© Được viết bởi CaolacVC. Blog https://caolacvc.blogspot.com

PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG TRONG KHÔNG GIAN

VECTO CHỈ PHƯƠNG CỦA ĐƯỜNG THẲNG

Vecto $\vec{u}\ne \vec{0}$ được gọi là vecto chỉ phương của đường thẳng $\Delta $ nếu nó có giá song song hoặc trùng với đường thẳng $\Delta $.

PHƯƠNG TRÌNH THAM SỐ CỦA ĐƯỜNG THẲNG

Trong không gian $Oxyz$ cho đường thẳng $\Delta $ đi qua điểm $M\left( {{x}_{0}};{{y}_{0}};{{z}_{0}} \right)$ và nhận véctơ $\overrightarrow{u}=\left( a;b;c \right)$ làm véctơ chỉ phương. Khi đó phương trình tham số của $\Delta $ được cho bởi

$\Delta :\left\{ \begin{align} & x={{x}_{0}}+at \\ & y={{y}_{0}}+bt \\ & z={{z}_{0}}+ct \\ \end{align} \right.,\left( t\in \mathbb{R} \right)$

Ví dụ 1. Viết phương trình tham số của đường thẳng qua $A\left( 1;2;3 \right)$ và có VTCP $\overrightarrow{u}=\left( 1;3;4 \right)$.

Giải.

Phương trình tham số của đường thẳng qua $A\left( 1;2;3 \right)$ và có VTCP $\overrightarrow{u}=\left( 1;3;4 \right)$ có dạng

$\Delta :\left\{ \begin{align} & x=1+t \\ & y=2+3t \\ & z=3+4t \\ \end{align} \right.$.

Ví dụ 2. Viết phương trình tham số của đường thẳng qua hai điểm $A\left( 1;4;3 \right)$ và $B\left( 2;3;5 \right)$.

Giải.

Gọi $\Delta $ là đường thẳng đi qua hai điểm $A,B$.

$\Delta $ có vecto chỉ phương $\overrightarrow{AB}=\left( 1;-1;2 \right)$, khi đó phương trình $\Delta $

$\Delta :\left\{ \begin{align} & x=1+t \\ & y=4-t \\ & z=3+2t \\ \end{align} \right.$.

Ví dụ 3. Viết phương trình tham số của đường thẳng qua $A\left( 1;4;2 \right)$ và vuông góc với mặt phẳng $\left( \alpha \right):2x-3y+z-2=0$.

Giải.

Gọi $\Delta $ là đường thẳng qua $A$ và vuông góc với $\left( \alpha \right)$.

Do $\Delta \bot \left( \alpha \right)$ nên ${{\vec{u}}_{\Delta }}={{\vec{n}}_{\alpha }}=\left( 2;-3;1 \right)$, khi đó phương trình $\Delta $

$\Delta :\left\{ \begin{align} & x=1+2t \\ & y=4-3t \\ & z=2+t \\ \end{align} \right.$.

PHƯƠNG TRÌNH CHÍNH TẮC CỦA ĐƯỜNG THẲNG

Trong không gian $Oxyz$ cho đường thẳng $\Delta $ đi qua điểm $M\left( {{x}_{0}};{{y}_{0}};{{z}_{0}} \right)$ và nhận véctơ $\overrightarrow{u}=\left( a;b;c \right),abc\ne 0$ làm véctơ chỉ phương. Khi đó phương trình chính tắc của $\Delta $ được cho bởi

$\Delta :\frac{x-{{x}_{0}}}{a}=\frac{y-{{y}_{0}}}{b}=\frac{z-{{z}_{0}}}{c}$

Ví dụ 4. Viết phương trình chính tắc của đường thẳng qua $A\left( 1;2;-1 \right)$ và có VTCP $\overrightarrow{u}=\left( -2;3;5 \right)$.

Giải.

Phương trình chính tắc của đường thẳng qua $A\left( 1;2;-1 \right)$ và có VTCP $\overrightarrow{u}=\left( -2;3;5 \right)$

$\Delta :\frac{x-1}{-2}=\frac{y-2}{3}=\frac{z+1}{5}$.

HAI ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC

Trong không gian $Oxyz$, cho ${{\Delta }_{1}},{{\Delta }_{2}}$ lần lượt có vecto chỉ phương là ${{\vec{u}}_{1}}=\left( {{a}_{1}};{{b}_{1}};{{c}_{1}} \right),{{\vec{u}}_{2}}=\left( {{a}_{2}};{{b}_{2}};{{c}_{2}} \right)$. Khi đó:

${{\Delta }_{1}}\bot {{\Delta }_{2}}\Leftrightarrow {{\vec{u}}_{1}}\bot {{\vec{u}}_{2}}\Leftrightarrow {{a}_{1}}{{a}_{2}}+{{b}_{1}}{{b}_{2}}+{{c}_{1}}{{c}_{2}}=0$

Ví dụ 5. Trong không gian $Oxyz$, chứng minh rằng hai đường thẳng sau vuông góc với nhau ${{\Delta }_{1}}:\left\{ \begin{align} & x=1+2t \\ & y=-1-3t \\ & z=2-t \\ \end{align} \right.$, ${{\Delta }_{2}}:\left\{ \begin{align} & x=2+t \\ & y=1-2t \\ & z=3+8t \\ \end{align} \right.$

Giải.

${{\Delta }_{1}}$ có vecto chỉ phương ${{\vec{u}}_{1}}=\left( 2;-3;-1 \right)$

${{\Delta }_{2}}$ có vecto chỉ phương ${{\vec{u}}_{2}}=\left( 1;-2;8 \right)$

Ta có ${{\vec{u}}_{1}}.{{\vec{u}}_{2}}=2.1+\left( -3 \right)\left( -2 \right)+\left( -1 \right).8=0$ nên ${{\Delta }_{1}}\bot {{\Delta }_{2}}$.

VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA HAI ĐƯỜNG THẲNG

Trong không gian, cho đường thẳng $d$ đi qua điểm ${{M}_{0}}$ và có véctơ chỉ phương là $\overrightarrow{u}$

Cho đường thẳng $d'$ đi qua điểm $M_{0}^{'}$ và có véctơ chỉ phương là $\overrightarrow{u'}$

TH1: $d\equiv d'$

$\overrightarrow{u},\overrightarrow{u'}$ và $\overrightarrow{{{M}_{0}}M_{0}^{'}}$ đôi một cùng phương

$\left[ \overrightarrow{u};\overrightarrow{u'} \right]=\left[ \overrightarrow{u};\overrightarrow{{{M}_{0}}M_{0}^{'}} \right]=\overrightarrow{0}$

TH2: $d\parallel d'$

$\left\{ \begin{align} & \overrightarrow{u},\overrightarrow{u'}\text{ }cung\_phuong \\ & \overrightarrow{u},\overrightarrow{{{M}_{0}}M_{0}^{'}}\text{ }khong\_cung\_phuong \\ \end{align} \right.$

$\left\{ \begin{align} & \left[ \overrightarrow{u};\overrightarrow{u'} \right]=\overrightarrow{0} \\ & \left[ \overrightarrow{u};\overrightarrow{{{M}_{0}}M_{0}^{'}} \right]\ne \overrightarrow{0} \\ \end{align} \right.$

TH3: $d$ cắt $d'$

$\left\{ \begin{align} & \overrightarrow{u},\overrightarrow{u'}\text{ }khong\_cung\_phuong \\ & \overrightarrow{u},\overrightarrow{u'},\overrightarrow{{{M}_{0}}M_{0}^{'}}\text{ }dong\_phang \\ \end{align} \right.$

$\left\{ \begin{align} & \left[ \overrightarrow{u};\overrightarrow{u'} \right]\ne \overrightarrow{0} \\ & \left[ \overrightarrow{u};\overrightarrow{u'} \right]\overrightarrow{{{M}_{0}}M_{0}^{'}}=0 \\ \end{align} \right.$

TH4: $d$ chéo $d'$

$\overrightarrow{u},\overrightarrow{u'},\overrightarrow{{{M}_{0}}M_{0}^{'}}\text{ }khong\_dong\_phang$

$\left[ \overrightarrow{u};\overrightarrow{u'} \right]\overrightarrow{{{M}_{0}}M_{0}^{'}}\ne 0$

Ví dụ 6. Trong không gian $Oxyz$, chứng minh rằng hai đường thẳng sau vuông góc và chéo nhau ${{\Delta }_{1}}:\left\{ \begin{align} & x=1+t \\ & y=2-t \\ & z=-1+2t \\ \end{align} \right.$ và ${{\Delta }_{2}}:\frac{x-4}{3}=\frac{y+1}{1}=\frac{z}{-1}$

KHOẢNG CÁCH TỪ MỘT ĐIỂM ĐẾN MỘT ĐƯỜNG THẲNG

Cho đường thẳng $\Delta $ đi qua điểm ${{M}_{0}}\left( {{x}_{0}};{{y}_{0}};{{z}_{0}} \right)$ và có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{u}=\left( a;b;c \right)$

Gọi $M\left( x,y,z \right)$ không thuộc $\Delta $. Khi đó khoảng cách từ $M$ đến $\Delta $ ký hiệu là $d\left( M,\Delta \right)$ và được xác định bởi

$d\left( M,\Delta \right)=\frac{\left| \left[ \overrightarrow{{{M}_{0}}M},\overrightarrow{u} \right] \right|}{\left| \overrightarrow{u} \right|}$

Ví dụ 7. Cho $A\left( 1;1;1 \right)$ và $\Delta :\frac{x}{1}=\frac{y-1}{2}=\frac{z+1}{1}$. Tính $d\left( A,\Delta \right)$

KHOẢNG CÁCH GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG CHÉO NHAU

Cho hai đường thẳng chéo nhau, ${{\Delta }_{1}}$ đi qua điểm ${{M}_{1}}\left( {{x}_{1}};{{y}_{1}};{{z}_{1}} \right)$ và có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{u}=\left( {{a}_{1}};{{b}_{1}};{{c}_{1}} \right)$, ${{\Delta }_{2}}$ đi qua điểm ${{M}_{2}}\left( {{x}_{2}};{{y}_{2}};{{z}_{2}} \right)$ và có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{u}=\left( {{a}_{2}};{{b}_{2}};{{c}_{2}} \right)$

Khi đó khoảng cách giữa ${{\Delta }_{1}}$ và ${{\Delta }_{2}}$ ký hiệu là $d\left( {{\Delta }_{1}},{{\Delta }_{2}} \right)$ và được xác định bởi

$d\left( {{\Delta }_{1}},{{\Delta }_{2}} \right)=\frac{\left| \left[ \overrightarrow{{{u}_{1}}},\overrightarrow{{{u}_{2}}} \right]\overrightarrow{{{M}_{1}}{{M}_{2}}} \right|}{\left| \left[ \overrightarrow{{{u}_{1}}},\overrightarrow{{{u}_{2}}} \right] \right|}$

Ví dụ 8. Cho ${{d}_{1}}:\frac{x-2}{-1}=\frac{y-1}{2}=\frac{z-2}{-1}$ và ${{d}_{2}}:\frac{x-1}{2}=\frac{y}{-1}=\frac{z-1}{-1}$. Tính $d\left( {{d}_{1}};{{d}_{2}} \right)$