}\right]$ được kí hiệu $\left|\begin{array}{cc} {a_{11} } & {a_{12} } \\ {a_{21} } & {a_{22} } \end{array}\right|$

---

VÍ DỤ TÍNH ĐỊNH THỨC

Ví dụ 1. Tính định thức của ma trận $A=\left[\begin{array}{cc} {1} & {-3} \\ {5} & {7} \end{array}\right]$

$\det (A)=1.7-(-3).5=22$

QUY TẮC SARRUT TÍNH ĐỊNH THỨC CẤP 3

Quy tắc Sarrut dùng cho định thức cấp $3$

Chéo màu đỏ (chéo xuống) mang dấu $+$

Chéo màu đen (chéo lên) mang dấu $-$

Ví dụ 2. Tính $\Delta =\left|\begin{array}{ccc} {1} & {0} & {2} \\ {-1} & {-2} & {1} \\ {3} & {2} & {1} \end{array}\right|$

Viết lại theo form để có thể áp dụng quy tắc như hình trên

$\begin{array}{ccccc} {1} & {0} & {2} & {1} & {0} \\ {-1} & {-2} & {1} & {-1} & {-2} \\ {3} & {2} & {1} & {3} & {2} \end{array}$

Lúc này áp dụng quy tắc như hình trên ta được

$$\begin{align}\Delta&=-\left(2.\left(-2\right).3\right)-\left(1.1.2\right)-\left(0.\left(-1\right).1\right){\rm \; }+\left(1.\left(-2\right).1\right)+\left(0.1.3\right)+\left(2.\left(-1\right).2\right)\\&={\rm \; }12-2-0+\left(-2\right)+0+\left(-4\right)=4.\end{align}$$

Vậy $\Delta =\left|\begin{array}{ccc} {1} & {0} & {2} \\ {-1} & {-2} & {1} \\ {3} & {2} & {1} \end{array}\right|=4$

---

Đối với định thức cấp 2, cấp 3 thì việc tính định thức khá dễ dàng, tuy nhiên nếu cho định thức cấp cao hơn thì việc tính định thức sẽ phức tạp thêm một chút, phải sử dụng các tính chất của định thức để có thể tính định thức nhanh hơn

---

TÍNH CHẤT CỦA ĐỊNH THỨC

Tính chất 1. Định thức của ma trận $A$ đúng bằng định thức của ma trận chuyển vị của $A$: $\det \left(A^{t} \right)=\det \left(A\right)$

Nhận xét. Trong một định thức vai trò của hàng và cột là như nhau, điều gì đã đúng cho hàng thì cũng đúng cho cột và ngược lại

Tính chất 2. Nếu đổi chỗ 2 hàng (hoặc 2 cột) trong một định thức thì định thức sẽ đổi dấu

Tính chất 3. Một định thức có 2 hàng (hoặc 2 cột) như nhau thì bằng 0

Tính chất 4. Công thức khai triển định thức theo hàng $i$ $$\det \left(A\right)=\left(-1\right)^{i+1} [a_{i1} \det \left(M_{i1} \right)-a_{i2} \det \left(M_{i2} \right)+\cdots \pm a_{in} \det \left(M_{in} \right)]{\rm \; }=\sum _{j=1}^{n}(-1)^{i+j} a_{ij} \det (M_{ij} ) .$$Công thức khai triển định thức theo hàng cột $j$ $$\det \left(A\right)=\left(-1\right)^{1+j} [a_{1j} \det \left(M_{1j} \right)-a_{2j} \det \left(M_{2j} \right)+\cdots \pm a_{nj} \det \left(M_{nj} \right)]=\sum _{i=1}^{n}(-1)^{i+j} a_{ij} \det (M_{ij} ) .$$

Tính chất 5. Một định thức có 1 hàng (hoặc 1 cột) toàn số 0 thì bằng 0

Tính chất 6. Khi nhân các phần tử của 1 hàng (hoặc 1cột) với cùng 1 số $k$ ta được định thức mới bằng định thức cũ nhân với $k$

Suy ra, trong một định thức: các phần tử của cùng một hàng (hoặc cùng một cột) có thừa số chung thì ta có thể đưa thừa số chung đó ra ngoài dấu định thức. Hay, khi nhân một số với một định thức, ta chỉ nhân số đó với các phần tử của một hàng (hoặc một cột) nào đó của định thức (điểm khác với ma trận: khi nhân 1 số với 1 ma trận thì ta nhân số đó với mọi phần tử có mặt trong ma trận)

Tính chất 7. Một định thức có 2 hàng (hoặc 2 cột) tỉ lệ thì bằng 0

Tính chất 8. Khi tất cả các phần tử của 1 hàng (hoặc 1 cột) có dạng tổng của 2 số hạng thì định thức có thể phân tích thành tổng 2 định thức

Chẳng hạn $\left| {\begin{array}{*{20}{c}}
{{a_{11}} + a{'_{11}}}&{{a_{12}} + a{'_{12}}}\\
{{a_{21}}}&{{a_{22}}}
\end{array}} \right| = \left| {\begin{array}{*{20}{c}}
{{a_{11}}}&{{a_{12}}}\\
{{a_{21}}}&{{a_{22}}}
\end{array}} \right| + \left| {\begin{array}{*{20}{c}}
{a{'_{11}}}&{a{'_{12}}}\\
{{a_{21}}}&{{a_{22}}}
\end{array}} \right|$

Tính chất 9. Ma trận $A=\left( \begin{matrix} 1 & 2 & 7 \\ -1 & 3 & 3 \\ 3 & -4 & 1 \\\end{matrix} \right)$ có $\det (A)=0$. Ta thấy ${{h}_{1}}=2{{h}_{2}}+{{h}_{3}}$ ( ta nói ${{h}_{1}}$ là tổ hợp tuyến tính của ${{h}_{2}}$ và ${{h}_{3}}$)

Ma trận $B=\left( \begin{matrix} 2 & 0 & 1 \\3 & -1 & 2 \\1 & 1 & 0 \\\end{matrix} \right)$ có $\det (B)=0$. Ta thấy ${{c}_{2}}={{c}_{1}}-2{{c}_{3}}$( ta nói ${{c}_{2}}$ là tổ hợp tuyến tính của ${{c}_{1}}$ và ${{c}_{3}}$)

Người ta chứng minh được rằng một định thức có 1 hàng là tổ hợp tuyến tính của các hàng khác (hoặc 1 cột là tổ hợp tuyến tính của các các cột khác) thì định thức ấy bằng 0

Tính chất 10. Khi cộng bội $k$ của 1 hàng vào 1 hàng khác (hoặc cộng bội $k$ của 1 cột vào 1 cột khác) thì định thức mới vẫn bằng định thức cũ

Tính chất 11. Các định thức có dạng tam giác bằng tích các phần tử chéo

Suy ra, $\det (I)=1$