PHƯƠNG TRÌNH GIAO TUYẾN CHUNG CỦA HAI MẶT PHẲNG OXYZ (CÓ LỜI GIẢI CHI TIẾT)

PHƯƠNG TRÌNH GIAO TUYẾN CHUNG CỦA HAI MẶT PHẲNG

Phương pháp chung

+) Cho $z=0$, sau đó giải hệ để tìm một điểm $M$ thuộc giao tuyến

+) Véctơ chỉ phương của giao tuyến là tích có hướng của hai véctơ pháp tuyến của hai mặt phẳng

---

Ví dụ 1

Viết phương trình giao tuyến của hai mặt phẳng $\left( \alpha \right):6x+2y+2z+3=0$ và $\left( \beta \right):3x-5y-2z-1=0$

Lời giải

Gọi $\Delta $ là giao tuyến của $\left( \alpha \right)$ và $\left( \beta \right)$

Cho $z=0$, khi đó ta có hệ phương trình

$\left\{ \begin{align} & 6x+2y+3=0 \\ & 3x-5y-1=0 \\ \end{align} \right.$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{align} & x=-\frac{13}{36} \\ & y=-\frac{5}{12} \\ \end{align} \right.$

Suy ra $M\left( -\frac{13}{36};-\frac{5}{12};0 \right)\in \Delta $, do toạ độ của $M$ đều thoả $\left( \alpha \right)$ và $\left( \beta \right)$

+) Nhận xét, véctơ chỉ phương của giao tuyến $\Delta $ là tích có hương của hai véctơ phảp tuyến của hai mặt phẳng $\left( \alpha \right)$ và $\left( \beta \right)$

$\left( \alpha \right)$ có véctơ pháp tuyến $\overrightarrow{{{n}_{\alpha }}}=\left( 6;2;2 \right)$ hay ta chọn $\overrightarrow{{{n}_{\alpha }}}=\left( 3;1;1 \right)$

$\left( \beta \right)$ có véctơ pháp tuyến $\overrightarrow{{{n}_{\beta }}}=\left( 3;-5;-2 \right)$

Khi đó véctơ chỉ phương của $\Delta $: $\overrightarrow{{{n}_{\Delta }}}=\left[ \overrightarrow{{{n}_{\alpha }}};\overrightarrow{{{n}_{\beta }}} \right]=\left( 3;9;-18 \right)$

Hay ta có thể chọn $\overrightarrow{{{n}_{\Delta }}}=\left( 1;3;-6 \right)$

Phương trình tham số của giao tuyến $\Delta $ là

$\Delta :\left\{ \begin{align} & x=-\frac{13}{36}+t \\ & y=-\frac{5}{12}+3t \\ & z=-6t \\ \end{align} \right.,\left( t\in \mathbb{R} \right)$

Ví dụ 2

Viết phương trình giao tuyến chung của $\left( \alpha \right):x-3y+z=0$ và $\left( \beta \right):x+y-z+4=0$

Lời giải

Gọi $\Delta $ là giao tuyến của $\left( \alpha \right)$ và $\left( \beta \right)$

Cho $z=0$, khi đó ta có hệ phương trình

$\left\{ \begin{align} & x-3y=0 \\ & x+y+4=0 \\ \end{align} \right.$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{align} & x=-3 \\ & y=-1 \\ \end{align} \right.$

Suy ra $M\left( -3;-1;0 \right)\in \Delta $

+) $\left( \alpha \right)$ có véctơ pháp tuyến $\overrightarrow{{{n}_{\alpha }}}=\left( 1;-3;1 \right)$

+) $\left( \beta \right)$ có véctơ pháp tuyến $\overrightarrow{{{n}_{\beta }}}=\left( 1;1;-1 \right)$

Khi đó véctơ chỉ phương của $\Delta $: $\overrightarrow{{{n}_{\Delta }}}=\left[ \overrightarrow{{{n}_{\alpha }}};\overrightarrow{{{n}_{\beta }}} \right]=\left( 2;2;4 \right)$

Hay ta có thể chọn $\overrightarrow{{{n}_{\Delta }}}=\left( 1;1;2 \right)$

Phương trình tham số của $\Delta $ là

$\Delta :\left\{ \begin{align} & x=-3+t \\ & y=-1+t \\ & z=2t \\ \end{align} \right.,\left( t\in \mathbb{R} \right)$

Ví dụ 3

Cho $\left( P \right):y-2z+3=0$. Viết phương trình giao tuyến của hai mặt phẳng $\left( P \right)$ và $\left( Oyz \right)$

Lời giải

+) Nhận xét: mặt phẳng $\left( Oyz \right):x=0$

Gọi $\Delta $ là giao tuyến của mặt phẳng $\left( P \right)$ và $\left( Oyz \right)$

Gọi điểm $M\left( x;y;z \right)\in \Delta $, khi đó toạ độ của $M$ thoả mãn

$\left\{ \begin{aligned} & y-2z+3=0 \\ & x=0 \\ \end{aligned} \right.\overset{\left( z=t \right)}{\mathop{\Leftrightarrow }}\,\left\{ \begin{aligned} & x=0 \\ & y-3+2t \\ & z=t \\ \end{aligned} \right.$

Phương trình giao tuyến của $\Delta :\left\{ \begin{align} & x=0 \\ & y-3+2t \\ & z=t \\ \end{align} \right.$