MỘT SỐ NGUYÊN HÀM ĐẶC THÙ

MỘT SỐ NGUYÊN HÀM ĐẶC THÙ

Một số bài toán tìm nguyên hàm nhìn đề có vẽ dễ xơi nhưng thực chất không phải

Các bạn phải nắm vững cách tìm nguyên hàm đối với các dạng bài tập cơ bản, từ đó làm tiền đề để có thể tiếp cận các bài này một cách dễ dàng

---

Bài tập 1. Tìm nguyên hàm $$I=\int{\sqrt{{{x}^{2}}+{{a}^{2}}}dx}$$

$\displaystyle I=\int{\sqrt{{{x}^{2}}+{{a}^{2}}}dx}=x\sqrt{{{x}^{2}}+{{a}^{2}}}-\int{xd\left( \sqrt{{{x}^{2}}+{{a}^{2}}} \right)}$ (nguyên hàm từng phần)

$\displaystyle =x\sqrt{{{x}^{2}}+{{a}^{2}}}-\int{x\cdot \frac{x}{\sqrt{{{x}^{2}}+{{a}^{2}}}}dx}$

$\displaystyle =x\sqrt{{{x}^{2}}+{{a}^{2}}}-\int{\frac{\left( {{x}^{2}}+{{a}^{2}} \right)-{{a}^{2}}}{\sqrt{{{x}^{2}}+{{a}^{2}}}}dx}$

$\displaystyle =x\sqrt{{{x}^{2}}+{{a}^{2}}}-\int{\left( \sqrt{{{x}^{2}}+{{a}^{2}}}-\frac{{{a}^{2}}}{\sqrt{{{x}^{2}}+{{a}^{2}}}} \right)dx}$

$\displaystyle =x\sqrt{{{x}^{2}}+{{a}^{2}}}-\int{\sqrt{{{x}^{2}}+{{a}^{2}}}dx+\int{\frac{{{a}^{2}}}{\sqrt{{{x}^{2}}+{{a}^{2}}}}dx}}$

$\displaystyle =x\sqrt{{{x}^{2}}+{{a}^{2}}}-I+\int{\frac{{{a}^{2}}\left( x+\sqrt{{{x}^{2}}+{{a}^{2}}} \right)}{\sqrt{{{x}^{2}}+{{a}^{2}}}\left( x+\sqrt{{{x}^{2}}+{{a}^{2}}} \right)}dx}$

Nhận xét: $\displaystyle \left( x+\sqrt{{{x}^{2}}+{{a}^{2}}} \right)'=\frac{x+\sqrt{{{x}^{2}}+{{a}^{2}}}}{\sqrt{{{x}^{2}}+{{a}^{2}}}}$

Do đó

$\displaystyle I=x\sqrt{{{x}^{2}}+{{a}^{2}}}-I+{{a}^{2}}\int{\frac{d\left( x+\sqrt{{{x}^{2}}+{{a}^{2}}} \right)}{\left( x+\sqrt{{{x}^{2}}+{{a}^{2}}} \right)}}$

$\displaystyle 2I=x\sqrt{{{x}^{2}}+{{a}^{2}}}+{{a}^{2}}\ln \left| x+\sqrt{{{x}^{2}}+{{a}^{2}}} \right|+{{C}_{1}}$

$\displaystyle I=\frac{1}{2}x\sqrt{{{x}^{2}}+{{a}^{2}}}+\frac{{{a}^{2}}}{2}\ln \left| x+\sqrt{{{x}^{2}}+{{a}^{2}}} \right|+C,\left( C=\frac{1}{2}{{C}_{1}} \right)$

---

Bài tập 2. Tìm nguyên hàm $$\displaystyle \int{\sqrt{{{x}^{2}}-{{a}^{2}}}dx}$$

Với cách làm hoàn toàn tương tự, ta cũng có

$$\displaystyle \int{\sqrt{{{x}^{2}}-{{a}^{2}}}dx}=\frac{1}{2}x\sqrt{{{x}^{2}}-{{a}^{2}}}-\frac{{{a}^{2}}}{2}\ln \left| x+\sqrt{{{x}^{2}}-{{a}^{2}}} \right|+C$$

Bài tập 3. Tìm nguyên hàm $$\int{\sqrt{{{a}^{2}}-{{x}^{2}}}dx}$$

Đối với dạng bài toán này thì ta xem lại bài nguyên hàm đổi biến số với $x=\sin t$