PHƯƠNG TRÌNH GIAO TUYẾN CHUNG CỦA HAI MẶT PHẲNG OXYZ (CÓ LỜI GIẢI CHI TIẾT)

PHƯƠNG TRÌNH GIAO TUYẾN CHUNG CỦA HAI MẶT PHẲNG

Phương pháp chung

+) Cho $z=0$, sau đó giải hệ để tìm một điểm $M$ thuộc giao tuyến

+) Véctơ chỉ phương của giao tuyến là tích có hướng của hai véctơ pháp tuyến của hai mặt phẳng

---

Ví dụ 1

Viết phương trình giao tuyến của hai mặt phẳng $\left(\alpha \right):6x+2y+2z+3=0$ và $\left(\beta \right):3x-5y-2z-1=0$

Lời giải

Gọi $\mathrm{\Delta }$ là giao tuyến của $\left(\alpha \right)$ và $\left(\beta \right)$

Cho $z=0$, khi đó ta có hệ phương trình

$\{\begin{array}{rl}& 6x+2y+3=0\\ & 3x-5y-1=0\end{array}$

$\iff \{\begin{array}{rl}& x=-\frac{13}{36}\\ & y=-\frac{5}{12}\end{array}$

Suy ra $M(-\frac{13}{36};-\frac{5}{12};0)\in \mathrm{\Delta }$, do toạ độ của $M$ đều thoả $\left(\alpha \right)$ và $\left(\beta \right)$

+) Nhận xét, véctơ chỉ phương của giao tuyến $\mathrm{\Delta }$ là tích có hương của hai véctơ phảp tuyến của hai mặt phẳng $\left(\alpha \right)$ và $\left(\beta \right)$

$\left(\alpha \right)$ có véctơ pháp tuyến $\overrightarrow{n_{\alpha }}=(6;2;2)$ hay ta chọn $\overrightarrow{n_{\alpha }}=(3;1;1)$

$\left(\beta \right)$ có véctơ pháp tuyến $\overrightarrow{n_{\beta }}=(3;-5;-2)$

Khi đó véctơ chỉ phương của $\mathrm{\Delta }$: $\overrightarrow{n_{\mathrm{\Delta }}}=[\overrightarrow{n_{\alpha }};\overrightarrow{n_{\beta }}]=(3;9;-18)$

Hay ta có thể chọn $\overrightarrow{n_{\mathrm{\Delta }}}=(1;3;-6)$

Phương trình tham số của giao tuyến $\mathrm{\Delta }$ là

$\mathrm{\Delta }:\{\begin{array}{rl}& x=-\frac{13}{36}+t\\ & y=-\frac{5}{12}+3t\\ & z=-6t\end{array},(t\in \mathbb{R})$

Ví dụ 2

Viết phương trình giao tuyến chung của $\left(\alpha \right):x-3y+z=0$ và $\left(\beta \right):x+y-z+4=0$

Lời giải

Gọi $\mathrm{\Delta }$ là giao tuyến của $\left(\alpha \right)$ và $\left(\beta \right)$

Cho $z=0$, khi đó ta có hệ phương trình

$\{\begin{array}{rl}& x-3y=0\\ & x+y+4=0\end{array}$

$\iff \{\begin{array}{rl}& x=-3\\ & y=-1\end{array}$

Suy ra $M(-3;-1;0)\in \mathrm{\Delta }$

+) $\left(\alpha \right)$ có véctơ pháp tuyến $\overrightarrow{n_{\alpha }}=(1;-3;1)$

+) $\left(\beta \right)$ có véctơ pháp tuyến $\overrightarrow{n_{\beta }}=(1;1;-1)$

Khi đó véctơ chỉ phương của $\mathrm{\Delta }$: $\overrightarrow{n_{\mathrm{\Delta }}}=[\overrightarrow{n_{\alpha }};\overrightarrow{n_{\beta }}]=(2;2;4)$

Hay ta có thể chọn $\overrightarrow{n_{\mathrm{\Delta }}}=(1;1;2)$

Phương trình tham số của $\mathrm{\Delta }$ là

$\mathrm{\Delta }:\{\begin{array}{rl}& x=-3+t\\ & y=-1+t\\ & z=2t\end{array},(t\in \mathbb{R})$

Ví dụ 3

Cho $\left(P\right):y-2z+3=0$. Viết phương trình giao tuyến của hai mặt phẳng $\left(P\right)$ và $\left(Oyz\right)$

Lời giải

+) Nhận xét: mặt phẳng $\left(Oyz\right):x=0$

Gọi $\mathrm{\Delta }$ là giao tuyến của mặt phẳng $\left(P\right)$ và $\left(Oyz\right)$

Gọi điểm $M(x;y;z)\in \mathrm{\Delta }$, khi đó toạ độ của $M$ thoả mãn

$\{\begin{array}{rl}& y-2z+3=0\\ & x=0\end{array}\stackrel{(z=t)}{\iff }\{\begin{array}{rl}& x=0\\ & y-3+2t\\ & z=t\end{array}$

Phương trình giao tuyến của $\mathrm{\Delta }:\{\begin{array}{rl}& x=0\\ & y-3+2t\\ & z=t\end{array}$