BÀI TOÁN TÍNH TỔNG ĐẶC THÙ CỦA HÀM SỐ MŨ

Bài toán tính tổng đặc thù của hàm số mũ 95621222

Trong phần mũ và logarit chương 2 lớp 12, có một dạng bài toán tính tổng đặt thù như sau

Cho hàm số $\displaystyle f\left( x \right)=\frac{{{9}^{x}}}{{{9}^{x}}+3}$. Tính tổng $\displaystyle S=f\left( \frac{1}{2017} \right)+f\left( \frac{2}{2017} \right)+...+f\left( \frac{2016}{2017} \right)$

Để tính tổng này ta sẽ giải bài toán tổng quát sau, sau khi giải xong, ta chỉ cần ghi nhớ và áp dụng

Cho hàm số $\displaystyle f\left( x \right)=\frac{{{c}^{x}}}{{{c}^{x}}+\sqrt{c}}(c>0)$. Chứng minh rằng nếu $a+b=1$ thì $f\left( a \right)+f\left( b \right)=1$

Chứng minh

Ta có $\displaystyle f\left( a \right)+f\left( b \right)=\frac{{{c}^{a}}}{{{c}^{a}}+\sqrt{c}}+\frac{{{c}^{b}}}{{{c}^{b}}+\sqrt{c}}$

$\displaystyle =\frac{{{c}^{a}}\left( {{c}^{b}}+\sqrt{c} \right)+{{c}^{b}}\left( {{c}^{a}}+\sqrt{c} \right)}{\left( {{c}^{a}}+\sqrt{c} \right)\left( {{c}^{b}}+\sqrt{c} \right)}=\frac{{{c}^{a+b}}+{{c}^{a}}\sqrt{c}+{{c}^{a+b}}+{{c}^{b}}\sqrt{c}}{{{c}^{a+b}}+{{c}^{a}}\sqrt{c}+{{c}^{b}}\sqrt{c}+c}$

$\displaystyle =\frac{{{c}^{1}}+{{c}^{a}}\sqrt{c}+{{c}^{1}}+{{c}^{b}}\sqrt{c}}{{{c}^{1}}+{{c}^{a}}\sqrt{c}+{{c}^{b}}\sqrt{c}+c}=\frac{2c+\sqrt{c}\left( {{c}^{a}}+{{c}^{b}} \right)}{2c+\sqrt{c}\left( {{c}^{a}}+{{c}^{b}} \right)}=1$ (đpcm)

Từ đây ta sẽ áp dụng cho bài toán tính tổng trên

Dễ thấy

$\displaystyle \frac{1}{2017}+\frac{2016}{2017}=1\Rightarrow f\left( \frac{1}{2017} \right)+f\left( \frac{2016}{2017} \right)=1$

$\displaystyle \frac{2}{2017}+\frac{2015}{2017}=1\Rightarrow f\left( \frac{2}{2017} \right)+f\left( \frac{2015}{2017} \right)=1$

Tiếp tục quá trình

$\displaystyle \frac{1008}{2017}+\frac{1009}{2017}=1\Rightarrow f\left( \frac{1008}{2017} \right)+f\left( \frac{1009}{2017} \right)=1$

Có tất cả $1008$ cặp nên $S=1008$