CÔNG THỨC TÍNH GÓC TRONG KHÔNG GIAN

GÓC GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG

Trong không gian $Oxyz$, cho $\mathrm{\Delta }$ có $\overrightarrow{u}=(a;b;c)$ và ${\mathrm{\Delta }}^{\prime }$ có ${\overrightarrow{u}}^{\prime }=(a^{\prime };b^{\prime };c^{\prime })$. Khi đó

$\cos (\mathrm{\Delta },{\mathrm{\Delta }}^{\prime })=|\cos (\overrightarrow{u},{\overrightarrow{u}}^{\prime })|=\frac{|a{a}^{\prime }+b{b}^{\prime }+c{c}^{\prime }|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}\sqrt{{a^{\prime }}^2+{b^{\prime }}^2+{c^{\prime }}^2}}$

Ví dụ 1. Trong không gian $Oxyz$, tính góc giữa hai đường thẳng $\mathrm{\Delta }:\{\begin{array}{rl}& 1+t\\ & -1+t\\ & z=3\end{array}$ và ${\mathrm{\Delta }}^{\prime }:\frac{x-1}{2}=\frac{y+2}{2}=\frac{z-4}{1}$. Tính góc giữa $\mathrm{\Delta }$ và ${\mathrm{\Delta }}^{\prime }$.

Giải

+) $\mathrm{\Delta }$ có $\overrightarrow{u}=(1;1;0)$ và ${\mathrm{\Delta }}^{\prime }$ có ${\overrightarrow{u}}^{\prime }=(2;2;1)$. Khi đó

$\cos (\mathrm{\Delta },{\mathrm{\Delta }}^{\prime })=|\cos (\overrightarrow{u},{\overrightarrow{u}}^{\prime })|=\frac{|1.2+1.2+0.1|}{\sqrt{1^2+1^2+0^2}\sqrt{2^2+2^2+1^2}}=\frac{2\sqrt{2}}{3}$

Vậy $(\mathrm{\Delta },{\mathrm{\Delta }}^{\prime })\approx 19,5{}^{\circ }$.

GÓC GIỮA ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG

Trong không gian $Oxyz$, cho đường thẳng $\mathrm{\Delta }$ có vecto chỉ phương $\overrightarrow{u}=(a;b;c)$ và mặt phẳng $\left(P\right)$ có vecto pháp truyến $\overrightarrow{n}=(A;B;C)$. Khi đó

$\sin (\mathrm{\Delta },\left(P\right))=|\cos (\overrightarrow{u},\overrightarrow{n})|=\frac{|aA+bB+cC|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}\sqrt{A^2+B^2+C^2}}$

Ví dụ 2. Trong không gian $Oxyz$, tính góc tạo bởi trục $Ox$ và mặt phẳng $\left(P\right):\sqrt{2}x-y+z+2=0$.

Giải

Trục $Ox$ có vecto chỉ phương là $\overrightarrow{i}=(1;0;0)$ và $\left(P\right)$ có vecto pháp tuyến là $\overrightarrow{n}=(\sqrt{2};-1;1)$. Khi đó

$\sin (Ox,\left(P\right))=\frac{|1.\sqrt{2}+0.(-1)+0.1|}{\sqrt{1^2+0^2+0^2}\cdot \sqrt{{\left(\sqrt{2}\right)}^2+{(-1)}^2+1^2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$

$\Rightarrow (Ox,\left(P\right))=45{}^{\circ }$.

GÓC GIỮA HAI MẶT PHẲNG

Trong không gian $Oxyz$, cho mặt phẳng $\left(P\right)$ có vecto pháp tuyến ${\overrightarrow{n}}_P=(A;B;C)$ và $\left(Q\right)$ có vecto pháp tuyến là ${\overrightarrow{n}}_Q=(A^{\prime };B^{\prime };C^{\prime })$. Khi đó

$\cos (\left(P\right),\left(Q\right))=|\cos ({\overrightarrow{n}}_P,{\overrightarrow{n}}_Q)|=\frac{|A{A}^{\prime }+B{B}^{\prime }+C{C}^{\prime }|}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}\sqrt{{A^{\prime }}^2+{B^{\prime }}^2+{C^{\prime }}^2}}$

Ví dụ 3. Trong không gian $Oxyz$, tính góc giữa hai mặt phẳng $\left(P\right):x+2y+2z-1=0$ và $\left(Q\right):x+y-z+1=0$.

Giải

$\left(P\right):x+2y+2z-1=0$ có vecto pháp tuyến ${\overrightarrow{n}}_P=(1;2;2)$

$\left(Q\right):x+y-z+1=0$ có vecto pháp tuyến ${\overrightarrow{n}}_Q=(1;1;-1)$

Khi đó $\cos (\left(P\right),\left(Q\right))=|\cos ({\overrightarrow{n}}_P,{\overrightarrow{n}}_Q)|=\frac{|1.1+2.1+2.(-1)|}{\sqrt{1^2+2^2+2^2}\sqrt{1^2+1^2+{(-1)}^2}}=\frac{\sqrt{3}}{9}$

$\Rightarrow (\left(P\right),\left(Q\right))\approx 78,9{}^{\circ }$.

LUYỆN TẬP

Câu 1. Trong không gian $Oxyz$, tính góc giữa trục $Oz$ vfa đường thẳng $\mathrm{\Delta }:\frac{x-3}{1}=\frac{y+1}{2}=\frac{z-1}{-2}$.

Câu 2. Trong không gian $Oxyz$, tính góc giữa hai đường thẳng ${\mathrm{\Delta }}_1:\{\begin{array}{rl}& x=1+2t\\ & y=1-t\\ & z=2+3t\end{array}$ và ${\mathrm{\Delta }}_2:\frac{x-2}{-1}=\frac{x+1}{1}=\frac{z-2}{2}$

Câu 3. Trong không gian $Oxyz$, tính góc giữa đường thẳng $\mathrm{\Delta }$ và mặt phẳng $\left(P\right)$, biết $\mathrm{\Delta }:\frac{x+2}{-1}=\frac{y-4}{2}=\frac{z+1}{1}$ và $\left(P\right):x-y+z-1=0$.

Câu 4. Trong không gian $Oxyz$, tính góc giữa trục $Oz$ và mặt phẳng $\left(P\right):x+2y-z-1=0$.

Câu 5. Tính góc giữa đường thẳng $\mathrm{\Delta }:\frac{x+1}{-1}=\frac{y-3}{2}=\frac{z+2}{3}$ và mặt phẳng $\left(P\right):x+y+z+3=0$.

Câu 6. Trong không gian $Oxyz$, tính góc giữa hai mặt phẳng $\left(P\right):x-\sqrt{2}y+z-2=0$ và $\left(Oxz\right)$.

Câu 7. Cho $A(0;0;4)$, $B(0;-3;0)$, $C(0;3;0)$, $D(3;0;0)$. Tính góc giữa hai mặt phẳng $\left(ABD\right)$ và $\left(ACD\right)$.

Câu 8. Kim tự tháp Kheops ở Ai Cập có dạng hình chóp $S.ABCD$, có đáy là hình vuông với cạnh dài $230m$, các cạnh bên bằng nhau và dài $219m$ (theo britannica.com). Tính góc giữa hai mặt phẳng $\left(SAB\right)$ và $\left(SBC\right)$.