CÔNG THỨC TÍNH GÓC TRONG KHÔNG GIAN

GÓC GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG

Trong không gian $Oxyz$, cho $\Delta $ có $\vec{u}=\left( a;b;c \right)$ và ${\Delta }'$ có ${\vec{u}}'=\left( {a}';{b}';{c}' \right)$. Khi đó

$\cos \left( \Delta ,{\Delta }' \right)=\left| \cos \left( \vec{u},{\vec{u}}' \right) \right|=\frac{\left| a{a}'+b{b}'+c{c}' \right|}{\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}}\sqrt{{{{{a}'}}^{2}}+{{{{b}'}}^{2}}+{{{{c}'}}^{2}}}}$

Ví dụ 1. Trong không gian $Oxyz$, tính góc giữa hai đường thẳng $\Delta :\left\{ \begin{align} & 1+t \\ & -1+t \\ & z=3 \\ \end{align} \right.$ và ${\Delta }':\frac{x-1}{2}=\frac{y+2}{2}=\frac{z-4}{1}$. Tính góc giữa $\Delta $ và ${\Delta }'$.

Giải

+) $\Delta $ có $\vec{u}=\left( 1;1;0 \right)$ và ${\Delta }'$ có ${\vec{u}}'=\left( 2;2;1 \right)$. Khi đó

$\cos \left( \Delta ,{\Delta }' \right)=\left| \cos \left( \vec{u},{\vec{u}}' \right) \right|=\frac{\left| 1.2+1.2+0.1 \right|}{\sqrt{{{1}^{2}}+{{1}^{2}}+{{0}^{2}}}\sqrt{{{2}^{2}}+{{2}^{2}}+{{1}^{2}}}}=\frac{2\sqrt{2}}{3}$

Vậy $\left( \Delta ,{\Delta }' \right)\approx 19,5{}^\circ $.

GÓC GIỮA ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG

Trong không gian $Oxyz$, cho đường thẳng $\Delta $ có vecto chỉ phương $\vec{u}=\left( a;b;c \right)$ và mặt phẳng $\left( P \right)$ có vecto pháp truyến $\vec{n}=\left( A;B;C \right)$. Khi đó

$\sin \left( \Delta ,\left( P \right) \right)=\left| \cos \left( \vec{u},\vec{n} \right) \right|=\frac{\left| aA+bB+cC \right|}{\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}}\sqrt{{{A}^{2}}+{{B}^{2}}+{{C}^{2}}}}$

Ví dụ 2. Trong không gian $Oxyz$, tính góc tạo bởi trục $Ox$ và mặt phẳng $\left( P \right):\sqrt{2}x-y+z+2=0$.

Giải

Trục $Ox$ có vecto chỉ phương là $\vec{i}=\left( 1;0;0 \right)$ và $\left( P \right)$ có vecto pháp tuyến là $\vec{n}=\left( \sqrt{2};-1;1 \right)$. Khi đó

$\sin \left( Ox,\left( P \right) \right)=\frac{\left| 1.\sqrt{2}+0.\left( -1 \right)+0.1 \right|}{\sqrt{{{1}^{2}}+{{0}^{2}}+{{0}^{2}}}\cdot \sqrt{{{\left( \sqrt{2} \right)}^{2}}+{{\left( -1 \right)}^{2}}+{{1}^{2}}}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$

$\Rightarrow \left( Ox,\left( P \right) \right)=45{}^\circ $.

GÓC GIỮA HAI MẶT PHẲNG

Trong không gian $Oxyz$, cho mặt phẳng $\left( P \right)$ có vecto pháp tuyến ${{\vec{n}}_{P}}=\left( A;B;C \right)$ và $\left( Q \right)$ có vecto pháp tuyến là ${{\vec{n}}_{Q}}=\left( {A}';{B}';{C}' \right)$. Khi đó

$\cos \left( \left( P \right),\left( Q \right) \right)=\left| \cos \left( {{{\vec{n}}}_{P}},{{{\vec{n}}}_{Q}} \right) \right|=\frac{\left| A{A}'+B{B}'+C{C}' \right|}{\sqrt{{{A}^{2}}+{{B}^{2}}+{{C}^{2}}}\sqrt{{{{{A}'}}^{2}}+{{{{B}'}}^{2}}+{{{{C}'}}^{2}}}}$

Ví dụ 3. Trong không gian $Oxyz$, tính góc giữa hai mặt phẳng $\left( P \right):x+2y+2z-1=0$ và $\left( Q \right):x+y-z+1=0$.

Giải

$\left( P \right):x+2y+2z-1=0$ có vecto pháp tuyến ${{\vec{n}}_{P}}=\left( 1;2;2 \right)$

$\left( Q \right):x+y-z+1=0$ có vecto pháp tuyến ${{\vec{n}}_{Q}}=\left( 1;1;-1 \right)$

Khi đó $\cos \left( \left( P \right),\left( Q \right) \right)=\left| \cos \left( {{{\vec{n}}}_{P}},{{{\vec{n}}}_{Q}} \right) \right|=\frac{\left| 1.1+2.1+2.\left( -1 \right) \right|}{\sqrt{{{1}^{2}}+{{2}^{2}}+{{2}^{2}}}\sqrt{{{1}^{2}}+{{1}^{2}}+{{\left( -1 \right)}^{2}}}}=\frac{\sqrt{3}}{9}$

$\Rightarrow \left( \left( P \right),\left( Q \right) \right)\approx 78,9{}^\circ $.

LUYỆN TẬP

Câu 1. Trong không gian $Oxyz$, tính góc giữa trục $Oz$ vfa đường thẳng $\Delta :\frac{x-3}{1}=\frac{y+1}{2}=\frac{z-1}{-2}$.

Câu 2. Trong không gian $Oxyz$, tính góc giữa hai đường thẳng ${{\Delta }_{1}}:\left\{ \begin{align} & x=1+2t \\ & y=1-t \\ & z=2+3t \\ \end{align} \right.$ và ${{\Delta }_{2}}:\frac{x-2}{-1}=\frac{x+1}{1}=\frac{z-2}{2}$

Câu 3. Trong không gian $Oxyz$, tính góc giữa đường thẳng $\Delta $ và mặt phẳng $\left( P \right)$, biết $\Delta :\frac{x+2}{-1}=\frac{y-4}{2}=\frac{z+1}{1}$ và $\left( P \right) :x-y+z-1=0$.

Câu 4. Trong không gian $Oxyz$, tính góc giữa trục $Oz$ và mặt phẳng $\left( P \right):x+2y-z-1=0$.

Câu 5. Tính góc giữa đường thẳng $\Delta :\frac{x+1}{-1}=\frac{y-3}{2}=\frac{z+2}{3}$ và mặt phẳng $\left( P \right):x+y+z+3=0$.

Câu 6. Trong không gian $Oxyz$, tính góc giữa hai mặt phẳng $\left( P \right):x-\sqrt{2}y+z-2=0$ và $\left( Oxz \right)$.

Câu 7. Cho $A\left( 0;0;4 \right)$, $B\left( 0;-3;0 \right)$, $C\left( 0;3;0 \right)$, $D\left( 3;0;0 \right)$. Tính góc giữa hai mặt phẳng $\left( ABD \right)$ và $\left( ACD \right)$.

Câu 8. Kim tự tháp Kheops ở Ai Cập có dạng hình chóp $S.ABCD$, có đáy là hình vuông với cạnh dài $230~m$, các cạnh bên bằng nhau và dài $219~m$ (theo britannica.com). Tính góc giữa hai mặt phẳng $\left( SAB \right)$ và $\left( SBC \right)$.