© Được viết bởi CaolacVC. Blog https://caolacvc.blogspot.com

HÀM SỐ MŨ VÀ HÀM SỐ LOGARIT

MỞ ĐẦU VỀ HÀM SỐ MŨ VÀ HÀM SỐ LOGARIT

Trong thực tế cuộc sống thì hàm mũ và hàm số logarit cũng có một số ứng dụng rất cần thiết.

Hàm mũ: Hàm mũ xuất hiện trong nhiều lĩnh vực, chẳng hạn như mô hình tăng trưởng dân số, quá trình phân rã phóng xạ (dùng để đo niên đại của các hoá thạch chẳng hạn), tính toán lãi suất kép trong tài chính, v.v...

Hàm logarit: Hàm logarit được sử dụng để giải các phương trình mũ, trong các bài toán về âm thanh, ánh sáng (mức độ cường độ âm thanh hoặc ánh sáng thường được đo bằng logarit), và trong các mô hình phân tích dữ liệu có sự thay đổi theo cấp số nhân.

---

HÀM SỐ MŨ

Cho $a$ số thực dương khác $1$. Hàm số $y={{a}^{x}}$ được gọi là hàm số mũ cơ số $a$

KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ MŨ

+) Dạng: $y={{a}^{x}},~\left( a>0,a\ne 1 \right)$

+) Tập xác định: $D=\mathbb{R}$

+) Tập giá trị: $T=\left( 0;+\infty  \right)$

+) Chiều biến thiên:

• $a>1$ hàm số luôn đồng biến.
• $0\lt a\lt 1$ hàm số luôn nghịch biến.

+) Dáng đồ thị: Đồ thị của hàm số mũ luôn luôn đi qua các điểm $\left( 0;1 \right)$, $\left( 1;a \right)$ và đồ thị luôn nằm phía trên trục hoành

(Đồ thị minh họa)

HÀM SỐ LOGARIT

Cho $a$ số thực dương khác $1$. Hàm số $y={{\log }_{a}}x$ được gọi là hàm số logarit cơ số $a$

KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ LOGARIT

+) Dạng. $y={{\log }_{a}}x,~(a>0,a\ne 1)$

+) Tập xác định: $D=\left( 0;+\infty  \right)$

+) Tập giá trị: $T=\mathbb{R}$

+) Chiều biến thiên:

• $a>1$ hàm số luôn đồng biến
• $0\lt a\lt 1$ hàm số luôn nghịch biến

+) Dáng đồ thị: Đồ thị của hàm số logarit luôn luôn đi qua các điểm $(1;0)$, $(a;1)$ và đồ thị luôn nằm phía bên phải trục tung

(Đồ thị minh họa)

---

MỘT SỐ DẠNG BÀI TẬP VỀ HÀM SỐ MŨ, HÀM SỐ LOGARIT CÓ LỜI GIẢI CHI TIẾT

Câu hỏi: Trong các hàm số sau, những hàm số nào là hàm số mũ? Khi đó hãy chỉ ra cơ số.

a) $y = (\sqrt{2})^x$;          b) $y = 2^{-x}$;

c) $y = 8^{\frac{x}{3}}$;              d) $y = x^{-2}$.

Lời giải:

Hàm số mũ là hàm số có dạng $y = a^x$ với cơ số $a > 0$ và $a \neq 1$.

a) $y = (\sqrt{2})^x$

Hàm số có dạng $a^x$ với $a = \sqrt{2}$.

Vì $\sqrt{2} > 0$ và $\sqrt{2} \neq 1$ nên đây là hàm số mũ với cơ số $a = \sqrt{2}$.

---

b) $y = 2^{-x}$

Ta biến đổi: $y = (2^{-1})^x = \left(\dfrac{1}{2}\right)^x$.

Hàm số có dạng $a^x$ với $a = \dfrac{1}{2}$.

Vì $\dfrac{1}{2} > 0$ và $\dfrac{1}{2} \neq 1$ nên đây là hàm số mũ với cơ số $a = \dfrac{1}{2}$ (hoặc $0{,}5$).

---

c) $y = 8^{\frac{x}{3}}$

Ta biến đổi: $y = 8^{\frac{1}{3} \cdot x} = \left(8^{\frac{1}{3}}\right)^x = (\sqrt[3]{8})^x = 2^x$.

Vì $2 > 0$ và $2 \neq 1$ nên đây là hàm số mũ với cơ số $a = 2$.

---

d) $y = x^{-2}$

Hàm số này có biến số $x$ ở cơ số và số mũ là hằng số ($-2$).

Đây là hàm số lũy thừa, không phải là hàm số mũ.

Kết luận: Các hàm số mũ là a), b) và c).

Câu hỏi: Trong các hàm số sau, những hàm số nào là hàm số lôgarit? Khi đó hãy chỉ ra cơ số.

a) $y = \log_{\sqrt{3}} x$;          b) $y = \log_{2^{-2}} x$;

c) $y = \log_x 2$;              d) $y = \log_{\frac{1}{x}} 5$.

Lời giải:

Hàm số lôgarit là hàm số có dạng $y = \log_a x$, trong đó cơ số $a$ là một hằng số thỏa mãn $a > 0$ và $a \neq 1$.

a) $y = \log_{\sqrt{3}} x$

Hàm số có dạng $\log_a x$ với cơ số $a = \sqrt{3}$.

Vì $\sqrt{3} > 0$ và $\sqrt{3} \neq 1$ nên đây là hàm số lôgarit với cơ số $a = \sqrt{3}$.

---

b) $y = \log_{2^{-2}} x$

Ta có cơ số $a = 2^{-2} = \dfrac{1}{2^2} = \dfrac{1}{4}$.

Vì $\dfrac{1}{4} > 0$ và $\dfrac{1}{4} \neq 1$ nên đây là hàm số lôgarit với cơ số $a = \dfrac{1}{4}$ (hoặc $0{,}25$).

---

c) $y = \log_x 2$

Ở đây, cơ số là biến số $x$, không phải là hằng số.

Do đó, đây không phải là hàm số lôgarit theo định nghĩa.

---

d) $y = \log_{\frac{1}{x}} 5$

Tương tự câu c, cơ số là biểu thức chứa biến $\dfrac{1}{x}$.

Do đó, đây không phải là hàm số lôgarit.

Kết luận: Các hàm số lôgarit là a) và b).

TÌM TẬP XÁC ĐỊNH CỦA HÀM SỐ DẠNG $y=f(x)^{\alpha}$

Ghi nhớ:

+) Mũ nguyên dương $\xrightarrow{{}}$ cơ số thuộc $\mathbb{R}$ (không cần điều kiện)

+) Mũ bằng $0$ hoặc mũ nguyên âm $\xrightarrow{{}}$ cơ số khác $0$

+) Mũ không nguyên (mũ hữu tỉ hoặc mũ thực) $\xrightarrow{{}}$ cơ số lớn hơn $0$

Ví dụ 1. Tìm tập xác định của hàm số

a) $y={{\left( {{x}^{2}}+2x-3 \right)}^{-\frac{2}{3}}}$

b) $y={{\left( {{x}^{2}}-x-2 \right)}^{-3}}$

c) $y={{\left( 2x-1 \right)}^{\sqrt{2}}}$

a) Hàm số $y={{\left( {{x}^{2}}+2x-3 \right)}^{-\frac{2}{3}}}$ có mũ là $-\frac{2}{3}$ không nguyên nên cơ số có điều kiện:

${{x}^{2}}+2x-3\gt 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{align} & x\lt -3 \\ & x\gt 1 \\ \end{align} \right.$

Vậy tập xác định $D=\left( -\infty ;-3 \right)\cup \left( 1;+\infty  \right)$

---

b) Hàm số $y={{\left( {{x}^{2}}-x-2 \right)}^{-3}}$ có mũ là $-3$ là một số nguyên âm nên cơ số có điều kiện:

${{x}^{2}}-x-2\ne 0 \Leftrightarrow \left\{ \begin{align} & x\ne -1 \\ & x\ne 2 \\ \end{align} \right.$

Vậy tập xác định $D=\mathbb{R}\backslash \left\{ -1;2 \right\}$

---

c) Hàm số $y={{\left( 2x-1 \right)}^{\sqrt{2}}}$ có mũ là $\sqrt{2}$ không nguyên nên cơ số có điều kiện $2x-1\gt 0 \Leftrightarrow x\gt \frac{1}{2}$

Vậy tập xác định $D=\left( \frac{1}{2};+\infty  \right)$

👉 XEM THÊM BÀI TẬP TÌM TẬP XÁC ĐỊNH CỦA HÀM SỐ DẠNG $y=f(x)^{\alpha}$

Ví dụ 2. Tìm tập xác định của hàm số

a) $y={{\log }_{2}}\left( 2x-{{x}^{2}} \right)$

b) $y={{\log }_{2}}\left( {{x}^{2}}-2x-3 \right)$

c) $y={{\log }_{2}}\left( {{\log }_{4}}\left( 2-x \right) \right).$

a) Hàm số $y={{\log }_{2}}\left( 2x-{{x}^{2}} \right)$ có điều kiện $2x-{{x}^{2}}\gt 0 \Leftrightarrow 0\lt x\lt 2$

Vậy tập xác định của hàm số $D=\left( 0;2 \right)$

---

b) Hàm số $y={{\log }_{2}}\left( {{x}^{2}}-2x-3 \right)$ có điều kiện ${{x}^{2}}-2x-3\gt 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{align} & x\lt -1 \\ & x\gt 3 \\ \end{align} \right.$

Vậy tập xác định của hàm số $D=\left( -\infty ;-1 \right)\cup \left( 3;+\infty  \right)$

---

c) Hàm số $y={{\log }_{2}}\left( {{\log }_{4}}\left( 2-x \right) \right)$ có điều kiện:

$\left\{ \begin{align} & 2-x\gt 0 \\ & {{\log }_{4}}\left( 2-x \right)\gt 0 \\ \end{align} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{align} & x\lt 2 \\ & 2-x\gt {{4}^{0}}=1 \\ \end{align} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{align} & x\lt 2 \\ & x\lt 1 \\ \end{align} \right. \Leftrightarrow x\lt 1$

Vậy tập xác định của hàm số $D=\left( -\infty ;1 \right)$

DẠNG TÍNH TỔNG

Ví dụ 3. Cho hàm số $f\left( x \right)=\frac{{{4}^{x}}}{{{4}^{x}}+2}$. Tính tổng $T=f\left( \frac{1}{2025} \right)+f\left( \frac{2}{2025} \right)+\cdots +f\left( \frac{2024}{2025} \right)$

Đối với hàm số dạng $f\left( x \right)=\frac{{{c}^{x}}}{{{c}^{x}}+\sqrt{c}}$ nếu $a+b=1 \Rightarrow f\left( a \right)+f\left( b \right)=1$.

👉 XEM CHỨNG MINH TẠI ĐÂY

Dễ thấy:

$\frac{1}{2025}+\frac{2024}{2025}=1 \Rightarrow f\left( \frac{1}{2025} \right)+f\left( \frac{2024}{2025} \right)=1$

$\frac{2}{2025}+\frac{2023}{2025}=1 \Rightarrow f\left( \frac{2}{2025} \right)+f\left( \frac{2023}{2025} \right)=1$

$\frac{3}{2025}+\frac{2022}{2025}=1 \Rightarrow f\left( \frac{3}{2025} \right)+f\left( \frac{2022}{2025} \right)=1$

Cứ thế tiếp tục như vậy. Ta dễ thấy có tất cả $1012$ cặp, cộng vế theo vế ta suy ra:

$T=f\left( \frac{1}{2025} \right)+f\left( \frac{2}{2025} \right)+\cdots +f\left( \frac{2024}{2025} \right) = 1012$

👉 XEM THÊM BÀI TOÁN TÍNH TỔNG ĐẶC THÙ CỦA HÀM SỐ MŨ

---

GIẢI CHI TIẾT BÀI TẬP SGK KẾT NỐI TRI THỨC

Bài 6.17 trang 19: Tìm tập xác định của các hàm số sau:

a) $y = \log|x + 3|$;          b) $y = \ln(4 - x^2)$.

Lời giải:

a) Hàm số $y = \log|x + 3|$ xác định khi và chỉ khi biểu thức dưới dấu lôgarit dương:

$$|x + 3| > 0$$

Ta biết rằng giá trị tuyệt đối của một số thực luôn không âm ($|A| \ge 0$ với mọi $A$). Do đó, $|x + 3| > 0$ khi và chỉ khi biểu thức bên trong dấu giá trị tuyệt đối khác 0:

$$x + 3 \neq 0 \Leftrightarrow x \neq -3.$$

Vậy tập xác định của hàm số là $D = \mathbb{R} \setminus \{-3\}$.

---

b) Hàm số $y = \ln(4 - x^2)$ xác định khi và chỉ khi biểu thức dưới dấu lôgarit tự nhiên dương:

$$4 - x^2 > 0$$

Giải bất phương trình bậc hai:

$$x^2 \lt 4 \Leftrightarrow \sqrt{x^2} \lt \sqrt{4} \Leftrightarrow |x| \lt 2$$

$$\Leftrightarrow -2 \lt x \lt 2.$$

Vậy tập xác định của hàm số là $D = (-2; 2)$.

Bài 6.18 trang 19: Giả sử một chất phóng xạ bị phân rã theo cách sao cho khối lượng $m(t)$ của chất còn lại (tính bằng kilôgam) sau $t$ ngày được cho bởi hàm số:

$$m(t) = 13e^{-0,015t}$$

a) Tìm khối lượng của chất đó tại thời điểm $t = 0$.

b) Sau 45 ngày khối lượng chất đó còn lại là bao nhiêu?

Lời giải:

a) Để tìm khối lượng ban đầu của chất phóng xạ, ta tính giá trị của hàm số tại thời điểm $t = 0$.

Thay $t = 0$ vào công thức $m(t) = 13e^{-0,015t}$, ta được:

$$m(0) = 13 \cdot e^{-0,015 \cdot 0} = 13 \cdot e^0$$

Vì $e^0 = 1$ nên:

$$m(0) = 13 \cdot 1 = 13 \text{ (kg)}.$$

Vậy khối lượng ban đầu của chất phóng xạ là 13 kg.

---

b) Để tìm khối lượng còn lại sau 45 ngày, ta thay $t = 45$ vào công thức.

$$m(45) = 13 \cdot e^{-0,015 \cdot 45}$$

Tính số mũ: $-0,015 \cdot 45 = -0,675$.

$$m(45) = 13 \cdot e^{-0,675}$$

Sử dụng máy tính cầm tay để tính giá trị gần đúng:

$$m(45) \approx 13 \cdot 0,50916 \approx 6,62 \text{ (kg)}.$$

Vậy sau 45 ngày, khối lượng chất phóng xạ còn lại khoảng 6,62 kg.

Bài 6.19 trang 19: Trong một nghiên cứu, khả năng nhớ trung bình $M(t)$ (đơn vị: %) của một nhóm học sinh sau $t$ tháng được tính theo công thức:

$$M(t) = 75 - 20\ln(t + 1), \quad \text{với } 0 \le t \le 12$$

Hãy tính khả năng nhớ trung bình của nhóm học sinh đó sau 6 tháng.

Lời giải:

Theo giả thiết, thời gian $t = 6$ (tháng). Giá trị này thỏa mãn điều kiện $0 \le t \le 12$.

Để tìm khả năng nhớ trung bình sau 6 tháng, ta thay $t = 6$ vào công thức của hàm số $M(t)$:

$$M(6) = 75 - 20\ln(6 + 1)$$

$$M(6) = 75 - 20\ln 7$$

Sử dụng máy tính cầm tay để tính giá trị của $\ln 7 \approx 1,9459$:

$$M(6) \approx 75 - 20 \cdot 1,9459$$

$$M(6) \approx 75 - 38,918 = 36,082$$

Vậy sau 6 tháng, khả năng nhớ trung bình của nhóm học sinh đó là khoảng 36,08%.

KẾT LUẬN VỀ HÀM SỐ MŨ VÀ HÀM SỐ LOGARIT

Hi vọng qua bài viết nhỏ này của CaolacVC, các em đã một phần nào biết được những kiến thức cơ bản nhất về hàm số mũ và logarit, biết một số ứng dụng trong phần mở đầu cũng như biết làm một số bài tập cơ bản.

Hãy để ý kiến cũng như những bình luận góp ý để bài viết ngày được hoàn thiện hơn