CÁC BÀI VIẾT LIÊN QUAN VỀ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN

MỞ ĐẦU VỀ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN

PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TÁCH BIẾN

PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN THUẦN NHẤT

PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN ĐƯA ĐƯỢC VỀ DẠNG PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN THUẦN NHẤT

PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TUYẾN TÍNH CẤP 1 (PHẦN 1)

PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TUYẾN TÍNH CẤP 1 (PHẦN 2)

PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN ĐẲNG CẤP

PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TOÀN PHẦN

PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN ĐẲNG CẤP

Bài viết tiếp theo trong loạt bài viết về phương trình vi phân. Vẫn theo ý tưởng chủ đạo, làm sao để dễ hiểu nhất có thể. Caolac sẽ cố gắng đưa thật nhiều ví dụ và trình bày chi tiết nhất. Đối với người giỏi thì những thứ này quá đơn giản tuy nhiên khi Caolac viết bài này cũng là lúc Caolac đang học môn phương trình vi phân, cũng hại não phết kaka...

Bài này Caolac viết về phương trình vi phân đẳng cấp hay gọi ngắn hơn là phương trình đẳng cấp. Đẳng cấp là gì? Đẳng là bằng, cấp là bậc hay là cấp bậc. Đẳng cấp có nghĩa là cùng cấp hay cùng bậc.
Mới đầu đọc đẳng cấp cũng nghĩ ngay đến chắc phương trình này ghê gớm lắm, hiểu theo nghĩa cao siêu kaka...

1. Dạng

Phương trình vi phân đẳng cấp là phương trình vi phân có dạng:

$M(x,y)dx+N(x,y)dy=0$ trong đó $M(x,y),N(x,y)$ là các hàm có cùng cấp. Từ cùng cấp ở đây Caolac sẽ nói cụ thể hơn trong phần ví dụ để có thể dễ hình dung.

Sau đây ta cùng nhau đi qua ví dụ để dễ hình dung vấn đề hơn

Ví dụ. $(x^2+2xy-y^2)dx+(y^2+2xy-x^2)dy=0 \quad (1)$

Ta thấy $M(x,y)=x^2+2xy-y^2$. Thằng $x^2$ có cấp là $2$, thằng $2xy$ cũng có cấp là $2$ (ta xem $x$ bậc $1$ và thằng $y$ cũng bậc $1$, tích $2$ thằng bậc $1$ thì ra bậc $2$), thằng $-y^2$ cũng có cấp là $2$. Nôm na thằng $M(x,y)$ có cấp là $2$.

Tương tự cho thằng $N(x,y)=y^2+2xy-x^2$ cũng có cấp là $2$.
Khi đó ta nói $M(x,y),N(x,y)$ có cùng cấp. Cách nói này chỉ do Caolac quy ước thôi, nó không chính xác nhưng có thể giúp ta dễ hình dung. Hiểu là được kaka...

Giờ thì ta có thể mườn tượng ra được phương trình vi phân đẳng cấp là như thế nào rồi. Bây giờ chỉ ngâm cứu cách xơi nó thôi.

---

2. Cách giải

Phương pháp giải của phương trình này là chia cho $x$ mũ "cấp" ($x^{\text{cấp}}$, ở trong ví dụ trên thì cấp bằng $2$) để đưa phương trình $(1)$ về dạng:

$$y'=\dfrac{dy}{dx}=f\left( \dfrac{y}{x}\right) \quad (2)$$

Khi đó ta đặt $z=\dfrac{y}{x}$ hay $y=xz$ ta sẽ đưa phương trình $(2)$ về dạng phương trình vi phân tách biến.

Khi đưa được về dạng phương trình vi phân tách biến thì xem như bài toán đã được giải quyết

Tóm lại nếu phương trình vi phân rơi vào dạng phương trình vi phân đẳng cấp thì ta chỉ việc:

+) Chia cho $x$ mũ "cấp"

+) Đặt $z=\dfrac{y}{x}$

+) Đưa về phương trình vi phân tách biến

OK, giờ thì làm vài ba cái ví dụ là thấy thông não ngay kaka...

---

3. Một số ví dụ

Ví dụ 1. Giải phương trình: $(x^2+2xy-y^2)dx+(y^2+2xy-x^2)dy=0 \quad (1)$

Nãy ta đã check ở trên là nó là phương trình vi phân đẳng cấp rồi, giờ ta đi xử nó

+) Chia cho $x^2$

$$(1)\Leftrightarrow \left (1+\dfrac{2y}{x}-\dfrac{y^2}{x^2}\right )dx+\left ( \dfrac{y^2}{x^2}+\dfrac{2y}{x}-1\right )dy=0 \quad (2)$$

+) Đặt $z=\dfrac{y}{x}\Leftrightarrow y=xz$ suy ra $dy=xdz+zdx$. Thay vào $(2)$ ta được:

$\displaystyle (2)\Leftrightarrow (1+2z-z^2)dx+(z^2+2z-1)(xdz+zdx)=0$

$\displaystyle \Leftrightarrow (z^3+z^2+z+1)dx+(z^2+2z-1)xdz=0$

$\displaystyle \Leftrightarrow \dfrac{dx}{x} =-\dfrac{z^2+2z-1}{z^3+z^2+z+1}dz$

Đây là phương trình vi phân tách biến theo $x$ và $z$. Sau một hồi tính toán ta sẽ ra:

$$\dfrac{x(z^2+1)}{z+1}=C$$

Trở về biến cũ ta nhận được nghiệm của phương trình

$$\dfrac{x^2+y^2}{x+y}=C$$

Ví dụ 2. Giải phương trình $$xyy'={{y}^{2}}+2{{x}^{2}}, (1)$$

$(1) \Rightarrow xy\dfrac{dy}{dx}={{y}^{2}}+2{{x}^{2}}$

$\Rightarrow xydy=\left( {{y}^{2}}+2{{x}^{2}} \right)dx$

$\Rightarrow \dfrac{y}{x}dy=\left[ {{\left( \dfrac{y}{x} \right)}^{2}}+2 \right]dx,\left( 2 \right)$

Đặt $z=\dfrac{y}{x}\Rightarrow y=xz\Rightarrow dy=xdz+zdx$

Thay vào $\left( 2 \right)$, ta được

$\Rightarrow z\left( xdz+zdx \right)=\left( {{z}^{2}}+2 \right)dx$

$\Rightarrow zdz=\dfrac{2}{x}dx$

Lấy tích phân hai vế

$\Rightarrow \dfrac{{{z}^{2}}}{2}=2\ln |x|+{{C}_{1}}$

$\Rightarrow {{z}^{2}}=4\ln |x|+2{{C}_{1}}=\ln {{x}^{4}}+\ln C=\ln C{{x}^{4}}$

$\Rightarrow C{{x}^{4}}={{e}^{{{z}^{2}}}}$

$\Rightarrow C{{x}^{4}}={{e}^{\frac{{{y}^{2}}}{{{x}^{2}}}}}$

Vậy nghiệm tổng quát là

$C{{x}^{4}}={{e}^{\frac{{{y}^{2}}}{{{x}^{2}}}}}$

---

Kết luận