CÁC DẠNG BÀI TẬP VIẾT PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG TRONG KHÔNG GIAN (CÓ LỜI GIẢI CHI TIẾT)

Bài tập phương trình đường thẳng trong không gian $Oxyz$ (có lời giải chi tiết)

Ví dụ 1. Viết phương trình tham số, phương trình chính tắc (nếu có) của đường thẳng qua $A\left( 1;2;3 \right)$ và có véctơ chỉ phương $\overrightarrow{u}=\left( -1;2;4 \right)$

+) Phương trình tham số của đường thẳng $\Delta $ qua $A\left( 1;2;3 \right)$ và có véctơ chỉ phương $\overrightarrow{u}=\left( -1;2;4 \right)$ có dạng

$\Delta :\left\{ \begin{align} & x=1-t \\ & y=2+2t \\ & z=3+4t \\ \end{align} \right.,\left( t\in \mathbb{R} \right)$

+) Phương trình chính tắc của đường thẳng $\Delta $ qua $A\left( 1;2;3 \right)$ và có véctơ chỉ phương $\overrightarrow{u}=\left( -1;2;4 \right)$ có dạng

$\displaystyle \Delta :\frac{x-1}{-1}=\frac{y-2}{2}=\frac{z-3}{4}$

Ví dụ 2. Viết phương trình chính tắc của đường thẳng đi qua $A\left( 1;4;3 \right)$ và $B\left( 2;3;5 \right)$

Đường thẳng $\Delta $ qua đi qua hai điểm $A\left( 1;4;3 \right)$ và $B\left( 2;3;5 \right)$ có véctơ chỉ phương là $\overrightarrow{AB}=\left( 1;-1;2 \right)$

Phương trình chính tắc của đường thẳng $\Delta $ qua $A\left( 1;4;3 \right)$ và có véctơ chỉ phương $\overrightarrow{AB}=\left( 1;-1;2 \right)$

$\displaystyle \Delta :\frac{x-1}{1}=\frac{y-4}{-1}=\frac{z-3}{2}$

Ví dụ 3. Viết phương trình tham số của đường thẳng đi qua $A\left( 1;4;2 \right)$ và vuông góc với mặt phẳng $\left( \alpha \right):2x-3y+z-2=0$

$\left( \alpha \right):2x-3y+z-2=0$ có véctơ pháp tuyến $\overrightarrow{{{n}_{\alpha }}}=\left( 2;-3;1 \right)$

Đường thẳng $\Delta $ vuông góc với $\left( \alpha \right)$ nên có véctơ chỉ phương $\overrightarrow{{{u}_{\Delta }}}=\overrightarrow{{{n}_{\alpha }}}=\left( 2;-3;1 \right)$

Phương trình tham số của đường thẳng $\Delta $ qua $A\left( 1;4;2 \right)$ và có véctơ chỉ phương $\overrightarrow{{{u}_{\Delta }}}=\left( 2;-3;1 \right)$ là

$\Delta :\left\{ \begin{align} & x=1+2t \\ & y=4-3t \\ & z=2+t \\ \end{align} \right.,\left( t\in \mathbb{R} \right)$

Ví dụ 4. Cho $A\left( 1;-2;-3 \right)$, $B\left( -1;4;1 \right)$ và đường thẳng $\displaystyle d:\frac{x+2}{1}=\frac{y-2}{-1}=\frac{z+3}{2}$. Viết phương trình tham số của đường thẳng đi qua trung điểm của $AB$ và song song với $d$

Gọi $M$ là trung điểm của $AB$, suy ra $M\left( 0;1;-1 \right)$

Đường thẳng $\Delta $ song song với $d$ nên có véctơ chỉ phương $\overrightarrow{u}=\left( 1;-1;2 \right)$

Phương trình tham số của đường thẳng $\Delta $

$\Delta :\left\{ \begin{align} & x=t \\ & y=1-t \\ & z=-1+2t \\\end{align} \right.,\left( t\in \mathbb{R} \right)$

Ví dụ 5. Cho $M\left( -1;1;3 \right)$ và hai đường thẳng $\displaystyle {{d}_{1}}:\frac{x-1}{3}=\frac{y+3}{2}=\frac{z-1}{1}$, $\displaystyle {{d}_{2}}:\frac{x+1}{1}=\frac{y}{3}=\frac{z}{-2}$. Viết phương trình tham số của đường thẳng qua $M$ đồng thời vuông góc với ${{d}_{1}},{{d}_{2}}$

+) ${{d}_{1}}$ có véctơ chỉ phương $\overrightarrow{{{u}_{1}}}=\left( 3;2;1 \right)$

+) ${{d}_{2}}$ có véctơ chỉ phương $\overrightarrow{{{u}_{1}}}=\left( 1;3;-2 \right)$

Đường thẳng $\Delta $ vuông góc với ${{d}_{1}},{{d}_{2}}$ nên có véctơ chỉ phương $\overrightarrow{{{u}_{d}}}=\left[ \overrightarrow{{{u}_{1}}};\overrightarrow{{{u}_{2}}} \right]=\left( -7;7;7 \right)$

Hay ta có thể chọn $\overrightarrow{{{u}_{d}}}=\left( -1;1;1 \right)$

Khi đó phương trình của đường thẳng $\Delta $ đi qua $M\left( -1;1;3 \right)$ đồng thời vuông góc với $d_1,d_2$

$\Delta :\left\{ \begin{align} & x=-1-t \\ & y=1+t \\ & z=3+t \\ \end{align} \right.,\left( t\in \mathbb{R} \right)$

Ví dụ 6. Cho đường thẳng $\displaystyle d:\frac{x+1}{1}=\frac{y-1}{1}=\frac{z-2}{3}$ và mặt phẳng $\left( \alpha \right):x-y-z-1=0$. Viết phương trình tham số của đường thẳng đi qua điểm $M\left( 1;1;-2 \right)$, song song với $\left( \alpha \right)$ và vuông góc với $d$

$\left( \alpha \right)$ có véctơ pháp tuyến $\overrightarrow{{{n}_{\alpha }}}=\left( 1;-1;-1 \right)$

$d$ có véctơ chỉ phương $\overrightarrow{{{u}_{d}}}=\left( 2;1;3 \right)$

Đường thẳng $\Delta $ song song với $\left( \alpha \right)$ và vuông góc với $d$ nên có véctơ chỉ phương $\overrightarrow{{{n}_{\Delta }}}=\left[ \overrightarrow{{{n}_{\alpha }}};\overrightarrow{{{u}_{d}}} \right]=\left( -2;-5;3 \right)$

Phương trình tham số của đường thẳng $\Delta $ qua $M\left( 1;1;-2 \right)$, song song với $\left( \alpha \right)$ và vuông góc với $d$

$\Delta :\left\{ \begin{align} & x=1-2t \\ & y=1-5t \\ & z=-2+3t \\ \end{align} \right.,\left( t\in \mathbb{R} \right)$

Ví dụ 7. Viết phương trình giao tuyến của hai mặt phẳng $\left( \alpha \right):6x+2y+2z+3=0$ và $\left( \beta \right):3x-5y-2z-1=0$

Gọi $\Delta $ là giao tuyến của $\left( \alpha \right)$ và $\left( \beta \right)$

Cho $z=0$, khi đó ta có hệ phương trình

$\left\{ \begin{align} & 6x+2y+3=0 \\ & 3x-5y-1=0 \\ \end{align} \right.$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{align} & x=-\frac{13}{36} \\ & y=-\frac{5}{12} \\ \end{align} \right.$

Suy ra $M\left( -\frac{13}{36};-\frac{5}{12};0 \right)\in \Delta $, do toạ độ của $M$ đều thoả $\left( \alpha \right)$ và $\left( \beta \right)$

+) Nhận xét, véctơ chỉ phương của giao tuyến $\Delta $ là tích có hương của hai véctơ phảp tuyến của hai mặt phẳng $\left( \alpha \right)$ và $\left( \beta \right)$

$\left( \alpha \right)$ có véctơ pháp tuyến $\overrightarrow{{{n}_{\alpha }}}=\left( 6;2;2 \right)$ hay ta chọn $\overrightarrow{{{n}_{\alpha }}}=\left( 3;1;1 \right)$

$\left( \beta \right)$ có véctơ pháp tuyến $\overrightarrow{{{n}_{\beta }}}=\left( 3;-5;-2 \right)$

Khi đó véctơ chỉ phương của $\Delta $: $\overrightarrow{{{n}_{\Delta }}}=\left[ \overrightarrow{{{n}_{\alpha }}};\overrightarrow{{{n}_{\beta }}} \right]=\left( 3;9;-18 \right)$

Hay ta có thể chọn $\overrightarrow{{{n}_{\Delta }}}=\left( 1;3;-6 \right)$

Phương trình tham số của giao tuyến $\Delta $ là

$\Delta :\left\{ \begin{align} & x=-\frac{13}{36}+t \\ & y=-\frac{5}{12}+3t \\ & z=-6t \\ \end{align} \right.,\left( t\in \mathbb{R} \right)$

Ví dụ 8. Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm $A\left( 1;2;-1 \right)$ và song song với giao tuyến của hai mặt phẳng $\left( \alpha \right):x+y-z+3=0$ và $\left( \beta \right):2x-y+5z-4=0$

+) Véctơ pháp tuyến của $\left( \alpha \right)$: $\overrightarrow{{{n}_{\alpha }}}=\left( 1;1;-1 \right)$

+) Véctơ pháp tuyến của $\left( \beta \right)$: $\overrightarrow{{{n}_{\beta }}}=\left( 2;-1;5 \right)$

Vì $\Delta $ song song với giao tuyến của $\left( \alpha \right)$ và $\left( \beta \right)$ nên có véctơ pháp tuyến $\overrightarrow{{{n}_{\Delta }}}=\left[ \overrightarrow{{{n}_{\alpha }}};\overrightarrow{{{n}_{\beta }}} \right]=\left( 4;-7;3 \right)$

Khi đó $\Delta :\left\{ \begin{align} & x=1+4t \\ & y=2-7t \\ & z=-1-3t \\ \end{align} \right.$

Ví dụ 9. Trong không gian $Oxyz$. Viết phương trình đường thẳng đi qua $A\left( 1;0;-3 \right)$ và song song với hai mặt phẳng $\left( Oxy \right)$ và $\left( Oxz \right)$

+) $\left( Oxy \right):z=0$ có VTPT $\overrightarrow{{{n}_{1}}}=\left( 0;0;1 \right)$

+) $\left( Oxz \right):y=0$ có VTPT $\overrightarrow{{{n}_{2}}}=\left( 0;1;0 \right)$

Vì $\Delta $ song song $\left( Oxy \right)$ và $\left( Oxz \right)$ nên có VTPT $\overrightarrow{{{n}_{\Delta }}}=\left[ \overrightarrow{{{n}_{1}}};\overrightarrow{{{n}_{2}}} \right]=\left( -1;0;0 \right)$

Khi đó $\Delta :\left\{ \begin{align} & x=1-t \\ & y=0 \\ & z=-3 \\ \end{align} \right.$

Ví dụ 10. Trong không gian $Oxyz$, cho mặt phẳng $\left( P \right):x+y+z-3=0$ và đường thẳng $\displaystyle d:\frac{x}{1}=\frac{y+1}{2}=\frac{z-2}{-1}$. Viết phương trình hình chiếu vuông góc ${d}'$ của $d$ lên $\left( P \right)$ .

Tham số $d:\left\{ \begin{align} & x=t \\ & y=-1+2t \\ & z=2-t \\ \end{align} \right.$

Gọi $M=d\cap \left( P \right)$. Khi đó $M\left( t;-1+2t;2-t \right)$

Suy ra: $t+\left( -1+2t \right)+\left( 2-t \right)=0\Leftrightarrow t=1$

Suy ra: $M\left( 1;1;1 \right)$

Gọi $\left( Q \right)$ là mặt phẳng chứa $d$ và vuông góc với $\left( P \right)$. Khi đó, hình chiếu vuông góc ${d}'$ của $d$ lên $\left( P \right)$ chính là giao tuyến của $\left( P \right)$ và $\left( Q \right)$, hay ${d}'=\left( P \right)\cap \left( Q \right)$.

Suy ra $\overrightarrow{{{u}_{{{d}'}}}}=\left[ \overrightarrow{{{n}_{P}}};\overrightarrow{{{n}_{Q}}} \right]$, trong đó $\overrightarrow{{{n}_{Q}}}=\left[ \overrightarrow{{{n}_{P}}};\overrightarrow{{{u}_{d}}} \right]$, với $\overrightarrow{{{n}_{P}}}=\left( 1;1;1 \right)$ và $\overrightarrow{{{u}_{d}}}=\left( 1;2;-1 \right)$

Ta tính $\overrightarrow{{{n}_{Q}}}=\left[ \overrightarrow{{{n}_{P}}};\overrightarrow{{{u}_{d}}} \right]=\left( -3;2;1 \right)$

Ta tính $\overrightarrow{{{u}_{{{d}'}}}}=\left[ \overrightarrow{{{n}_{P}}};\overrightarrow{{{n}_{Q}}} \right]=\left( -1;-4;5 \right)$

Khi đó ${d}'$ qua $M\left( 1;1;1 \right)$ và có VTCP $\overrightarrow{{{u}_{{{d}'}}}}=\left( -1;-4;5 \right)$

Suy ra $\displaystyle {d}':\frac{x-1}{-1}=\frac{y-1}{-4}=\frac{z-1}{5}$

Nhận xét. Xác định nhanh phương trình hình chiếu vuông góc của đường thẳng lên mặt phẳng

Bước 1. Tìm giao điểm chung

Bước 2. Xác định VTCP của hình chiếu theo công thức: $\overrightarrow{{{u}_{{{d}'}}}}=\left[ \overrightarrow{{{n}_{P}}};\left[ \overrightarrow{{{n}_{P}}};\overrightarrow{{{u}_{d}}} \right] \right]$