LOGARIT

MỞ ĐẦU VỀ LOGARIT

Logarit là một phép toán trong toán học, thể hiện mối quan hệ giữa ba số: cơ số, kết quả, và logarit.

Trong khoa học tự nhiên thì logarit dùng để tính pH trong hóa học, dùng để biểu diễn các thang đo logarit (như decibel) trong vật lý

Trong toán học và kỹ thuật, dùng để giải phương trình mũ, tăng tốc độ xử lý dữ liệu trong các thuật toán

Trong kinh tế và tài chính, dùng để đánh giá tăng trưởng theo tỷ lệ phần trăm, tính lãi suất kép

Trong khoa học máy tính, dùng trong các thuật toán (như tìm kiếm nhị phân)

NỘI DUNG BÀI HỌC LOGARIT

Cho hai số dương $a, b$ và $a \neq 1$ . Số $α$ thỏa mãn đẳng thức $a^{α} = b$ được gọi là logarit cơ số $a$ của $b$ và được ký hiệu là $\log_{a} b$

$\log_{a} b = α \Leftrightarrow a^{α} = b, (a, b > 0; a \neq 1)$

Lưu ý. Không có logarit của $0$ và số âm.

CÔNG THỨC LOGARIT (THUỘC)

(Giả sử các công thức sau đều xác định)

$\log_{a} 1 = 0$
$\log_{a} a = 1$
$a^{\log_{a} b} = b$
$\log_{a} (a^{α}) = α$
$\log_{a} (b c) = \log_{a} b + \log_{a} c$
$\log_{a} (\frac{b}{c}) = \log_{a} b - \log_{a} c$
$\log_{a} \frac{1}{b} = - \log_{a} b$
$\log_{a} b^{α} = α \log_{a} b$
$\log_{a^{α}} b = \frac{1}{α} \log_{a} b$
$\log_{a} \sqrt[n]{b} = \frac{1}{n} \log_{a} b$
$\log_{a} b = \frac{\log_{c} b}{\log_{c} a}$
$\log_{a} b = \frac{1}{\log_{b} a}$

LOGARIT THẬP PHÂN

+) Logarit thập phân là logarit cơ số 10

+) $\log_{10} a$ thường được viết là $\log a$ hoặc $\lg a$ (ít dùng)

LOGARIT TỰ NHIÊN

+) Logarit tự nhiên là logarit cơ số $e$ ( $e \approx 2, 71828$ )

+) $\log_{e} a$ được viết là $\ln a$

Lưu ý. Số $e$ là giới hạn của dãy số $u_{u} = {(1 + \frac{1}{n})}^{n}$ và giá trị của giớ hạn này xấp xỉ $2, 71828$

SO SÁNH HAI LOGARIT

So sánh hai logarit cùng cơ số

+) Nếu $a > 1$ thì $\log_{a} b > \log_{a} c \Leftrightarrow b > c$

+) Nếu $0 < a < 1$ thì $\log_{a} b > \log_{a} c \Leftrightarrow b < c$

So sánh logarit với $0$ (Dấu của logarit)

+) $\log_{a} b > 0 \Leftrightarrow$ $a, b$ nằm cùng phía với $1$

+) $\log_{a} b < 0 \Leftrightarrow$ $a, b$ khác cùng phía với $1$

Ví dụ. $\log_{2} \frac{2}{5} < 0$ vì $2$ và $\frac{2}{5}$ nằm khác phía với $1$

BÀI TẬP VÍ DỤ MẪU LOGARIT

Ví dụ 1. Rút gọn biểu thức $A = \log_{\sqrt{a}} b^{3} \cdot \log_{b} a$

Lời giải

$A = \log_{\sqrt{a}} b^{3} \cdot \log_{b} a$ $= \log_{a^{\frac{1}{2}}} b^{3} \cdot \log_{b} a$ $= 6 \log_{a} b \cdot \log_{b} a$ $= 6$

Ví dụ 2. Rút gọn biểu thức $B = \log_{b} (b^{2} \cdot b^{\frac{1}{2}})$

Lời giải

$B = \log_{b} (b^{2} \cdot b^{\frac{1}{2}})$ $= \log_{b} (b^{2 + \frac{1}{2}})$ $= \log_{b} (b^{\frac{5}{2}})$ $= \frac{5}{2} \log_{b} b$ $= \frac{5}{2}$

Ví dụ 3. Tính giá trị của biểu thức $A = \log_{2} 3 \cdot \log_{3} 4 \cdot \log_{4} 5 \cdot \log_{5} 6 \cdot \log_{6} 7 \cdot \log_{7} 8$

Lời giải

$A = (\log_{2} 3 \cdot \log_{3} 4) \cdot (\log_{4} 5 \cdot \log_{5} 6) \cdot (\log_{6} 7 \cdot \log_{7} 8)$

$A = \log_{2} 4 \cdot \log_{4} 6 \cdot \log_{6} 8$

$A = (\log_{2} 4 \cdot \log_{4} 6) \cdot \log_{6} 8$

$A = \log_{2} 6 \cdot \log_{6} 8$

$A = \log_{2} 8 = \log_{2} 2^{3} = 3 \log_{2} 2 = 3$

Ví dụ 4. Cho $a = \log_{2} x$ . Tính giá trị của biểu thức $A = \log_{2} x^{2} + \log_{\frac{1}{2}} x^{3} + \log_{4} x$ theo $a$

Lời giải

$A = \log_{2} x^{2} + \log_{\frac{1}{2}} x^{3} + \log_{4} x$

$A = \log_{2} x^{2} + \log_{2^{- 1}} x^{3} + \log_{2^{2}} x$

$A = 2 \log_{2} x - 3 \log_{2} x + \frac{1}{2} \log_{2} x$

$A = 2 a - 3 a + \frac{1}{2} a$

$A = - \frac{1}{2} a$

Ví dụ 5. Cho $a = \log_{3} 2$ và $b = \log_{3} 5$ . Biểu diễn $\log_{10} 60$ theo $a$ và $b$

Lời giải

Ta có $\log_{10} 60 = \log_{10} (10 \cdot 6)$ $= \log_{10} 10 + \log_{10} 6$ $= 1 + \log_{10} (2 \cdot 3)$ $= 1 + \log_{10} 2 + \log_{10} 3$

$= 1 + \frac{1}{\log_{2} 10} + \frac{1}{\log_{3} 10}$ $= 1 + \frac{1}{\log_{2} (2 \cdot 5)} + \frac{1}{\log_{3} (2 \cdot 5)}$ $= 1 + \frac{1}{\log_{2} 2 + \log_{2} 5} + \frac{1}{\log_{3} 2 + \log_{3} 5}$

$= 1 + \frac{1}{1 + \frac{\log_{3} 5}{\log_{3} 2}} + \frac{1}{\log_{3} 2 + \log_{3} 5}$ $= 1 + \frac{1}{1 + \frac{b}{a}} + \frac{1}{a + b}$ $= 1 + \frac{1}{\frac{a + b}{a}} + \frac{1}{a + b}$ $= 1 + \frac{a}{a + b} + \frac{1}{a + b}$

$= 1 + \frac{a + 1}{a + b}$ $= \frac{a + b}{a + b} + \frac{a + 1}{a + b}$ $= \frac{2 a + b + 1}{a + b}$

Ví dụ 6. Cho $x, y$ là hai số thực dương, $x \neq 1$ thoả, $\log_{\sqrt[3]{x}} y = \frac{3 y}{8}; \log_{\sqrt{2}} x = \frac{32}{y}$ . Tính $P = x^{2} - y^{2}$

Lời giải

+) Ta có $\log_{\sqrt[3]{x}} y = \frac{3 y}{8}$ $\Leftrightarrow \log_{x^{\frac{1}{3}}} y = \frac{3 y}{8}$ $\Leftrightarrow 3 \log_{x} y = \frac{3 y}{8}$ $\Leftrightarrow \log_{x} y = \frac{y}{8}$

+) $\log_{\sqrt{2}} x = \frac{32}{y}$ $\Leftrightarrow \log_{2^{\frac{1}{2}}} x = \frac{32}{y}$ $\Leftrightarrow 2 \log_{2} x = \frac{32}{y}$ $\Leftrightarrow \log_{2} x = \frac{16}{y}$

Suy ra $\log_{x} y \cdot \log_{2} x = \frac{y}{8} \cdot \frac{16}{y}$

$\Leftrightarrow \log_{2} y = 2$ $\Leftrightarrow y = 2^{2}$ $\Leftrightarrow y = 4$

+) Với $y = 4$ , suy ra $\log_{2} x = \frac{16}{y}$ $\Leftrightarrow \log_{2} x = 4$ $\Leftrightarrow x = 2^{4}$ $\Leftrightarrow x = 16$

Vậy $P = x^{2} - y^{2}$ $= 16^{2} - 4^{2}$ $= 240$

KẾT LUẬN

Qua bài học trên, các em cũng đã biết được một số ứng dụng của logarit ở phần mở đầu, biết logarit là gì và cách làm chi tiết một số dạng bài tập cơ bản trong chương trình

Hãy để lại ý kiến cùng các thắc mắc của các em dưới phần bình luận nhé

LÔGARIT

LOGARIT

MỞ ĐẦU VỀ LOGARIT

NỘI DUNG BÀI HỌC LOGARIT