PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG TRONG KHÔNG GIAN - BÀI TẬP CÓ LỜI GIẢI CHI TIẾT

© Được viết bởi CaolacVC. Blog https://caolacvc.blogspot.com

PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG TRONG KHÔNG GIAN

VECTO CHỈ PHƯƠNG CỦA ĐƯỜNG THẲNG

Vecto $\vec{u}\ne \vec{0}$ được gọi là vecto chỉ phương của đường thẳng $\Delta $ nếu nó có giá song song hoặc trùng với đường thẳng $\Delta $.

PHƯƠNG TRÌNH THAM SỐ CỦA ĐƯỜNG THẲNG

Trong không gian $Oxyz$ cho đường thẳng $\Delta $ đi qua điểm $M\left( {{x}_{0}};{{y}_{0}};{{z}_{0}} \right)$ và nhận véctơ $\overrightarrow{u}=\left( a;b;c \right)$ làm véctơ chỉ phương. Khi đó phương trình tham số của $\Delta $ được cho bởi

$\Delta :\left\{ \begin{align} & x={{x}_{0}}+at \\ & y={{y}_{0}}+bt \\ & z={{z}_{0}}+ct \\ \end{align} \right.,\left( t\in \mathbb{R} \right)$

Ví dụ 1. Viết phương trình tham số của đường thẳng qua $A\left( 1;2;3 \right)$ và có VTCP $\overrightarrow{u}=\left( 1;3;4 \right)$.

Giải.

Phương trình tham số của đường thẳng qua $A\left( 1;2;3 \right)$ và có VTCP $\overrightarrow{u}=\left( 1;3;4 \right)$ có dạng

$\Delta :\left\{ \begin{align} & x=1+t \\ & y=2+3t \\ & z=3+4t \\ \end{align} \right.$.

Ví dụ 2. Viết phương trình tham số của đường thẳng qua hai điểm $A\left( 1;4;3 \right)$ và $B\left( 2;3;5 \right)$.

Giải.

Gọi $\Delta $ là đường thẳng đi qua hai điểm $A,B$.

$\Delta $ có vecto chỉ phương $\overrightarrow{AB}=\left( 1;-1;2 \right)$, khi đó phương trình $\Delta $

$\Delta :\left\{ \begin{align} & x=1+t \\ & y=4-t \\ & z=3+2t \\ \end{align} \right.$.

Ví dụ 3. Viết phương trình tham số của đường thẳng qua $A\left( 1;4;2 \right)$ và vuông góc với mặt phẳng $\left( \alpha \right):2x-3y+z-2=0$.

Giải.

Gọi $\Delta $ là đường thẳng qua $A$ và vuông góc với $\left( \alpha \right)$.

Do $\Delta \bot \left( \alpha \right)$ nên ${{\vec{u}}_{\Delta }}={{\vec{n}}_{\alpha }}=\left( 2;-3;1 \right)$, khi đó phương trình $\Delta $

$\Delta :\left\{ \begin{align} & x=1+2t \\ & y=4-3t \\ & z=2+t \\ \end{align} \right.$.

PHƯƠNG TRÌNH CHÍNH TẮC CỦA ĐƯỜNG THẲNG

Trong không gian $Oxyz$ cho đường thẳng $\Delta $ đi qua điểm $M\left( {{x}_{0}};{{y}_{0}};{{z}_{0}} \right)$ và nhận véctơ $\overrightarrow{u}=\left( a;b;c \right),abc\ne 0$ làm véctơ chỉ phương. Khi đó phương trình chính tắc của $\Delta $ được cho bởi

$\Delta :\frac{x-{{x}_{0}}}{a}=\frac{y-{{y}_{0}}}{b}=\frac{z-{{z}_{0}}}{c}$

Ví dụ 4. Viết phương trình chính tắc của đường thẳng qua $A\left( 1;2;-1 \right)$ và có VTCP $\overrightarrow{u}=\left( -2;3;5 \right)$.

Giải.

Phương trình chính tắc của đường thẳng qua $A\left( 1;2;-1 \right)$ và có VTCP $\overrightarrow{u}=\left( -2;3;5 \right)$

$\Delta :\frac{x-1}{-2}=\frac{y-2}{3}=\frac{z+1}{5}$.

HAI ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC

Trong không gian $Oxyz$, cho ${{\Delta }_{1}},{{\Delta }_{2}}$ lần lượt có vecto chỉ phương là ${{\vec{u}}_{1}}=\left( {{a}_{1}};{{b}_{1}};{{c}_{1}} \right),{{\vec{u}}_{2}}=\left( {{a}_{2}};{{b}_{2}};{{c}_{2}} \right)$. Khi đó:

${{\Delta }_{1}}\bot {{\Delta }_{2}}\Leftrightarrow {{\vec{u}}_{1}}\bot {{\vec{u}}_{2}}\Leftrightarrow {{a}_{1}}{{a}_{2}}+{{b}_{1}}{{b}_{2}}+{{c}_{1}}{{c}_{2}}=0$

Ví dụ 5. Trong không gian $Oxyz$, chứng minh rằng hai đường thẳng sau vuông góc với nhau ${{\Delta }_{1}}:\left\{ \begin{align} & x=1+2t \\ & y=-1-3t \\ & z=2-t \\ \end{align} \right.$, ${{\Delta }_{2}}:\left\{ \begin{align} & x=2+t \\ & y=1-2t \\ & z=3+8t \\ \end{align} \right.$

Giải.

${{\Delta }_{1}}$ có vecto chỉ phương ${{\vec{u}}_{1}}=\left( 2;-3;-1 \right)$

${{\Delta }_{2}}$ có vecto chỉ phương ${{\vec{u}}_{2}}=\left( 1;-2;8 \right)$

Ta có ${{\vec{u}}_{1}}.{{\vec{u}}_{2}}=2.1+\left( -3 \right)\left( -2 \right)+\left( -1 \right).8=0$ nên ${{\Delta }_{1}}\bot {{\Delta }_{2}}$.

VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA HAI ĐƯỜNG THẲNG

Trong không gian, cho đường thẳng $d$ đi qua điểm ${{M}_{0}}$ và có véctơ chỉ phương là $\overrightarrow{u}$

Cho đường thẳng $d'$ đi qua điểm $M_{0}^{'}$ và có véctơ chỉ phương là $\overrightarrow{u'}$

TH1: $d\equiv d'$

$\overrightarrow{u},\overrightarrow{u'}$ và $\overrightarrow{{{M}_{0}}M_{0}^{'}}$ đôi một cùng phương

$\left[ \overrightarrow{u};\overrightarrow{u'} \right]=\left[ \overrightarrow{u};\overrightarrow{{{M}_{0}}M_{0}^{'}} \right]=\overrightarrow{0}$

TH2: $d\parallel d'$

$\left\{ \begin{align} & \overrightarrow{u},\overrightarrow{u'}\text{ }cung\_phuong \\ & \overrightarrow{u},\overrightarrow{{{M}_{0}}M_{0}^{'}}\text{ }khong\_cung\_phuong \\ \end{align} \right.$

$\left\{ \begin{align} & \left[ \overrightarrow{u};\overrightarrow{u'} \right]=\overrightarrow{0} \\ & \left[ \overrightarrow{u};\overrightarrow{{{M}_{0}}M_{0}^{'}} \right]\ne \overrightarrow{0} \\ \end{align} \right.$

TH3: $d$ cắt $d'$

$\left\{ \begin{align} & \overrightarrow{u},\overrightarrow{u'}\text{ }khong\_cung\_phuong \\ & \overrightarrow{u},\overrightarrow{u'},\overrightarrow{{{M}_{0}}M_{0}^{'}}\text{ }dong\_phang \\ \end{align} \right.$

$\left\{ \begin{align} & \left[ \overrightarrow{u};\overrightarrow{u'} \right]\ne \overrightarrow{0} \\ & \left[ \overrightarrow{u};\overrightarrow{u'} \right]\overrightarrow{{{M}_{0}}M_{0}^{'}}=0 \\ \end{align} \right.$

TH4: $d$ chéo $d'$

$\overrightarrow{u},\overrightarrow{u'},\overrightarrow{{{M}_{0}}M_{0}^{'}}\text{ }khong\_dong\_phang$

$\left[ \overrightarrow{u};\overrightarrow{u'} \right]\overrightarrow{{{M}_{0}}M_{0}^{'}}\ne 0$

Ví dụ 6. Trong không gian $Oxyz$, chứng minh rằng hai đường thẳng sau vuông góc và chéo nhau ${{\Delta }_{1}}:\left\{ \begin{align} & x=1+t \\ & y=2-t \\ & z=-1+2t \\ \end{align} \right.$ và ${{\Delta }_{2}}:\frac{x-4}{3}=\frac{y+1}{1}=\frac{z}{-1}$

KHOẢNG CÁCH TỪ MỘT ĐIỂM ĐẾN MỘT ĐƯỜNG THẲNG

Cho đường thẳng $\Delta $ đi qua điểm ${{M}_{0}}\left( {{x}_{0}};{{y}_{0}};{{z}_{0}} \right)$ và có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{u}=\left( a;b;c \right)$

Gọi $M\left( x,y,z \right)$ không thuộc $\Delta $. Khi đó khoảng cách từ $M$ đến $\Delta $ ký hiệu là $d\left( M,\Delta \right)$ và được xác định bởi

$d\left( M,\Delta \right)=\frac{\left| \left[ \overrightarrow{{{M}_{0}}M},\overrightarrow{u} \right] \right|}{\left| \overrightarrow{u} \right|}$

Ví dụ 7. Cho $A\left( 1;1;1 \right)$ và $\Delta :\frac{x}{1}=\frac{y-1}{2}=\frac{z+1}{1}$. Tính $d\left( A,\Delta \right)$

KHOẢNG CÁCH GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG CHÉO NHAU

Cho hai đường thẳng chéo nhau, ${{\Delta }_{1}}$ đi qua điểm ${{M}_{1}}\left( {{x}_{1}};{{y}_{1}};{{z}_{1}} \right)$ và có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{u}=\left( {{a}_{1}};{{b}_{1}};{{c}_{1}} \right)$, ${{\Delta }_{2}}$ đi qua điểm ${{M}_{2}}\left( {{x}_{2}};{{y}_{2}};{{z}_{2}} \right)$ và có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{u}=\left( {{a}_{2}};{{b}_{2}};{{c}_{2}} \right)$

Khi đó khoảng cách giữa ${{\Delta }_{1}}$ và ${{\Delta }_{2}}$ ký hiệu là $d\left( {{\Delta }_{1}},{{\Delta }_{2}} \right)$ và được xác định bởi

$d\left( {{\Delta }_{1}},{{\Delta }_{2}} \right)=\frac{\left| \left[ \overrightarrow{{{u}_{1}}},\overrightarrow{{{u}_{2}}} \right]\overrightarrow{{{M}_{1}}{{M}_{2}}} \right|}{\left| \left[ \overrightarrow{{{u}_{1}}},\overrightarrow{{{u}_{2}}} \right] \right|}$

Ví dụ 8. Cho ${{d}_{1}}:\frac{x-2}{-1}=\frac{y-1}{2}=\frac{z-2}{-1}$ và ${{d}_{2}}:\frac{x-1}{2}=\frac{y}{-1}=\frac{z-1}{-1}$. Tính $d\left( {{d}_{1}};{{d}_{2}} \right)$

---

Bài tập phương trình đường thẳng trong không gian $Oxyz$ (có lời giải chi tiết)

DẠNG 1. VIẾT PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG QUA 1 ĐIỂM VÀ CÓ 1 VTCP

Ví dụ 1. Viết phương trình tham số, phương trình chính tắc (nếu có) của đường thẳng qua $A\left( 1;2;3 \right)$ và có véctơ chỉ phương $\overrightarrow{u}=\left( -1;2;4 \right)$

+) Phương trình tham số của đường thẳng $\Delta $ qua $A\left( 1;2;3 \right)$ và có véctơ chỉ phương $\overrightarrow{u}=\left( -1;2;4 \right)$ có dạng

$\Delta :\left\{ \begin{align} & x=1-t \\ & y=2+2t \\ & z=3+4t \\ \end{align} \right.,\left( t\in \mathbb{R} \right)$

+) Phương trình chính tắc của đường thẳng $\Delta $ qua $A\left( 1;2;3 \right)$ và có véctơ chỉ phương $\overrightarrow{u}=\left( -1;2;4 \right)$ có dạng

$\displaystyle \Delta :\frac{x-1}{-1}=\frac{y-2}{2}=\frac{z-3}{4}$

DẠNG 2. VIẾT PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG QUA HAI ĐIỂM A, B

Ví dụ 2. Viết phương trình chính tắc của đường thẳng đi qua $A\left( 1;4;3 \right)$ và $B\left( 2;3;5 \right)$

Đường thẳng $\Delta $ qua đi qua hai điểm $A\left( 1;4;3 \right)$ và $B\left( 2;3;5 \right)$ có véctơ chỉ phương là $\overrightarrow{AB}=\left( 1;-1;2 \right)$

Phương trình chính tắc của đường thẳng $\Delta $ qua $A\left( 1;4;3 \right)$ và có véctơ chỉ phương $\overrightarrow{AB}=\left( 1;-1;2 \right)$

$\displaystyle \Delta :\frac{x-1}{1}=\frac{y-4}{-1}=\frac{z-3}{2}$

DẠNG 3. VIẾT PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG QUA 1 ĐIỂM VÀ VUÔNG GÓC VỚI 1 MẶT PHẲNG

Ví dụ 3. Viết phương trình tham số của đường thẳng đi qua $A\left( 1;4;2 \right)$ và vuông góc với mặt phẳng $\left( \alpha \right):2x-3y+z-2=0$

$\left( \alpha \right):2x-3y+z-2=0$ có véctơ pháp tuyến $\overrightarrow{{{n}_{\alpha }}}=\left( 2;-3;1 \right)$

Đường thẳng $\Delta $ vuông góc với $\left( \alpha \right)$ nên có véctơ chỉ phương $\overrightarrow{{{u}_{\Delta }}}=\overrightarrow{{{n}_{\alpha }}}=\left( 2;-3;1 \right)$

Phương trình tham số của đường thẳng $\Delta $ qua $A\left( 1;4;2 \right)$ và có véctơ chỉ phương $\overrightarrow{{{u}_{\Delta }}}=\left( 2;-3;1 \right)$ là

$\Delta :\left\{ \begin{align} & x=1+2t \\ & y=4-3t \\ & z=2+t \\ \end{align} \right.,\left( t\in \mathbb{R} \right)$

DẠNG 4. VIẾT PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG QUA 1 ĐIỂM VÀ SONG SONG VỚI 1 ĐƯỜNG THẲNG

Ví dụ 4. Cho $A\left( 1;-2;-3 \right)$, $B\left( -1;4;1 \right)$ và đường thẳng $\displaystyle d:\frac{x+2}{1}=\frac{y-2}{-1}=\frac{z+3}{2}$. Viết phương trình tham số của đường thẳng đi qua trung điểm của $AB$ và song song với $d$

Gọi $M$ là trung điểm của $AB$, suy ra $M\left( 0;1;-1 \right)$

Đường thẳng $\Delta $ song song với $d$ nên có véctơ chỉ phương $\overrightarrow{u}=\left( 1;-1;2 \right)$

Phương trình tham số của đường thẳng $\Delta $

$\Delta :\left\{ \begin{align} & x=t \\ & y=1-t \\ & z=-1+2t \\\end{align} \right.,\left( t\in \mathbb{R} \right)$

DẠNG 5. VIẾT PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG QUA 1 ĐIỂM VÀ VUÔNG GÓC VỚI 2 ĐƯỜNG THẲNG

Ví dụ 5. Cho $M\left( -1;1;3 \right)$ và hai đường thẳng $\displaystyle {{d}_{1}}:\frac{x-1}{3}=\frac{y+3}{2}=\frac{z-1}{1}$, $\displaystyle {{d}_{2}}:\frac{x+1}{1}=\frac{y}{3}=\frac{z}{-2}$. Viết phương trình tham số của đường thẳng qua $M$ đồng thời vuông góc với ${{d}_{1}},{{d}_{2}}$

+) ${{d}_{1}}$ có véctơ chỉ phương $\overrightarrow{{{u}_{1}}}=\left( 3;2;1 \right)$

+) ${{d}_{2}}$ có véctơ chỉ phương $\overrightarrow{{{u}_{1}}}=\left( 1;3;-2 \right)$

Đường thẳng $\Delta $ vuông góc với ${{d}_{1}},{{d}_{2}}$ nên có véctơ chỉ phương $\overrightarrow{{{u}_{d}}}=\left[ \overrightarrow{{{u}_{1}}};\overrightarrow{{{u}_{2}}} \right]=\left( -7;7;7 \right)$

Hay ta có thể chọn $\overrightarrow{{{u}_{d}}}=\left( -1;1;1 \right)$

Khi đó phương trình của đường thẳng $\Delta $ đi qua $M\left( -1;1;3 \right)$ đồng thời vuông góc với $d_1,d_2$

$\Delta :\left\{ \begin{align} & x=-1-t \\ & y=1+t \\ & z=3+t \\ \end{align} \right.,\left( t\in \mathbb{R} \right)$

DẠNG 6. VIẾT PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG QUA 1 ĐIỂM, SONG SONG 1 MẶT PHẲNG, VUÔNG GÓC 1 ĐƯỜNG THẲNG

Ví dụ 6. Cho đường thẳng $\displaystyle d:\frac{x+1}{1}=\frac{y-1}{1}=\frac{z-2}{3}$ và mặt phẳng $\left( \alpha \right):x-y-z-1=0$. Viết phương trình tham số của đường thẳng đi qua điểm $M\left( 1;1;-2 \right)$, song song với $\left( \alpha \right)$ và vuông góc với $d$

$\left( \alpha \right)$ có véctơ pháp tuyến $\overrightarrow{{{n}_{\alpha }}}=\left( 1;-1;-1 \right)$

$d$ có véctơ chỉ phương $\overrightarrow{{{u}_{d}}}=\left( 2;1;3 \right)$

Đường thẳng $\Delta $ song song với $\left( \alpha \right)$ và vuông góc với $d$ nên có véctơ chỉ phương $\overrightarrow{{{n}_{\Delta }}}=\left[ \overrightarrow{{{n}_{\alpha }}};\overrightarrow{{{u}_{d}}} \right]=\left( -2;-5;3 \right)$

Phương trình tham số của đường thẳng $\Delta $ qua $M\left( 1;1;-2 \right)$, song song với $\left( \alpha \right)$ và vuông góc với $d$

$\Delta :\left\{ \begin{align} & x=1-2t \\ & y=1-5t \\ & z=-2+3t \\ \end{align} \right.,\left( t\in \mathbb{R} \right)$

DẠNG 7. VIẾT PHƯƠNG TRÌNH GIAO TUYẾN CỦA 2 MẶT PHẲNG

Ví dụ 7. Viết phương trình giao tuyến của hai mặt phẳng $\left( \alpha \right):6x+2y+2z+3=0$ và $\left( \beta \right):3x-5y-2z-1=0$

Gọi $\Delta $ là giao tuyến của $\left( \alpha \right)$ và $\left( \beta \right)$

Cho $z=0$, khi đó ta có hệ phương trình

$\left\{ \begin{align} & 6x+2y+3=0 \\ & 3x-5y-1=0 \\ \end{align} \right.$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{align} & x=-\frac{13}{36} \\ & y=-\frac{5}{12} \\ \end{align} \right.$

Suy ra $M\left( -\frac{13}{36};-\frac{5}{12};0 \right)\in \Delta $, do toạ độ của $M$ đều thoả $\left( \alpha \right)$ và $\left( \beta \right)$

+) Nhận xét, véctơ chỉ phương của giao tuyến $\Delta $ là tích có hương của hai véctơ phảp tuyến của hai mặt phẳng $\left( \alpha \right)$ và $\left( \beta \right)$

$\left( \alpha \right)$ có véctơ pháp tuyến $\overrightarrow{{{n}_{\alpha }}}=\left( 6;2;2 \right)$ hay ta chọn $\overrightarrow{{{n}_{\alpha }}}=\left( 3;1;1 \right)$

$\left( \beta \right)$ có véctơ pháp tuyến $\overrightarrow{{{n}_{\beta }}}=\left( 3;-5;-2 \right)$

Khi đó véctơ chỉ phương của $\Delta $: $\overrightarrow{{{n}_{\Delta }}}=\left[ \overrightarrow{{{n}_{\alpha }}};\overrightarrow{{{n}_{\beta }}} \right]=\left( 3;9;-18 \right)$

Hay ta có thể chọn $\overrightarrow{{{n}_{\Delta }}}=\left( 1;3;-6 \right)$

Phương trình tham số của giao tuyến $\Delta $ là

$\Delta :\left\{ \begin{align} & x=-\frac{13}{36}+t \\ & y=-\frac{5}{12}+3t \\ & z=-6t \\ \end{align} \right.,\left( t\in \mathbb{R} \right)$

DẠNG 8. VIẾT PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG QUA 1 ĐIỂM VÀ SONG SONG VỚI GIAO TUYẾN CỦA 2 MẶT PHẲNG

Ví dụ 8. Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm $A\left( 1;2;-1 \right)$ và song song với giao tuyến của hai mặt phẳng $\left( \alpha \right):x+y-z+3=0$ và $\left( \beta \right):2x-y+5z-4=0$

+) Véctơ pháp tuyến của $\left( \alpha \right)$: $\overrightarrow{{{n}_{\alpha }}}=\left( 1;1;-1 \right)$

+) Véctơ pháp tuyến của $\left( \beta \right)$: $\overrightarrow{{{n}_{\beta }}}=\left( 2;-1;5 \right)$

Vì $\Delta $ song song với giao tuyến của $\left( \alpha \right)$ và $\left( \beta \right)$ nên có véctơ pháp tuyến $\overrightarrow{{{n}_{\Delta }}}=\left[ \overrightarrow{{{n}_{\alpha }}};\overrightarrow{{{n}_{\beta }}} \right]=\left( 4;-7;3 \right)$

Khi đó $\Delta :\left\{ \begin{align} & x=1+4t \\ & y=2-7t \\ & z=-1-3t \\ \end{align} \right.$

DẠNG 9. VIẾT PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG QUA 1 ĐIỂM VÀ SONG SONG VỚI 2 MẶT PHẲNG

Ví dụ 9. Trong không gian $Oxyz$. Viết phương trình đường thẳng đi qua $A\left( 1;0;-3 \right)$ và song song với hai mặt phẳng $\left( Oxy \right)$ và $\left( Oxz \right)$

+) $\left( Oxy \right):z=0$ có VTPT $\overrightarrow{{{n}_{1}}}=\left( 0;0;1 \right)$

+) $\left( Oxz \right):y=0$ có VTPT $\overrightarrow{{{n}_{2}}}=\left( 0;1;0 \right)$

Vì $\Delta $ song song $\left( Oxy \right)$ và $\left( Oxz \right)$ nên có VTPT $\overrightarrow{{{n}_{\Delta }}}=\left[ \overrightarrow{{{n}_{1}}};\overrightarrow{{{n}_{2}}} \right]=\left( -1;0;0 \right)$

Khi đó $\Delta :\left\{ \begin{align} & x=1-t \\ & y=0 \\ & z=-3 \\ \end{align} \right.$

DẠNG 10. VIẾT PHƯƠNG TRÌNH HÌNH CHIẾU CỦA ĐƯỜNG THẲNG LÊN MẶT PHẲNG

Ví dụ 10. Trong không gian $Oxyz$, cho mặt phẳng $\left( P \right):x+y+z-3=0$ và đường thẳng $\displaystyle d:\frac{x}{1}=\frac{y+1}{2}=\frac{z-2}{-1}$. Viết phương trình hình chiếu vuông góc ${d}'$ của $d$ lên $\left( P \right)$ .

Tham số $d:\left\{ \begin{align} & x=t \\ & y=-1+2t \\ & z=2-t \\ \end{align} \right.$

Gọi $M=d\cap \left( P \right)$. Khi đó $M\left( t;-1+2t;2-t \right)$

Suy ra: $t+\left( -1+2t \right)+\left( 2-t \right)=0\Leftrightarrow t=1$

Suy ra: $M\left( 1;1;1 \right)$

Gọi $\left( Q \right)$ là mặt phẳng chứa $d$ và vuông góc với $\left( P \right)$. Khi đó, hình chiếu vuông góc ${d}'$ của $d$ lên $\left( P \right)$ chính là giao tuyến của $\left( P \right)$ và $\left( Q \right)$, hay ${d}'=\left( P \right)\cap \left( Q \right)$.

Suy ra $\overrightarrow{{{u}_{{{d}'}}}}=\left[ \overrightarrow{{{n}_{P}}};\overrightarrow{{{n}_{Q}}} \right]$, trong đó $\overrightarrow{{{n}_{Q}}}=\left[ \overrightarrow{{{n}_{P}}};\overrightarrow{{{u}_{d}}} \right]$, với $\overrightarrow{{{n}_{P}}}=\left( 1;1;1 \right)$ và $\overrightarrow{{{u}_{d}}}=\left( 1;2;-1 \right)$

Ta tính $\overrightarrow{{{n}_{Q}}}=\left[ \overrightarrow{{{n}_{P}}};\overrightarrow{{{u}_{d}}} \right]=\left( -3;2;1 \right)$

Ta tính $\overrightarrow{{{u}_{{{d}'}}}}=\left[ \overrightarrow{{{n}_{P}}};\overrightarrow{{{n}_{Q}}} \right]=\left( -1;-4;5 \right)$

Khi đó ${d}'$ qua $M\left( 1;1;1 \right)$ và có VTCP $\overrightarrow{{{u}_{{{d}'}}}}=\left( -1;-4;5 \right)$

Suy ra $\displaystyle {d}':\frac{x-1}{-1}=\frac{y-1}{-4}=\frac{z-1}{5}$

Nhận xét. Xác định nhanh phương trình hình chiếu vuông góc của đường thẳng lên mặt phẳng

Bước 1. Tìm giao điểm chung

Bước 2. Xác định VTCP của hình chiếu theo công thức: $\overrightarrow{{{u}_{{{d}'}}}}=\left[ \overrightarrow{{{n}_{P}}};\left[ \overrightarrow{{{n}_{P}}};\overrightarrow{{{u}_{d}}} \right] \right]$