LUỸ THỪA LỚP 11

© Được viết bởi CaolacVC. Blog https://caolacvc.blogspot.com

LŨY THỪA

MỞ ĐẦU VỀ LUỸ THỪA

Lũy thừa bắt đầu từ các phép nhân lặp lại trong toán học cổ đại, nhưng ký hiệu hiện đại và khái niệm tổng quát của lũy thừa chỉ được hoàn thiện trong vài thế kỷ qua, đặc biệt với sự đóng góp của Descartes, Newton, và Euler. Từ đó, lũy thừa trở thành một công cụ toán học không thể thiếu trong cả lý thuyết và ứng dụng thực tế.

Lũy thừa có rất nhiều ứng dụng trong toán học và các lĩnh vực khác nhau của đời sống, khoa học và kỹ thuật.

Trong khoa học máy tính, lũy thừa xuất hiện trong các thuật toán tính toán số lớn hoặc các bài toán tối ưu hay đo độ phức tạp của thuật toán thường được biểu diễn bằng các hàm lũy thừa

Trong mã hóa và bảo mật, các thuật toán mã hóa, như RSA, dựa vào tính toán lũy thừa lớn trong mô-đun số nguyên, số mũ được sử dụng để sinh ra các khóa bảo mật mạnh.

Trong kinh tế và tài chính, công thức tính lãi suất kép cũng được viết dưới dạng lũy thừa hay nhiều mô hình tài chính dự đoán tăng trưởng kinh tế hoặc lạm phát sử dụng hàm lũy thừa để mô tả sự thay đổi theo thời gian.

LŨY THỪA VỚI SỐ MŨ NGUYÊN

Cho $n$ là một số nguyên dương, với $a$ là số thực tùy ý

+) Lũy thừa bậc $n$ của $a$ là tích của $n$ thừa số $a$: ${{a}^{n}}=a\ldots a$($n$ lần)

+) Với $a\ne 0$

      +) ${{a}^{0}}=1$

      +) ${{a}^{-n}}=\frac{1}{{{a}^{n}}}$

Lưu ý. ${{0}^{0}}$ và ${{0}^{-n}}$ không có nghĩa

CĂN BẬC $n$

Cho số thực $a$ và số nguyên dương, số $b$ được gọi là căn bậc $n$ của $a$ nếu ${{b}^{n}}=a$

Lưu ý.

+) Với $n$ lẻ, mỗi số thực $a$ chỉ có một căn bậc $n$ và kí hiệu là $\sqrt[n]{a}$. Căn bậc $1$ của $a$ chính là $a$

+) Với $n$ chẵn

      +) $a\lt 0$: không tồn tại căn bậc $n$ của $a$

      +) $a=0$: có một căn bậc $n$ của $a$ là $0$

      +) $a\gt 0$: có hai căn trái dấu, ký hiệu giá trị dương là $\sqrt[n]{a}$ và ký hiệu giá trị âm là $-\sqrt[n]{a}$

MỘT SỐ TÍNH CHẤT CỦA CĂN BẬC $n$

+) $\sqrt[n]{a}\sqrt[n]{b}=\sqrt[n]{ab}$

+) $\displaystyle \frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}=\sqrt[n]{\frac{a}{b}}$

+) ${{\left( \sqrt[n]{a} \right)}^{m}}=\sqrt[n]{{{a}^{m}}}$

+) $\displaystyle \sqrt[n]{{{a}^{n}}}=\left\{ \begin{align} & a\text{ khi } n\text{ lẻ} \\ & \left| a \right|\text{ khi } n\text{ chẵn} \\ \end{align} \right.$

+) $\sqrt[n]{\sqrt[k]{a}}=\sqrt[nk]{a}$

LŨY THỪA VỚI SỐ MŨ HỮU TỶ

Cho số thực $a$ dương và số hữu tỷ $r=\frac{m}{n}$, trong đó $m\in \mathbb{Z},n\in {{\mathbb{N}}^{*}}$. Lũy thừa của $a$ với số mũ $r$ là số ${{a}^{r}}$ được xác định bởi: ${{a}^{r}}={{a}^{\frac{m}{n}}}=\sqrt[n]{{{a}^{m}}}$

LŨY THỪA VỚI SỐ MŨ THỰC

Cho $a$ là số thực dương và $\alpha $ là một số vô tỉ. Xét dãy số hữu tỉ $\left( {{r}_{n}} \right)$ mà $\underset{n\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,{{r}_{n}}=\alpha $. Khi đó dãy số $\left( {{a}^{{{r}_{n}}}} \right)$ có giới hạn xác định và không phụ thuộc vào dãy số hữu tỉ $\left( {{r}_{n}} \right)$ đã chọn. Giới hạn hữu hạn đó được gọi là luỹ thừa của $a$ với số mũ $\alpha $, kí hiệu ${{a}^{\alpha }}$.

$${{a}^{\alpha }}=\underset{n\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\left( {{a}^{{{r}_{n}}}} \right)$$

SO SÁNH HAI LŨY THỪA

So sánh hai luỹ thừa cùng cơ số

+) Nếu $a\gt1$ thì ${{a}^{\alpha }}\gt{{a}^{\beta }}\Leftrightarrow \alpha \gt\beta $

+) Nếu $a\lt1$ thì ${{a}^{\alpha }}\gt{{a}^{\beta }}\Leftrightarrow \alpha \lt\beta $

So sánh hai luỹ thừa cùng số mũ ($\alpha \gt0$)

${{a}^{\alpha }}\gt{{b}^{\alpha }}\Leftrightarrow a\gt b,\left( \alpha \gt 0 \right)$ Nếu hai luỹ thừa có cùng số mũ ($\alpha \gt0$), luỹ thừa nào có cơ số lớn hơn sẽ lớn hơn.

BẢNG CÔNG THỨC LŨY THỪA, CĂN

$${{a}^{m}}{{a}^{n}}={{a}^{m+n}}$$	$$\frac{{{a}^{m}}}{{{a}^{n}}}={{a}^{m-n}}$$
$${{\left( {{a}^{m}}\right)}^{n}}={{a}^{mn}}$$	$${{\left( ab\right)}^{n}}={{a}^{n}}{{b}^{n}}$$
$${{\left( \frac{a}{b}\right)}^{n}}=\frac{{{a}^{n}}}{{{b}^{n}}}$$
$$\sqrt[n]{ab}=\sqrt[n]{a}\sqrt[n]{b}$$	$$\sqrt[n]{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}$$
$$\sqrt[n]{{{a}^{p}}}={{\left(\sqrt[n]{a} \right)}^{p}},~a>0$$	$$\sqrt[m]{\sqrt[n]{a}}=\sqrt[mn]{a}$$

CÁC VÍ DỤ BÀI TẬP

Ví dụ 1. Đưa các biểu thức sau về dạng luỹ thừa, giả sử các biểu thức đều có nghĩa

a) $P=x\sqrt[5]{x\sqrt[3]{x\sqrt{x}}},~x\gt 0$

b) $\sqrt{a\sqrt{a\sqrt{a}}}$

Lời giải

a) $P=x\sqrt[5]{x\sqrt[3]{x\sqrt{x}}}$$=x\sqrt[5]{x\sqrt[3]{x.{{x}^{\frac{1}{2}}}}}$$=x\sqrt[5]{x\sqrt[3]{{{x}^{\frac{3}{2}}}}}$$=x\sqrt[5]{x.{{x}^{\frac{1}{2}}}}$$=x\sqrt[5]{{{x}^{\frac{3}{2}}}}$$=x.{{x}^{\frac{3}{10}}}$$={{x}^{\frac{13}{10}}}$

b) $\sqrt{a\sqrt{a\sqrt{a}}}$$={{a}^{\frac{1}{2}}}\cdot {{a}^{\frac{1}{4}}}\cdot {{a}^{\frac{1}{8}}}$$={{a}^{\frac{7}{8}}}$

Ví dụ 2. Rút gọn biểu thức $\displaystyle P=\frac{{{a}^{2}}b{{\left( a{{b}^{-2}} \right)}^{-3}}}{{{\left( {{a}^{-2}}{{b}^{-1}} \right)}^{-2}}}$

Lời giải

$\displaystyle P=\frac{{{a}^{2}}b{{\left( a{{b}^{-2}} \right)}^{-3}}}{{{\left( {{a}^{-2}}{{b}^{-1}} \right)}^{-2}}}$$\displaystyle =\frac{{{a}^{2}}b{{a}^{-3}}{{b}^{6}}}{{{a}^{4}}{{b}^{2}}}$$\displaystyle =\frac{{{a}^{-1}}{{b}^{7}}}{{{a}^{4}}{{b}^{2}}}$$\displaystyle =\frac{{{b}^{5}}}{{{a}^{1}}{{a}^{4}}}$$\displaystyle =\frac{{{b}^{5}}}{{{a}^{5}}}$$\displaystyle ={{\left( \frac{b}{a} \right)}^{5}}$

Ví dụ 3. Tính giá trị của biểu thức $\displaystyle A=\frac{{{3}^{4}}\cdot {{3}^{-2}}+{{2}^{5}}\cdot {{2}^{-4}}}{{{2}^{4}}\cdot {{2}^{3}}-2\cdot {{3}^{5}}\cdot {{3}^{-4}}}$

Lời giải

$\displaystyle A=\frac{{{3}^{4}}\cdot {{3}^{-2}}+{{2}^{5}}\cdot {{2}^{-4}}}{{{2}^{4}}\cdot {{2}^{3}}-2\cdot {{3}^{5}}\cdot {{3}^{-4}}}$$\displaystyle =\frac{{{3}^{4-2}}+{{2}^{5-4}}}{{{2}^{4+3}}-2\cdot {{3}^{5-4}}}$$\displaystyle =\frac{{{3}^{2}}+{{2}^{1}}}{{{2}^{7}}-2\cdot {{3}^{1}}}$$\displaystyle =\frac{9+2}{128-6}$$\displaystyle =\frac{11}{122}$

Ví dụ 4. Cho ${{4}^{x}}+{{4}^{-x}}=7$. Tính giá trị của biểu thức $\displaystyle P=\frac{5+{{2}^{x}}+{{2}^{-x}}}{8-4\cdot {{2}^{x}}-4\cdot {{2}^{-x}}}$

Lời giải

Ta có ${{4}^{x}}+{{4}^{-x}}=7\Leftrightarrow {{\left( {{2}^{x}} \right)}^{2}}+{{\left( {{2}^{-x}} \right)}^{2}}=7$

$\Leftrightarrow {{\left( {{2}^{x}}+{{2}^{-x}} \right)}^{2}}-2\cdot {{2}^{x}}\cdot {{2}^{-x}}=7$$\Leftrightarrow {{\left( {{2}^{x}}+{{2}^{-x}} \right)}^{2}}-2=7$

$\Leftrightarrow {{\left( {{2}^{x}}+{{2}^{-x}} \right)}^{2}}=9$$\Leftrightarrow {{2}^{x}}+{{2}^{-x}}=3$ (do ${{2}^{x}}+{{2}^{-x}}>0$)

Khi đó

$\displaystyle P=\frac{5+{{2}^{x}}+{{2}^{-x}}}{8-4\cdot {{2}^{x}}-4\cdot {{2}^{-x}}}$$\displaystyle =\frac{5+\left( {{2}^{x}}+{{2}^{-x}} \right)}{8-4\cdot \left( {{2}^{x}}+{{2}^{-x}} \right)}$$\displaystyle =\frac{5+3}{8-4\cdot 3}$$\displaystyle =\frac{8}{-4}$$=-2$

Ví dụ 5. Chứng minh rằng: $\sqrt{4+2\sqrt{3}}-\sqrt{4-2\sqrt{3}}=2$

Lời giải

$VT=\sqrt{4+2\sqrt{3}}-\sqrt{4-2\sqrt{3}}$

$=\sqrt{{{\left( \sqrt{3} \right)}^{2}}+2\sqrt{3}+{{1}^{2}}}-\sqrt{{{\left( \sqrt{3} \right)}^{2}}-2\sqrt{3}+{{1}^{2}}}$

$=\sqrt{{{\left( \sqrt{3}+1 \right)}^{2}}}-\sqrt{{{\left( \sqrt{3}-1 \right)}^{2}}}$

$=\left| \sqrt{3}+1 \right|-\left| \sqrt{3}-1 \right|$

$=\left( \sqrt{3}+1 \right)-\left( \sqrt{3}-1 \right)=2=VP$ (đpcm)

Ví dụ 6. Không sử dụng máy tính, hãy so sánh:

a) ${{5}^{6\sqrt{3}}}$ và ${{5}^{3\sqrt{6}}}$

b) $\displaystyle {{\left( \frac{1}{2} \right)}^{-\frac{4}{3}}}$ và $\sqrt{2}\cdot {{2}^{\frac{2}{3}}}$

Lời giải

a) Do $6\sqrt{3}\gt 3\sqrt{6}$ và $5\gt 1$ nên ${{5}^{6\sqrt{3}}}\gt {{5}^{3\sqrt{6}}}$

b) $\displaystyle {{\left( \frac{1}{2} \right)}^{-\frac{4}{3}}}={{2}^{-1\cdot \left( -\frac{4}{3} \right)}}={{2}^{\frac{4}{3}}}$ và $\sqrt{2}\cdot {{2}^{\frac{2}{3}}}={{2}^{\frac{1}{2}}}\cdot {{2}^{\frac{2}{3}}}={{2}^{\frac{7}{6}}}$

Do $\displaystyle \frac{4}{3}\gt \frac{7}{6}$ và $2\gt 1$ nên ${{2}^{\frac{4}{3}}}\gt {{2}^{\frac{7}{6}}}$ hay $\displaystyle {{\left( \frac{1}{2} \right)}^{-\frac{4}{3}}}\gt \sqrt{2}\cdot {{2}^{\frac{2}{3}}}$

KẾT LUẬN

Hy vọng thông qua bài viết nhỏ này, các em có thể biết được sơ bộ một số ứng dụng của phép tính luỹ thừa trong cuộc sống cũng như biết về định nghĩa luỹ thừa với số mũ nguyên, luỹ thừa với số mũ hữu tỉ, luỹ thừa với số mũ thực cũng như cách làm một số dạng toán cơ bản về luỹ thừa.

Hãy để lại ý kiến của các em tại phần comment nhé!