MỞ ĐẦU VỀ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN

CÁC BÀI VIẾT LIÊN QUAN VỀ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN

MỞ ĐẦU VỀ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN

PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TÁCH BIẾN

PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN THUẦN NHẤT

PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN ĐƯA ĐƯỢC VỀ DẠNG PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN THUẦN NHẤT

PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TUYẾN TÍNH CẤP 1 (PHẦN 1)

PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TUYẾN TÍNH CẤP 1 (PHẦN 2)

PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN ĐẲNG CẤP

PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TOÀN PHẦN

---

Mở đầu

Đây là bài đầu tiên trong loạt bài viết về phương trình vi phân. Mục đích của loạt bài viết này nhằm trang bị cho chúng ta những kiến thức cơ bản nhất về phương trình vi phân. Cao siêu hơn thì để tính sau kakaka...

Cũng như học bất kỳ môn gì, việc nắm tổng quan vấn đề là rất quan trọng, nó giúp ta hình dung được ta đang học cái gì, để làm gì, và ứng dụng vào việc gì và đặc biệt hơn việc nắm được những vấn đề tổng quan giúp ta có thêm chút động lực.

Caolac cũng học qua vài môn theo kiểu học mà chả biết để làm gì đấy, cái cảm giác học như thế cực ngán, mặt dù cũng qua môn, cũng kết thúc, nhưng nó chẳng để lại một ấn tượng gì cả. Thực ra thì tất cả đều có ý nghĩa và ứng dụng cả, nhưng khổ nỗi trong khuôn khổ và phạm vi học tập thì những ứng dụng đấy nhiều khi thầy cô không cung cấp hoặc nó không cần thiết hoặc cũng có thể nó ứng dụng ở một tầm cao hơn mà ta chưa đủ trình độ để nhận thấy được. Ta không mong muốn phải biết hết tất cả mọi thứ, tuy nhiên nếu nắm được ứng dụng cụ thể của chúng thì đó cũng là một điều thú vị và đôi khi là tạo động lực cho ta học một cách hứng thú hơn.

Ví dụ như Caolac lúc học cấp 3 luôn có câu hỏi là làm sao tính được xấp xỉ những giá trị của $\sin ,\cos ,\tan$ của những góc không đặc biệt. Một logic thông thường, máy tính casio bấm được, mà ta biết là máy tính chỉ thực hiện một cách tuần tự một số phép toán để cho ta kết quả. Chứng tỏ sẽ có một cách nào đó mà người ta lập trình cho nó để tính được. Biết là thế nhưng chả biết làm thế nào cho đến khi học lên đại học. Khi học tới phần khai triển Taylor, Caolac không biết là máy tính dùng cách nào nhưng với riêng Caolac thì Caolac đã có câu trả lời cho mình, đó là có thể xấp xỉ hàm $\cos ,\sin$ bởi một hàm đa thức. Cái cảm giác đó mới thích, thích vì biết cách mà người ta làm, chứ nếu học chay cái công thức khai triển Taylor không thôi chắc héo luôn. Caolac cũng dùng công thức khai triển Taylor viết chương trình tính gần đúng $\cos ,\sin$ bằng ngôn ngữ Visual Basic. Khi đó mới cảm giác được giá trị của toán là như thế nào. Tuyệt vời!

Một ví dụ khác như học về môn số học, học mấy định lý Fermat, Euler, số nguyên tố v...v..., bản thân nó là môn học cũng dễ thích rồi, do nó giống cảm giác đố, chơi với những con số, cộng thêm sau này Caolac biết là nó có ứng dụng trong mật mã học nữa, nghe thôi cũng đã kích thích, mặc dù có thể chẳng hiểu nó áp dụng như thế nào, nhưng chí ít thì Caolac cũng biết thuật toán bảo mật RSA mà ngày nay hầu hết mọi hệ thống đều dùng xuất phát từ nền tảng toán học dựa trên các định lý mà hầu như sinh viên ngành toán nào cũng học, nhưng mấy ai biết chúng để làm gì? @@. Khi biết được một ít về ứng dụng của nó cũng cảm thấy ok hơn, kích thích hơn kakaka...

Hình như ta đi hơi xa vấn đề kakaka... quay lại vấn đề chính, bài viết này là nói sơ lược những gì mà Caolac biết về phương trình vi phân cũng như cấu trúc tổng quan những gì chúng ta sẽ học thông qua loạt bài viết này.

---

Tổng quan về phương trình vi phân

Phương trình vi phân là phương trình toán học biểu diễn mối liên hệ giữa một hàm chưa biết (hàm này có thể là 1 hay nhiều biến) với đạo hàm của nó. Phương trình vi phân đóng vai trò cực kỳ quan trọng trong vật lý, kỹ thuật, sinh học và kinh tế... Hầu như những mô hình trong vật lý đều thấy dính tới anh phương trình vi phân này. Nôm na thằng phương trình vi phân ứng dụng rất nhiều, cụ thể như thế nào thì phải học chuyên ngành mới thấy rõ được.

Trong thực tiễn cuộc sống khi mô hình hóa toán học các hệ thống thường dẫn tới các dạng phương trình vi phân. Do đó nhu cầu giải các phương trình vi phân là vô cùng cần thiết. Các nhà toán học sẽ đảm nhiệm vài trò này, phương trình vi phân đã rất phát triển nhưng một công thức rõ ràng đối với nghiệm của một phương trình vi phân bất kỳ là không có. Tuy nhiên với một số lớp phương trình vi phân đặc biệt thì ta tìm ra được nghiệm của chúng, ngoài ra còn có các phương pháp tính xấp xỉ nghiệm của phương trình vi phân. Trong khoa học và kỹ thuật chỉ cần đòi hỏi độ chính xác tới một mức nào đó là chấp nhận được, do vậy việc tìm nghiệm chính xác của phương trình vi phân chỉ là việc làm của các nhà toán học.

Ở đây là một ví dụ về mô hình sinh học dẫn tới phương trình vi phân. (Ngay cả sinh học mà cũng dính nó thì hiểu chế độ nó ứng dụng cỡ nào @@)

Giả sử ta cần nghiên cứu sự phát triển của một quần thể. Gọi $x(t)$ là mật độ của quần thể ở thời điểm $t$, $x^{\ast }(t)=\frac{dx}{dt}$ là tốc độ phát triển của quần thể. Tại mỗi thời điểm $t$, tốc độ phát triển nói chung tỷ lệ với số lượng của quần thể tức là mật độ của nó: $x^{\ast }=h(t)x$ (chẳng hạn, số lượng càng nhiều thì càn lắm con). Nhưng tại mỗi thời điểm $t$ sẽ có một số lượng con bị chết đi (có thể do bệnh hay do các con ăn thịt khác headshot). Số lượng con bị chết đi cũng tỉ lệ thuận với mật độ của quần thể. Do đó tốc độ phát triển của quần thể có thể viết một cách chính xác hơn dưới dạng:

$$x^{\ast }=x(k(t)-h(t)x)(1)$$

Đại lượng $k(t)-h(t)x$ được gọi là tốc độ phát triển riêng của quần thể. Nếu quần thể phát triển chưa đến mức tới hạn (nghĩa là môi trường quá hoàn hảo, cung cấp đầy đủ thức ăn cho quần thể) thì tốc độ phát triển riêng của quần thể $k(t)-h(t)x>0$. Nếu quần thể phát triển quá mức tới hạn (lúc này đông quá nên không đủ thức ăn cho cả quần thể) thì tốc độ phát triển riêng của quần thể $k(t)-h(t)x<0$.

Phương trình $(1)$ là phương trình vi phân cấp 1 và thường được gọi là phương trình logistis. Việc nghiên cứu phương trình $(1)$ có ý nghĩa quan trọng trong sinh học.

Cấu trúc của loạt bài viết về phương trình vi phân

Trước khi đi đến cấu trúc của loạt bài viết thì ta cần nắm một số khái niệm.

Phương trình vi phân cấp 1 tổng quát sẽ có dạng: $F(x,y,y^{\prime })=0(2.1)$, trong đó $x$ là biến, $y$ là hàm cần tìm và $y^{\prime }$ là đạo hàm của hàm cần tìm. Lưu ý $y^{\prime }=\frac{dy}{dx}$.

Nếu phương trình $F(x,y,y^{\prime })=0$ có thể đưa được về dạng $y^{\prime }=f(x,y)$ nghĩa là có thể biểu diễn được $y^{\prime }$ thông qua hàm $f(x,y)$ thì ta nói phương trình vi phân $(2.1)$ giải ra được đối với đạo hàm. Ngược lại nếu không biểu diễn được dưới dạng $y^{\prime }=f(x,y)$ thì ta nói phương trình vi phân $(2.1)$ không giải ra được đối với đạo hàm.

Đối với loại phương trình vi phân giải ra được đối với đạo hàm $y^{\prime }=f(x,y)$ ta có:

$$\begin{array}{r}\frac{dy}{dx}=f(x,y)\\ \iff dy=f(x,y)dx\\ \iff f(x,y)dx-dy=0\end{array}$$

Nó có dạng $M(x,y)dx+N(x,y)dy=0(2.2)$. Do vậy thường trong phần phương trình vi phân giải ra được đối với đạo hàm ta hay xét phương trình vi phân dạng $(2.2)$

Trong loạt bài viết này chúng ta sẽ đi nghiên cứu hai loại phương trình vi phân cấp 1: Loại giải ra được với đạo hàm và loại không giải ra được với đạo hàm.

Đối với loại giải ra được với đạo hàm $y^{\prime }=f(x,y)$ hay $M(x,y)dx+N(x,y)dy=0$, ta có một số lớp phương trình vi phân đặc biệt:

1. Phương trình vi phân tách biến (biến phân ly).
2. Phương trình vi phân thuần nhất (đẳng cấp).
3. Phương trình vi phân đưa về phương trình vi phân thuần nhất.
4. Phương trình thuần nhất suy rộng.
5. Phương trình tuyến tính.
6. Phương trình đưa được về phương trình tuyến tính.
7. Phương trình Bernoulli.
8. Phương trình Darboux.
9. Phương trình Ricatti.
10. Phương trình vi phân toàn phần (Phương trình vi phân hoàn chỉnh).
11. Phương pháp thừa số tích phân.

Đối với loại không giải ra được với đạo hàm $F(x,y,y^{\prime })=0$. Ta có một số trường hợp sau:

1. Khuyết đi một trong 3 thành phần, tức là khuyết đi $x$ hay $y$ hay $y^{\prime }$ trong phương trình.
2. $F(x,y)=0$ khuyết $y^{\prime }$ thì thằng này không còn gọi là phương trình vi phân nữa nên ta không xét trong trường hợp này
3. $F(y,y^{\prime })=0$ khuyết $x$. Đối với loại này thì ta chia thành các trường hợp nhỏ:
1. $y^{\prime }=f(y)$ tức là biểu diễn được $y^{\prime }$ theo một hàm của $y$.
2. $y=f(y^{\prime })$ tức là biểu diễn được $y$ theo một hàm của $y^{\prime }$.
3. $y=\phi (t),y^{\prime }=\psi (t)$ tức là tham số hóa được phương trình $F(y,y^{\prime })=0$
4. $F(x,y^{\prime })=0$ khuyết $y$. Cũng như trên ta chia thành các trường hợp nhỏ:
1. $y^{\prime }=f(x)$ tức là biểu diễn được $y^{\prime }$ theo một hàm của $x$
2. $x=f(y^{\prime })$ tức là biểu diễn được $x$ theo một hàm của $y^{\prime }$.
3. $x=\phi (t),y^{\prime }=\psi (t)$ tức là tham số hóa được phương trình $F(x,y^{\prime })=0$
5. Đầy đủ cả 3 thành phần $F(x,y,y^{\prime })=0$. Ta có một số trường hợp sau:
1. $y^{\prime }=f(x,y)$ biểu diễn được $y^{\prime }$ theo một hàm của $x$ và $y$. Đây chính là phương trình vi phân giải ra được đối với đạo hàm mà ta đã nói ở trên
2. $y=f(x,y^{\prime })$ biểu diễn được $y$ theo một hàm của $x$ và $y^{\prime }$
3. $x=f(y,y^{\prime })$ biểu diễn được $x$ theo một hàm của $y$ và $y^{\prime }$

Ngoài ra còn có phương trình vi phân cấp cao, tuy nhiên nếu nắm rõ được cách giải của các phương trình vi phân cấp 1 thì việc giải phương trình vi phân cấp cao cũng chỉ là mở rộng

Trên đây là cấu trúc của loạt bài viết về phương trình vi phân. Mới đọc thì có thể bỏ qua không cần nhớ, nhưng nếu sau khi đọc xong hết rồi thì bảng cấu trúc này sẽ là một tóm tắt tuyệt vời

Dạng cũng như phương pháp giải Caolac sẽ cố gắng trình bày một cách chi tiết nhất theo cách hiểu của mình trong từng bài viết cụ thể

Một bài viết quá dài, nhưng nó cũng có cái giá của nó chứ, vector cũng còn có giá mà kakaka...

---

Kết