© Được viết bởi CaolacVC. Blog https://caolacvc.blogspot.com

HÀM SỐ MŨ VÀ HÀM SỐ LOGARIT

MỞ ĐẦU VỀ HÀM SỐ MŨ VÀ HÀM SỐ LOGARIT

Trong thực tế cuộc sống thì hàm mũ và hàm số logarit cũng có một số ứng dụng rất cần thiết.

Hàm mũ: Hàm mũ xuất hiện trong nhiều lĩnh vực, chẳng hạn như mô hình tăng trưởng dân số, quá trình phân rã phóng xạ (dùng để đo niên đại của các hoá thạch chẳng hạn), tính toán lãi suất kép trong tài chính, v.v...

Hàm logarit: Hàm logarit được sử dụng để giải các phương trình mũ, trong các bài toán về âm thanh, ánh sáng (mức độ cường độ âm thanh hoặc ánh sáng thường được đo bằng logarit), và trong các mô hình phân tích dữ liệu có sự thay đổi theo cấp số nhân.

---

HÀM SỐ MŨ

Cho $a$ số thực dương khác $1$. Hàm số $y={{a}^{x}}$ được gọi là hàm số mũ cơ số $a$

KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ MŨ

+) Dạng: $y={{a}^{x}},~\left( a>0,a\ne 0 \right)$

+) Tập xác định: $D=\mathbb{R}$

+) Tập giá trị: $T=\left( 0;+\infty  \right)$

+) Chiều biến thiên:

• $a>1$ hàm số luôn đồng biến.
• $0\lt a\lt 1$ hàm số luôn nghịch biến.

+) Dáng đồ thị: Đồ thị của hàm số mũ luôn luôn đi qua các điểm $\left( 0;1 \right)$, $\left( 1;a \right)$ và đồ thị luôn nằm phía trên trục hoành

(Đồ thị minh họa)

HÀM SỐ LOGARIT

Cho $a$ số thực dương khác $1$. Hàm số $y={{\log }_{a}}x$ được gọi là hàm số logarit cơ số $a$

KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ LOGARIT

+) Dạng. $y={{\log }_{a}}x,~(a>0,a\ne 1)$

+) Tập xác định: $D=\left( 0;+\infty  \right)$

+) Tập giá trị: $T=\mathbb{R}$

+) Chiều biến thiên:

• $a>1$ hàm số luôn đồng biến
• $0\lt a\lt 1$ hàm số luôn nghịch biến

+) Dáng đồ thị: Đồ thị của hàm số logarit luôn luôn đi qua các điểm $(1;0)$, $(a;1)$ và đồ thị luôn nằm phía bên phải trục tung

(Đồ thị minh họa)

---

MỘT SỐ DẠNG BÀI TẬP VỀ HÀM SỐ MŨ, HÀM SỐ LOGARIT CÓ LỜI GIẢI CHI TIẾT

TÌM TẬP XÁC ĐỊNH CỦA HÀM SỐ DẠNG $y=f(x)^{\alpha}$

Ghi nhớ:

+) Mũ nguyên dương $\xrightarrow{{}}$ cơ số thuộc $\mathbb{R}$ (không cần điều kiện)

+) Mũ bằng $0$ hoặc mũ nguyên âm $\xrightarrow{{}}$ cơ số khác $0$

+) Mũ không nguyên (mũ hữu tỉ hoặc mũ thực) $\xrightarrow{{}}$ cơ số lớn hơn $0$

Ví dụ 1. Tìm tập xác định của hàm số

a) $y={{\left( {{x}^{2}}+2x-3 \right)}^{-\frac{2}{3}}}$

b) $y={{\left( {{x}^{2}}-x-2 \right)}^{-3}}$

c) $y={{\left( 2x-1 \right)}^{\sqrt{2}}}$

a) Hàm số $y={{\left( {{x}^{2}}+2x-3 \right)}^{-\frac{2}{3}}}$ có mũ là $-\frac{2}{3}$ không nguyên nên cơ số có điều kiện:

${{x}^{2}}+2x-3\gt 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{align} & x\lt -3 \\ & x\gt 1 \\ \end{align} \right.$

Vậy tập xác định $D=\left( -\infty ;-3 \right)\cup \left( 1;+\infty  \right)$

---

b) Hàm số $y={{\left( {{x}^{2}}-x-2 \right)}^{-3}}$ có mũ là $-3$ là một số nguyên âm nên cơ số có điều kiện:

${{x}^{2}}-x-2\ne 0 \Leftrightarrow \left\{ \begin{align} & x\ne -1 \\ & x\ne 2 \\ \end{align} \right.$

Vậy tập xác định $D=\mathbb{R}\backslash \left\{ -1;2 \right\}$

---

c) Hàm số $y={{\left( 2x-1 \right)}^{\sqrt{2}}}$ có mũ là $\sqrt{2}$ không nguyên nên cơ số có điều kiện $2x-1\gt 0 \Leftrightarrow x\gt \frac{1}{2}$

Vậy tập xác định $D=\left( \frac{1}{2};+\infty  \right)$

👉 XEM THÊM BÀI TẬP TÌM TẬP XÁC ĐỊNH CỦA HÀM SỐ DẠNG $y=f(x)^{\alpha}$

Ví dụ 2. Tìm tập xác định của hàm số

a) $y={{\log }_{2}}\left( 2x-{{x}^{2}} \right)$

b) $y={{\log }_{2}}\left( {{x}^{2}}-2x-3 \right)$

c) $y={{\log }_{2}}\left( {{\log }_{4}}\left( 2-x \right) \right).$

a) Hàm số $y={{\log }_{2}}\left( 2x-{{x}^{2}} \right)$ có điều kiện $2x-{{x}^{2}}\gt 0 \Leftrightarrow 0\lt x\lt 2$

Vậy tập xác định của hàm số $D=\left( 0;2 \right)$

---

b) Hàm số $y={{\log }_{2}}\left( {{x}^{2}}-2x-3 \right)$ có điều kiện ${{x}^{2}}-2x-3\gt 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{align} & x\lt -1 \\ & x\gt 3 \\ \end{align} \right.$

Vậy tập xác định của hàm số $D=\left( -\infty ;-1 \right)\cup \left( 3;+\infty  \right)$

---

c) Hàm số $y={{\log }_{2}}\left( {{\log }_{4}}\left( 2-x \right) \right)$ có điều kiện:

$\left\{ \begin{align} & 2-x\gt 0 \\ & {{\log }_{4}}\left( 2-x \right)\gt 0 \\ \end{align} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{align} & x\lt 2 \\ & 2-x\gt {{4}^{0}}=1 \\ \end{align} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{align} & x\lt 2 \\ & x\lt 1 \\ \end{align} \right. \Leftrightarrow x\lt 1$

Vậy tập xác định của hàm số $D=\left( -\infty ;1 \right)$

DẠNG TÍNH TỔNG

Ví dụ 3. Cho hàm số $f\left( x \right)=\frac{{{4}^{x}}}{{{4}^{x}}+2}$. Tính tổng $T=f\left( \frac{1}{2025} \right)+f\left( \frac{2}{2025} \right)+\cdots +f\left( \frac{2024}{2025} \right)$

Đối với hàm số dạng $f\left( x \right)=\frac{{{c}^{x}}}{{{c}^{x}}+\sqrt{c}}$ nếu $a+b=1 \Rightarrow f\left( a \right)+f\left( b \right)=1$.

👉 XEM CHỨNG MINH TẠI ĐÂY

Dễ thấy:

$\frac{1}{2025}+\frac{2024}{2025}=1 \Rightarrow f\left( \frac{1}{2025} \right)+f\left( \frac{2024}{2025} \right)=1$

$\frac{2}{2025}+\frac{2023}{2025}=1 \Rightarrow f\left( \frac{2}{2025} \right)+f\left( \frac{2023}{2025} \right)=1$

$\frac{3}{2025}+\frac{2022}{2025}=1 \Rightarrow f\left( \frac{3}{2025} \right)+f\left( \frac{2022}{2025} \right)=1$

Cứ thế tiếp tục như vậy. Ta dễ thấy có tất cả $1012$ cặp, cộng vế theo vế ta suy ra:

$T=f\left( \frac{1}{2025} \right)+f\left( \frac{2}{2025} \right)+\cdots +f\left( \frac{2024}{2025} \right) = 1012$

👉 XEM THÊM BÀI TOÁN TÍNH TỔNG ĐẶC THÙ CỦA HÀM SỐ MŨ

---

KẾT LUẬN VỀ HÀM SỐ MŨ VÀ HÀM SỐ LOGARIT

Hi vọng qua bài viết nhỏ này của CaolacVC, các em đã một phần nào biết được những kiến thức cơ bản nhất về hàm số mũ và logarit, biết một số ứng dụng trong phần mở đầu cũng như biết làm một số bài tập cơ bản.

Hãy để ý kiến cũng như những bình luận góp ý để bài viết ngày được hoàn thiện hơn