PHÉP NHÂN HAI MA TRẬN

1. Phép nhân ma trận

Một trong những phép toán cơ bản trong bộ môn đại số tuyến tính là phép nhân hai ma trận. Bài viết nhỏ này sẽ trình bày định nghĩa tích của hai ma trận, biết khi nào hai trận nhân được với nhau

Định nghĩa

Cho hai ma trận $A={(a_{ij})}_{m\times n};B={(b_{ij})}_{n\times p}$ trong đó ma trận $A$ có số cột bằng số dòng của ma trận $B$. Tích của ma trận $A$ và ma trận $B$ là ma trận cấp $m\times p,$ được kí hiệu là $AB$ và được xác định bởi

$AB=\left(\begin{array}{cccc}{c}_{11}& c_{12}& ...& c_{1p}\\ c_{21}& c_{22}& ...& c_{2p}\\ ...& ...& ...& ...\\ c_{m1}& c_{m2}& ...& c_{mp}\end{array}\right)$

Trong đó

$c_{ij}=A_i^d\times B_j^c=\left(a_{i1}{a}_{i2}...a_{in}\right)\left(\begin{array}{c}{b}_{1j}\\ b_{2j}\\ ...\\ b_{nj}\end{array}\right)=a_{i1}{b}_{1j}+a_{i2}{b}_{2j}+...+a_{in}{b}_{nj}.$

Các bạn lưu ý là phép nhân ma trận $AB$ chỉ thực hiện được khi số cột của ma trận $A$ (tức là ma trận đứng trước) bằng số dòng của ma trận $B$ (tức của ma trận đứng sau)

Một số ví dụ

Ví dụ 1. Cho hai ma trận $A=\left(\begin{array}{ccc}3& 1& -2\\ 2& 5& 4\\ -1& 0& -3\end{array}\right),B=\left(\begin{array}{cccc}0& 2& -5& 1\\ 1& 3& 0& -1\\ -5& -1& 4& 1\end{array}\right).$ Tính ma trận $AB.$

Giải

Có $AB=\left(\begin{array}{ccc}3& 1& -2\\ 2& 5& 4\\ -1& 0& -3\end{array}\right).\left(\begin{array}{cccc}0& 2& -5& 1\\ 1& 3& 0& -1\\ -5& -1& 4& 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cccc}11& 11& -23& 0\\ -15& 15& 6& 1\\ 15& 1& -7& -4\end{array}\right).$

Ví dụ 2. Cho hai ma trận $A=\left(\begin{array}{ccc}2& -1& 1\\ 0& 8& -5\\ 5& 6& -2\end{array}\right),B=\left(\begin{array}{ccc}1& 2& 0\\ 4& -7& -1\\ 5& 2& -1\end{array}\right).$ Tính ma trận $AB$ và $BA.$

Giải

Có $AB=\left(\begin{array}{ccc}2& -1& 1\\ 0& 8& -5\\ 5& 6& -2\end{array}\right)\left(\begin{array}{ccc}1& 2& 0\\ 4& -7& -1\\ 5& 2& -1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}3& 13& 0\\ 7& -66& -3\\ 19& -36& -4\end{array}\right)$

và

$BA=\left(\begin{array}{ccc}1& 2& 0\\ 4& -7& -1\\ 5& 2& -1\end{array}\right)\left(\begin{array}{ccc}2& -1& 1\\ 0& 8& -5\\ 5& 6& -2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}2& 15& -9\\ 3& -66& 41\\ 5& 5& -3\end{array}\right).$

Ví dụ 3. Cho các ma trận$A=\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ 3& 6\end{array}\right),B=\left(\begin{array}{cc}3& -8\\ 2& 3\end{array}\right),C=\left(\begin{array}{cc}5& 2\\ 1& -2\end{array}\right).$

a) Chứng minh rằng $AB=AC.$

b) Có tồn tại hai ma trận $X,Y$ phân biệt sao cho $AX=AY$ và $X,Y$ khác $B,C.$

Giải

Có \[AB = AC = \left( {$$\begin{array}{cc}7& -2\\ 21& -6\end{array}$$} \right).\]

Chọn $X=O\Rightarrow AX=O$

Ta tìm ma trận $Y=\left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right)$

sao cho

$\begin{array}{l}AX=AY=O\iff \left(\begin{array}{cc}1& 2\\ 3& 6\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right)=O\\ \iff \left(\begin{array}{cc}a+2c& b+2d\\ 3(a+2c)& 3(b+2d)\end{array}\right)=O\iff \{\begin{array}{c}a+2c=0\\ b+2d=0\\ 3(a+2c)=0\\ 3(b+2d)=0\end{array}\iff \{\begin{array}{c}a=-2c\\ b=-2d\end{array}.\end{array}$

Vậy với $X=O$ thì có vô số ma trận $Y=\left(\begin{array}{cc}-2c& -2d\\ c& d\end{array}\right)$ thoả mãn $AX=AY$ và $X,Y$ khác $B,C.$

Ví dụ 4. Cho $A$ là ma trận thực vuông cấp $n\ge 2.$ Chứng minh rằng tổng các phần tử nằm trên đường chéo chính của ma trận $A{a}^{\prime }$ bằng 0 thì $A$ là ma trận không.

Giải

Tổng các phần tử nằm trên đường chéo chính của ma trận $A{a}^{\prime }$ là \[\sum\limits_{1\le i,j\le n}{a_{ij}^{2}}=0\Leftrightarrow {a_{ij}}=0\Rightarrow A=O.\]

Ví dụ 5. Cho ma trận $A=\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ 0& 0\end{array}\right).$ Tìm mọi ma trận $X$ thoả mãn $AX=XA.$

Giải

Đặt $X=\left(\begin{array}{cc}x& y\\ z& t\end{array}\right).$

Ta có $AX=\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ 0& 0\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}x& y\\ z& t\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}z& t\\ 0& 0\end{array}\right);XA=\left(\begin{array}{cc}x& y\\ z& t\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ 0& 0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}0& x\\ 0& z\end{array}\right).$

Vậy $AX=XA\iff \{\begin{array}{l}z=0\\ x=t\\ z=0\end{array}\Rightarrow X=\left(\begin{array}{cc}x& y\\ 0& x\end{array}\right).$