PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG TRONG KHÔNG GIAN

VECTO CHỈ PHƯƠNG CỦA ĐƯỜNG THẲNG

Vecto $\vec{u} \neq \vec{0}$ được gọi là vecto chỉ phương của đường thẳng $Δ$ nếu nó có giá song song hoặc trùng với đường thẳng $Δ$ .

PHƯƠNG TRÌNH THAM SỐ CỦA ĐƯỜNG THẲNG

Trong không gian $O x y z$ cho đường thẳng $Δ$ đi qua điểm $M (x_{0}; y_{0}; z_{0})$ và nhận véctơ $\vec{u} = (a; b; c)$ làm véctơ chỉ phương. Khi đó phương trình tham số của $Δ$ được cho bởi

$Δ : {\begin{aligned} x = x_{0} + a t \\ y = y_{0} + b t \\ z = z_{0} + c t \end{aligned}, (t \in R)$

Ví dụ 1. Viết phương trình tham số của đường thẳng qua $A (1; 2; 3)$ và có VTCP $\vec{u} = (1; 3; 4)$ .

Giải.

Phương trình tham số của đường thẳng qua $A (1; 2; 3)$ và có VTCP $\vec{u} = (1; 3; 4)$ có dạng

$Δ : {\begin{aligned} x = 1 + t \\ y = 2 + 3 t \\ z = 3 + 4 t \end{aligned}$ .

Ví dụ 2. Viết phương trình tham số của đường thẳng qua hai điểm $A (1; 4; 3)$ và $B (2; 3; 5)$ .

Giải.

Gọi $Δ$ là đường thẳng đi qua hai điểm $A, B$ .

$Δ$ có vecto chỉ phương $\vec{A B} = (1; - 1; 2)$ , khi đó phương trình $Δ$

$Δ : {\begin{aligned} x = 1 + t \\ y = 4 - t \\ z = 3 + 2 t \end{aligned}$ .

Ví dụ 3. Viết phương trình tham số của đường thẳng qua $A (1; 4; 2)$ và vuông góc với mặt phẳng $(α) : 2 x - 3 y + z - 2 = 0$ .

Giải.

Gọi $Δ$ là đường thẳng qua $A$ và vuông góc với $(α)$ .

Do $Δ ⊥ (α)$ nên ${\vec{u}}_{Δ} = {\vec{n}}_{α} = (2; - 3; 1)$ , khi đó phương trình $Δ$

$Δ : {\begin{aligned} x = 1 + 2 t \\ y = 4 - 3 t \\ z = 2 + t \end{aligned}$ .

PHƯƠNG TRÌNH CHÍNH TẮC CỦA ĐƯỜNG THẲNG

Trong không gian $O x y z$ cho đường thẳng $Δ$ đi qua điểm $M (x_{0}; y_{0}; z_{0})$ và nhận véctơ $\vec{u} = (a; b; c), a b c \neq 0$ làm véctơ chỉ phương. Khi đó phương trình chính tắc của $Δ$ được cho bởi

$Δ : \frac{x - x_{0}}{a} = \frac{y - y_{0}}{b} = \frac{z - z_{0}}{c}$

Ví dụ 4. Viết phương trình chính tắc của đường thẳng qua $A (1; 2; - 1)$ và có VTCP $\vec{u} = (- 2; 3; 5)$ .

Giải.

Phương trình chính tắc của đường thẳng qua $A (1; 2; - 1)$ và có VTCP $\vec{u} = (- 2; 3; 5)$

$Δ : \frac{x - 1}{- 2} = \frac{y - 2}{3} = \frac{z + 1}{5}$ .

HAI ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC

Trong không gian $O x y z$ , cho $Δ_{1}, Δ_{2}$ lần lượt có vecto chỉ phương là ${\vec{u}}_{1} = (a_{1}; b_{1}; c_{1}), {\vec{u}}_{2} = (a_{2}; b_{2}; c_{2})$ . Khi đó:

$Δ_{1} ⊥ Δ_{2} \Leftrightarrow {\vec{u}}_{1} ⊥ {\vec{u}}_{2} \Leftrightarrow a_{1} a_{2} + b_{1} b_{2} + c_{1} c_{2} = 0$

Ví dụ 5. Trong không gian $O x y z$ , chứng minh rằng hai đường thẳng sau vuông góc với nhau $Δ_{1} : {\begin{aligned} x = 1 + 2 t \\ y = - 1 - 3 t \\ z = 2 - t \end{aligned}$ , $Δ_{2} : {\begin{aligned} x = 2 + t \\ y = 1 - 2 t \\ z = 3 + 8 t \end{aligned}$

Giải.

$Δ_{1}$ có vecto chỉ phương ${\vec{u}}_{1} = (2; - 3; - 1)$

$Δ_{2}$ có vecto chỉ phương ${\vec{u}}_{2} = (1; - 2; 8)$

Ta có ${\vec{u}}_{1} . {\vec{u}}_{2} = 2.1 + (- 3) (- 2) + (- 1) .8 = 0$ nên $Δ_{1} ⊥ Δ_{2}$ .

VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA HAI ĐƯỜNG THẲNG

Trong không gian, cho đường thẳng $d$ đi qua điểm $M_{0}$ và có véctơ chỉ phương là $\vec{u}$

Cho đường thẳng $d^{'}$ đi qua điểm $M_{0}^{^{'}}$ và có véctơ chỉ phương là $\vec{u^{'}}$

TH1: $d \equiv d^{'}$

$\vec{u}, \vec{u^{'}}$ và $\vec{M_{0} M_{0}^{^{'}}}$ đôi một cùng phương

$[\vec{u}; \vec{u^{'}}] = [\vec{u}; \vec{M_{0} M_{0}^{^{'}}}] = \vec{0}$

TH2: $d ∥ d^{'}$

${\begin{aligned} \vec{u}, \vec{u^{'}} c u n g_p h u o n g \\ \vec{u}, \vec{M_{0} M_{0}^{^{'}}} k h o n g_c u n g_p h u o n g \end{aligned}$

${\begin{aligned} [\vec{u}; \vec{u^{'}}] = \vec{0} \\ [\vec{u}; \vec{M_{0} M_{0}^{^{'}}}] \neq \vec{0} \end{aligned}$

TH3: $d$ cắt $d^{'}$

${\begin{aligned} \vec{u}, \vec{u^{'}} k h o n g_c u n g_p h u o n g \\ \vec{u}, \vec{u^{'}}, \vec{M_{0} M_{0}^{^{'}}} d o n g_p h a n g \end{aligned}$

${\begin{aligned} [\vec{u}; \vec{u^{'}}] \neq \vec{0} \\ [\vec{u}; \vec{u^{'}}] \vec{M_{0} M_{0}^{^{'}}} = 0 \end{aligned}$

TH4: $d$ chéo $d^{'}$

$\vec{u}, \vec{u^{'}}, \vec{M_{0} M_{0}^{^{'}}} k h o n g_d o n g_p h a n g$

$[\vec{u}; \vec{u^{'}}] \vec{M_{0} M_{0}^{^{'}}} \neq 0$

Ví dụ 6. Trong không gian $O x y z$ , chứng minh rằng hai đường thẳng sau vuông góc và chéo nhau $Δ_{1} : {\begin{aligned} x = 1 + t \\ y = 2 - t \\ z = - 1 + 2 t \end{aligned}$ và $Δ_{2} : \frac{x - 4}{3} = \frac{y + 1}{1} = \frac{z}{- 1}$

KHOẢNG CÁCH TỪ MỘT ĐIỂM ĐẾN MỘT ĐƯỜNG THẲNG

Cho đường thẳng $Δ$ đi qua điểm $M_{0} (x_{0}; y_{0}; z_{0})$ và có vectơ chỉ phương $\vec{u} = (a; b; c)$

Gọi $M (x, y, z)$ không thuộc $Δ$ . Khi đó khoảng cách từ $M$ đến $Δ$ ký hiệu là $d (M, Δ)$ và được xác định bởi

$d (M, Δ) = \frac{| [\vec{M_{0} M}, \vec{u}] |}{| \vec{u} |}$

Ví dụ 7. Cho $A (1; 1; 1)$ và $Δ : \frac{x}{1} = \frac{y - 1}{2} = \frac{z + 1}{1}$ . Tính $d (A, Δ)$

KHOẢNG CÁCH GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG CHÉO NHAU

Cho hai đường thẳng chéo nhau, $Δ_{1}$ đi qua điểm $M_{1} (x_{1}; y_{1}; z_{1})$ và có vectơ chỉ phương $\vec{u} = (a_{1}; b_{1}; c_{1})$ , $Δ_{2}$ đi qua điểm $M_{2} (x_{2}; y_{2}; z_{2})$ và có vectơ chỉ phương $\vec{u} = (a_{2}; b_{2}; c_{2})$

Khi đó khoảng cách giữa $Δ_{1}$ và $Δ_{2}$ ký hiệu là $d (Δ_{1}, Δ_{2})$ và được xác định bởi

$d (Δ_{1}, Δ_{2}) = \frac{| [\vec{u_{1}}, \vec{u_{2}}] \vec{M_{1} M_{2}} |}{| [\vec{u_{1}}, \vec{u_{2}}] |}$

Ví dụ 8. Cho $d_{1} : \frac{x - 2}{- 1} = \frac{y - 1}{2} = \frac{z - 2}{- 1}$ và $d_{2} : \frac{x - 1}{2} = \frac{y}{- 1} = \frac{z - 1}{- 1}$ . Tính $d (d_{1}; d_{2})$

PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG TRONG KHÔNG GIAN

PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG TRONG KHÔNG GIAN

VECTO CHỈ PHƯƠNG CỦA ĐƯỜNG THẲNG

PHƯƠNG TRÌNH THAM SỐ CỦA ĐƯỜNG THẲNG

PHƯƠNG TRÌNH CHÍNH TẮC CỦA ĐƯỜNG THẲNG

HAI ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC