BÀI TOÁN TÍNH TỔNG ĐẶC THÙ CỦA HÀM SỐ MŨ

Bài toán tính tổng đặc thù của hàm số mũ 95621222

Trong phần mũ và logarit chương 2 lớp 12, có một dạng bài toán tính tổng đặt thù như sau

Cho hàm số ${\displaystyle f\left(x\right)=\frac{9^x}{9^x+3}}$. Tính tổng ${\displaystyle S=f\left(\frac{1}{2017}\right)+f\left(\frac{2}{2017}\right)+...+f\left(\frac{2016}{2017}\right)}$

Để tính tổng này ta sẽ giải bài toán tổng quát sau, sau khi giải xong, ta chỉ cần ghi nhớ và áp dụng

Cho hàm số ${\displaystyle f\left(x\right)=\frac{c^x}{c^x+\sqrt{c}}(c>0)}$. Chứng minh rằng nếu $a+b=1$ thì $f\left(a\right)+f\left(b\right)=1$

Chứng minh

Ta có ${\displaystyle f\left(a\right)+f\left(b\right)=\frac{c^a}{c^a+\sqrt{c}}+\frac{c^b}{c^b+\sqrt{c}}}$

${\displaystyle =\frac{c^a(c^b+\sqrt{c})+c^b(c^a+\sqrt{c})}{(c^a+\sqrt{c})(c^b+\sqrt{c})}=\frac{c^{a+b}+c^a\sqrt{c}+c^{a+b}+c^b\sqrt{c}}{c^{a+b}+c^a\sqrt{c}+c^b\sqrt{c}+c}}$

${\displaystyle =\frac{c^1+c^a\sqrt{c}+c^1+c^b\sqrt{c}}{c^1+c^a\sqrt{c}+c^b\sqrt{c}+c}=\frac{2c+\sqrt{c}(c^a+c^b)}{2c+\sqrt{c}(c^a+c^b)}=1}$ (đpcm)

Từ đây ta sẽ áp dụng cho bài toán tính tổng trên

Dễ thấy

${\displaystyle \frac{1}{2017}+\frac{2016}{2017}=1\Rightarrow f\left(\frac{1}{2017}\right)+f\left(\frac{2016}{2017}\right)=1}$

${\displaystyle \frac{2}{2017}+\frac{2015}{2017}=1\Rightarrow f\left(\frac{2}{2017}\right)+f\left(\frac{2015}{2017}\right)=1}$

Tiếp tục quá trình

${\displaystyle \frac{1008}{2017}+\frac{1009}{2017}=1\Rightarrow f\left(\frac{1008}{2017}\right)+f\left(\frac{1009}{2017}\right)=1}$

Có tất cả $1008$ cặp nên $S=1008$