PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TUYẾN TÍNH CẤP 1 [PHẦN 2]

CÁC BÀI VIẾT LIÊN QUAN VỀ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN

MỞ ĐẦU VỀ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN

PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TÁCH BIẾN

PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN THUẦN NHẤT

PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN ĐƯA ĐƯỢC VỀ DẠNG PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN THUẦN NHẤT

PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TUYẾN TÍNH CẤP 1 (PHẦN 1)

PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TUYẾN TÍNH CẤP 1 (PHẦN 2)

PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN ĐẲNG CẤP

PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TOÀN PHẦN

PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TUYẾN TÍNH CẤP 1 KHÔNG THUẦN NHẤT (PHẦN 2)

Ở bài viết đầu (PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TUYẾN TÍNH CẤP 1 (PHẦN 1)) ta đã xử thằng phương trình vi phân tuyến tính cấp 1 thuần nhất, tức là dạng $y^{\prime }+p(x)=0$. Ở bài viết thứ hai này ta sẽ đi xử trường hợp $y^{\prime }+p(x)=q(x)$

Dạng phương trình vi phân tuyến tính cấp 1 không thuần nhất

$$y^{\prime }+p(x)=q(x)(\ast )$$

Phương pháp giải thừa số tích phân

Đối với phương pháp này ta phải nhớ thằng đệ ${\displaystyle e^{\int p(x)dx}}$

Ta nhân hai vế của $(\ast )$ với thằng đệ thừa số tích phân ${\displaystyle e^{\int p(x)dx}}$, ta được

$$y^{\prime }{e}^{\int p(x)dx}+p(x)e^{\int p(x)dx}=q(x)e^{\int p(x)dx}$$

Dễ thấy vế trái sẽ là ${\left(y{e}^{\int p(x)dx}\right)}^{\prime }$, nghĩa là ta có

$${\left(y{e}^{\int p(x)dx}\right)}^{\prime }=q(x)e^{\int p(x)dx}$$

Tới đây ta chỉ cần lấy tích phân hai vế là xong. OK fine

---

Ví dụ

Ta sẽ đi qua phần ví dụ để nắm rõ cách làm này

Ví dụ 1. Giải phương trình $y^{\prime }=x-2xy$

Giải

Bằng một phép biến đổi đơn giản ta đưa phương trình về thành

$$y^{\prime }+2xy=x(1)$$

Rõ ràng đây là phương trình vi phân tuyến tính cấp 1 với $p(x)=2x$ và $q(x)=x$

OK, ta đi tìm thằng đệ thừa số tích phân $e^{\int p(x)dx}$ chính là $e^{\int 2xdx}=e^{x^2}$

Ta nhân hai vế của phương trình $(1)$ cho $e^{x^2}$, ta được

${\displaystyle y^{\prime }{e}^{x^2}+2xy{e}^{x^2}=x{e}^{x^2}}$

${\displaystyle \Rightarrow {\left(y{e}^{x^2}\right)}^{\prime }=x{e}^{x^2}}$

Tới đây ta lấy tính phân hai vế, khi đó ta được

${\displaystyle y{e}^{x^2}=\int x{e}^{x^2}dx}$

${\displaystyle \Rightarrow y{e}^{x^2}=\frac{1}{2}{e}^{x^2}+C}$

Hay ${\displaystyle y=\frac{1}{2}+C{e}^{-x^2}}$

Giờ thì mọi thứ đã sáng tỏ đúng không nào

---

XEM THÊM CÁC BÀI VIẾT KHÁC VỀ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN