© Được viết bởi CaolacVC. Blog https://caolacvc.blogspot.com
LOGARIT
MỞ ĐẦU VỀ LOGARIT
Logarit là một phép toán trong toán học, thể hiện mối quan hệ giữa ba số: cơ số, kết quả, và logarit.
Trong khoa học tự nhiên thì logarit dùng để tính pH trong hóa học, dùng để biểu diễn các thang đo logarit (như decibel) trong vật lý
Trong toán học và kỹ thuật, dùng để giải phương trình mũ, tăng tốc độ xử lý dữ liệu trong các thuật toán
Trong kinh tế và tài chính, dùng để đánh giá tăng trưởng theo tỷ lệ phần trăm, tính lãi suất kép
Trong khoa học máy tính, dùng trong các thuật toán (như tìm kiếm nhị phân)
NỘI DUNG BÀI HỌC LOGARIT
Cho hai số dương $a,b$ và $a\ne 1$. Số $\alpha$ thỏa mãn đẳng thức ${{a}^{\alpha }}=b$ được gọi là logarit cơ số $a$ của $b$ và được ký hiệu là ${{\log }_{a}}b$
$${{\log }_{a}}b=\alpha \Leftrightarrow {{a}^{\alpha }}=b,(a,b\gt 0;a\ne 1)$$
Lưu ý: Không có logarit của $0$ và số âm.
CÔNG THỨC LOGARIT (THUỘC)
(Giả sử các công thức sau đều xác định)
- ${{\log }_{a}}1=0$
- ${{\log }_{a}}a=1$
- ${{a}^{{{\log }_{a}}b}}=b$
- ${{\log }_{a}}\left( {{a}^{\alpha }} \right)=\alpha $
- ${{\log }_{a}}\left( bc \right)={{\log }_{a}}b+{{\log }_{a}}c$
- $\displaystyle {{\log }_{a}}\left( \frac{b}{c} \right)={{\log }_{a}}b-{{\log }_{a}}c$
- ${{\log }_{a}}\frac{1}{b}=-{{\log }_{a}}b$
- ${{\log }_{a}}{{b}^{\alpha }}=\alpha {{\log }_{a}}b$
- $\displaystyle {{\log }_{{{a}^{\alpha }}}}b=\frac{1}{\alpha }{{\log }_{a}}b$
- $\displaystyle {{\log }_{a}}\sqrt[n]{b}=\frac{1}{n}{{\log }_{a}}b$
- $\displaystyle {{\log }_{a}}b=\frac{{{\log }_{c}}b}{{{\log }_{c}}a}$
- $\displaystyle {{\log }_{a}}b=\frac{1}{{{\log }_{b}}a}$
LOGARIT THẬP PHÂN
+) Logarit thập phân là logarit cơ số 10
+) ${{\log }_{10}}a$ thường được viết là $\log a$ hoặc $\lg a$ (ít dùng)
LOGARIT TỰ NHIÊN
+) Logarit tự nhiên là logarit cơ số $e$ ($e\approx 2,71828$)
+) ${{\log }_{e}}a$ được viết là $\ln a$
Lưu ý: Số $e$ là giới hạn của dãy số ${{u}_{n}}={{\left( 1+\frac{1}{n} \right)}^{n}}$ và giá trị của giới hạn này xấp xỉ $2,71828$
SO SÁNH HAI LOGARIT
So sánh hai logarit cùng cơ số
+) Nếu $a\gt 1$ thì ${{\log }_{a}}b\gt {{\log }_{a}}c\Leftrightarrow b\gt c$
+) Nếu $0\lt a\lt 1$ thì ${{\log }_{a}}b\gt {{\log }_{a}}c\Leftrightarrow b\lt c$
So sánh logarit với $0$ (Dấu của logarit)
+) ${{\log }_{a}}b\gt 0\Leftrightarrow a,b$ nằm cùng phía với $1$
+) ${{\log }_{a}}b\lt 0\Leftrightarrow a,b$ khác phía với $1$
Ví dụ: ${{\log }_{2}}\frac{2}{5}\lt 0$ vì $2$ và $\frac{2}{5}$ nằm khác phía với $1$
BÀI TẬP VÍ DỤ MẪU LOGARIT
Ví dụ 1. Rút gọn biểu thức $A={{\log }_{\sqrt{a}}}{{b}^{3}}\cdot {{\log }_{b}}a$
Lời giải:
$A={{\log }_{\sqrt{a}}}{{b}^{3}}\cdot {{\log }_{b}}a = {{\log }_{{{a}^{\frac{1}{2}}}}}{{b}^{3}}\cdot {{\log }_{b}}a = 6{{\log }_{a}}b\cdot {{\log }_{b}}a = 6$
Ví dụ 2. Rút gọn biểu thức $B={{\log }_{b}}\left( {{b}^{2}}\cdot {{b}^{\frac{1}{2}}} \right)$
Lời giải:
$B={{\log }_{b}}\left( {{b}^{2}}\cdot {{b}^{\frac{1}{2}}} \right) = {{\log }_{b}}\left( {{b}^{2+\frac{1}{2}}} \right) = {{\log }_{b}}\left( {{b}^{\frac{5}{2}}} \right) = \frac{5}{2}{{\log }_{b}}b = \frac{5}{2}$
Ví dụ 3. Tính giá trị của biểu thức $A={{\log }_{2}}3\cdot {{\log }_{3}}4\cdot {{\log }_{4}}5\cdot {{\log }_{5}}6\cdot {{\log }_{6}}7\cdot {{\log }_{7}}8$
Lời giải:
$A=\left( {{\log }_{2}}3\cdot {{\log }_{3}}4 \right)\cdot \left( {{\log }_{4}}5\cdot {{\log }_{5}}6 \right)\cdot \left( {{\log }_{6}}7\cdot {{\log }_{7}}8 \right)$
$A={{\log }_{2}}4\cdot {{\log }_{4}}6\cdot {{\log }_{6}}8$
$A=\left( {{\log }_{2}}4\cdot {{\log }_{4}}6 \right)\cdot {{\log }_{6}}8$
$A={{\log }_{2}}6\cdot {{\log }_{6}}8$
$A={{\log }_{2}}8={{\log }_{2}}{{2}^{3}}=3{{\log }_{2}}2=3$
Ví dụ 4. Cho $a={{\log }_{2}}x$. Tính giá trị của biểu thức $A={{\log }_{2}}{{x}^{2}}+{{\log }_{\frac{1}{2}}}{{x}^{3}}+{{\log }_{4}}x$ theo $a$
Lời giải:
$A={{\log }_{2}}{{x}^{2}}+{{\log }_{\frac{1}{2}}}{{x}^{3}}+{{\log }_{4}}x$
$A={{\log }_{2}}{{x}^{2}}+{{\log }_{{{2}^{-1}}}}{{x}^{3}}+{{\log }_{{{2}^{2}}}}x$
$A=2{{\log }_{2}}x-3{{\log }_{2}}x+\frac{1}{2}{{\log }_{2}}x$
$A=2a-3a+\frac{1}{2}a$
$A=-\frac{1}{2}a$
Ví dụ 5. Cho $a={{\log }_{3}}2$ và $b={{\log }_{3}}5$. Biểu diễn ${{\log }_{10}}60$ theo $a$ và $b$
Lời giải:
Ta có ${{\log }_{10}}60={{\log }_{10}}\left( 10\cdot 6 \right) = {{\log }_{10}}10+{{\log }_{10}}6 = 1+{{\log }_{10}}\left( 2\cdot 3 \right) = 1+{{\log }_{10}}2+{{\log }_{10}}3$
$=1+\frac{1}{{{\log }_{2}}10}+\frac{1}{{{\log }_{3}}10} = 1+\frac{1}{{{\log }_{2}}\left( 2\cdot 5 \right)}+\frac{1}{{{\log }_{3}}\left( 2\cdot 5 \right)} = 1+\frac{1}{{{\log }_{2}}2+{{\log }_{2}}5}+\frac{1}{{{\log }_{3}}2+{{\log }_{3}}5}$
$=1+\frac{1}{1+\frac{{{\log }_{3}}5}{{{\log }_{3}}2}}+\frac{1}{{{\log }_{3}}2+{{\log }_{3}}5} = 1+\frac{1}{1+\frac{b}{a}}+\frac{1}{a+b} = 1+\frac{1}{\frac{a+b}{a}}+\frac{1}{a+b} = 1+\frac{a}{a+b}+\frac{1}{a+b}$
$=1+\frac{a+1}{a+b} = \frac{a+b}{a+b}+\frac{a+1}{a+b} = \frac{2a+b+1}{a+b}$
Ví dụ 6. Cho $x,y$ là hai số thực dương, $x\ne 1$ thoả, ${{\log }_{\sqrt[3]{x}}}y=\frac{3y}{8};{{\log }_{\sqrt{2}}}x=\frac{32}{y}$. Tính $P={{x}^{2}}-{{y}^{2}}$
Lời giải:
+) Ta có ${{\log }_{\sqrt[3]{x}}}y=\frac{3y}{8} \Leftrightarrow {{\log }_{{{x}^{\frac{1}{3}}}}}y=\frac{3y}{8} \Leftrightarrow 3{{\log }_{x}}y=\frac{3y}{8} \Leftrightarrow {{\log }_{x}}y=\frac{y}{8}$
+) ${{\log }_{\sqrt{2}}}x=\frac{32}{y} \Leftrightarrow {{\log }_{{{2}^{\frac{1}{2}}}}}x=\frac{32}{y} \Leftrightarrow 2{{\log }_{2}}x=\frac{32}{y} \Leftrightarrow {{\log }_{2}}x=\frac{16}{y}$
Suy ra ${{\log }_{x}}y\cdot {{\log }_{2}}x=\frac{y}{8}\cdot \frac{16}{y}$
$\Leftrightarrow {{\log }_{2}}y=2 \Leftrightarrow y={{2}^{2}} \Leftrightarrow y=4$
+) Với $y=4$, suy ra ${{\log }_{2}}x=\frac{16}{y} \Leftrightarrow {{\log }_{2}}x=4 \Leftrightarrow x={{2}^{4}} \Leftrightarrow x=16$
Vậy $P={{x}^{2}}-{{y}^{2}} = {{16}^{2}}-{{4}^{2}} = 240$
GIẢI CHI TIẾT BÀI TẬP SGK KẾT NỐI TRI THỨC
Bài 6.9 trang 14: Tính các giá trị sau:
a) $\log_2 2^{-13}$; b) $\ln e^{\sqrt{2}}$;
c) $\log_8 16 - \log_8 2$; d) $\log_2 6 \cdot \log_6 8$.
Lời giải:
a) Áp dụng tính chất cơ bản $\log_a a^b = b$, ta có:
$$\log_2 2^{-13} = -13.$$
b) Ta biết $\ln x = \log_e x$. Áp dụng tính chất $\ln e^b = b$:
$$\ln e^{\sqrt{2}} = \sqrt{2}.$$
c) Áp dụng tính chất hiệu hai logarit cùng cơ số $\log_a b - \log_a c = \log_a \left(\frac{b}{c}\right)$:
$$\log_8 16 - \log_8 2 = \log_8 \left(\frac{16}{2}\right) = \log_8 8 = 1.$$
d) Áp dụng công thức đổi cơ số (quy tắc chuỗi) $\log_a b \cdot \log_b c = \log_a c$:
$$\log_2 6 \cdot \log_6 8 = \log_2 8.$$
Vì $8 = 2^3$ nên ta có:
$$\log_2 2^3 = 3.$$
Bài 6.10 trang 14: Viết mỗi biểu thức sau thành lôgarit của một biểu thức (giả thiết các biểu thức đều có nghĩa):
a) $A = \ln\left(\dfrac{x}{x-1}\right) + \ln\left(\dfrac{x+1}{x}\right) - \ln(x^2 - 1)$
b) $B = 21\log_3 \sqrt[3]{x} + \log_3 (9x^2) - \log_3 9$
Lời giải:
a) Áp dụng quy tắc cộng logarit $\ln a + \ln b = \ln(ab)$ cho hai số hạng đầu tiên:
$$A = \ln\left( \frac{x}{x-1} \cdot \frac{x+1}{x} \right) - \ln(x^2 - 1)$$
Rút gọn biểu thức trong dấu logarit đầu tiên ($\frac{x}{x}$ triệt tiêu):
$$A = \ln\left( \frac{x+1}{x-1} \right) - \ln(x^2 - 1)$$
Tiếp tục áp dụng quy tắc trừ logarit $\ln a - \ln b = \ln\left(\frac{a}{b}\right)$:
$$A = \ln\left( \frac{\frac{x+1}{x-1}}{x^2 - 1} \right) = \ln\left( \frac{x+1}{(x-1)(x^2 - 1)} \right)$$
Sử dụng hằng đẳng thức $x^2 - 1 = (x-1)(x+1)$ để rút gọn:
$$A = \ln\left( \frac{x+1}{(x-1)(x-1)(x+1)} \right) = \ln\left( \frac{1}{(x-1)^2} \right).$$
b) Trước hết, ta đưa hệ số vào trong dấu logarit và chuyển căn thức về lũy thừa:
Ta có: $21\log_3 \sqrt[3]{x} = \log_3 (\sqrt[3]{x})^{21} = \log_3 (x^{\frac{1}{3}})^{21} = \log_3 x^7$.
Biểu thức $B$ trở thành:
$$B = \log_3 x^7 + \log_3 (9x^2) - \log_3 9$$
Áp dụng quy tắc cộng và trừ logarit cùng cơ số (tổng thành tích, hiệu thành thương):
$$B = \log_3 \left( \frac{x^7 \cdot 9x^2}{9} \right)$$
Rút gọn phân thức:
$$B = \log_3 \left( \frac{9x^9}{9} \right) = \log_3 (x^9).$$
Bài 6.11 trang 15: Rút gọn các biểu thức sau:
a) $A = \log_{\frac{1}{3}} 5 + 2\log_9 25 - \log_{\sqrt{3}} \frac{1}{5}$
b) $B = \log_a M^2 + \log_{a^2} M^4$
Lời giải:
a) Ta đưa tất cả các logarit về cùng cơ số 3.
- Xử lý số hạng thứ nhất: $\log_{\frac{1}{3}} 5 = \log_{3^{-1}} 5 = -\log_3 5$.
- Xử lý số hạng thứ hai: $2\log_9 25 = 2\log_{3^2} 5^2 = 2 \cdot \frac{2}{2} \log_3 5 = 2\log_3 5$.
- Xử lý số hạng thứ ba: $\log_{\sqrt{3}} \frac{1}{5} = \log_{3^{\frac{1}{2}}} 5^{-1} = \frac{-1}{\frac{1}{2}} \log_3 5 = -2\log_3 5$.
Thay lại vào biểu thức $A$:
$$A = -\log_3 5 + 2\log_3 5 - (-2\log_3 5)$$
$$= -\log_3 5 + 2\log_3 5 + 2\log_3 5 = 3\log_3 5.$$
Có thể viết gọn hơn: $A = \log_3 5^3 = \log_3 125$.
b) Ta biến đổi số hạng thứ hai về cơ số $a$ (giả sử các biểu thức đều có nghĩa).
Áp dụng công thức đổi cơ số $\log_{x^n} y = \frac{1}{n} \log_x y$:
$$\log_{a^2} M^4 = \frac{1}{2} \log_a M^4$$
Đưa hệ số vào trong logarit: $\frac{1}{2} \log_a M^4 = \log_a (M^4)^{\frac{1}{2}} = \log_a \sqrt{M^4} = \log_a M^2$.
Thay vào biểu thức $B$:
$$B = \log_a M^2 + \log_a M^2 = 2\log_a M^2.$$
Lưu ý: Nếu muốn viết dưới dạng số mũ bậc 1 của $M$, ta có $B = 4\log_a |M|$.
Bài 6.12 trang 15: Tính giá trị của các biểu thức sau:
a) $A = \log_2 3 \cdot \log_3 4 \cdot \log_4 5 \cdot \log_5 6 \cdot \log_6 7 \cdot \log_7 8$
b) $B = \log_2 2 \cdot \log_2 4 \cdots \log_2 2^n$
Lời giải:
a) Áp dụng quy tắc "nối đuôi" (quy tắc chuỗi) của logarit: $\log_a b \cdot \log_b c = \log_a c$.
Ta có thể rút gọn biểu thức từ trái sang phải:
$$A = (\log_2 3 \cdot \log_3 4) \cdot \log_4 5 \cdot \log_5 6 \cdot \log_6 7 \cdot \log_7 8$$
$$= \log_2 4 \cdot \log_4 5 \cdot \log_5 6 \cdot \log_6 7 \cdot \log_7 8$$
Tiếp tục áp dụng quy tắc này cho cả chuỗi, ta thu được kết quả cuối cùng là logarit cơ số đầu với biểu thức cuối:
$$A = \log_2 8.$$
Vì $8 = 2^3$, nên:
$$A = \log_2 2^3 = 3.$$
b) Ta tính giá trị của từng thừa số trong tích $B$ dựa trên công thức $\log_a a^k = k$.
Các thừa số lần lượt là:
- $\log_2 2 = \log_2 2^1 = 1$
- $\log_2 4 = \log_2 2^2 = 2$
- ...
- $\log_2 2^n = n$
Thay các giá trị này vào biểu thức $B$, ta được tích của các số tự nhiên liên tiếp từ 1 đến $n$:
$$B = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdots n.$$
Kết quả có thể viết gọn dưới dạng giai thừa:
$$B = n!$$
Bài 6.13 trang 15: Biết rằng khi độ cao tăng lên, áp suất không khí sẽ giảm và công thức tính áp suất dựa trên độ cao là:
$$a = 15\,500(5 - \log p)$$
trong đó $a$ là độ cao so với mực nước biển (tính bằng mét) và $p$ là áp suất không khí (tính bằng pascal).
Tính áp suất không khí ở đỉnh Everest có độ cao $8\,850$ m so với mực nước biển.
Lời giải:
Theo đề bài, ta có độ cao của đỉnh Everest là $a = 8\,850$ (m). Thay giá trị này vào công thức đã cho, ta được phương trình:
$$8\,850 = 15\,500(5 - \log p)$$
Chia cả hai vế cho $15\,500$ để cô lập biểu thức chứa logarit:
$$5 - \log p = \frac{8\,850}{15\,500} = \frac{177}{310} \approx 0,57$$
Suy ra:
$$\log p = 5 - \frac{177}{310} = \frac{1373}{310} \approx 4,43$$
Theo định nghĩa logarit thập phân ($\log x = b \Leftrightarrow x = 10^b$), ta tính được áp suất $p$:
$$p = 10^{\frac{1373}{310}} \approx 26\,855,44$$
Vậy áp suất không khí ở đỉnh Everest là khoảng 26.855 Pascal.
Bài 6.14 trang 15: Mức cường độ âm $L$ đo bằng decibel (dB) của âm thanh có cường độ $I$ (đo bằng oát trên mét vuông, kí hiệu là W/m²) được định nghĩa như sau:
$$L(I) = 10 \log \frac{I}{I_0},$$
trong đó $I_0 = 10^{-12} \text{ W/m}^2$ là cường độ âm thanh nhỏ nhất mà tai người có thể phát hiện được (gọi là ngưỡng nghe).
Xác định mức cường độ âm của mỗi âm sau:
a) Cuộc trò chuyện bình thường có cường độ $I = 10^{-7} \text{ W/m}^2$.
b) Giao thông thành phố đông đúc có cường độ $I = 10^{-3} \text{ W/m}^2$.
Lời giải:
a) Với cuộc trò chuyện bình thường, ta thay $I = 10^{-7}$ và $I_0 = 10^{-12}$ vào công thức:
$$L = 10 \log \left( \frac{10^{-7}}{10^{-12}} \right)$$
Áp dụng quy tắc chia hai lũy thừa cùng cơ số $\frac{10^m}{10^n} = 10^{m-n}$:
$$L = 10 \log \left( 10^{-7 - (-12)} \right) = 10 \log \left( 10^5 \right)$$
Sử dụng tính chất $\log 10^k = k$:
$$L = 10 \cdot 5 = 50 \text{ (dB)}.$$
Vậy mức cường độ âm của cuộc trò chuyện bình thường là 50 dB.
b) Với giao thông thành phố đông đúc, ta thay $I = 10^{-3}$ vào công thức:
$$L = 10 \log \left( \frac{10^{-3}}{10^{-12}} \right)$$
Tính toán tương tự như trên:
$$L = 10 \log \left( 10^{-3 - (-12)} \right) = 10 \log \left( 10^9 \right)$$
$$L = 10 \cdot 9 = 90 \text{ (dB)}.$$
Vậy mức cường độ âm của giao thông thành phố đông đúc là 90 dB.
KẾT LUẬN
Qua bài học trên, các em cũng đã biết được một số ứng dụng của logarit ở phần mở đầu, biết logarit là gì và cách làm chi tiết một số dạng bài tập cơ bản trong chương trình
Hãy để lại ý kiến cùng các thắc mắc của các em dưới phần bình luận nhé
0 Comments
Vui lòng đăng nhập google để bình luận
Để gõ công thức toán, hãy đặt [biểu thức toán] trong dấu $$
Ví dụ: $[biểu thức toán]$