© Được viết bởi CaolacVC. Blog https://caolacvc.blogspot.com

PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG TRONG KHÔNG GIAN

VÉCTƠ PHÁP TUYẾN CỦA MẶT PHẲNG

Cho mặt phẳng $\left( \alpha \right)$, nếu véctơ $\overrightarrow{n}\ne \overrightarrow{0}$ có giá vuông góc với mặt phẳng $\left( \alpha \right)$ thì $\overrightarrow{n}$ được gọi là véctơ pháp tuyến của mặt phẳng $\left( \alpha \right)$

Nhận xét. Một mặt phẳng có vô số véctơ pháp tuyến, các véctơ pháp tuyến này cùng phương với nhau

TÍCH CÓ HƯỚNG

Trong không gian $Oxyz$, cho hai véctơ $\vec{u}=\left( a;b;c \right)$ và $\vec{v}=\left( {a}';{b}';{c}' \right)$, khi đó véctơ $\vec{n}=\left( \left| \begin{matrix} b & c \\ {{b}'} & {{c}'} \\ \end{matrix} \right|;\left| \begin{matrix} c & a \\ {{c}'} & {{a}'} \\ \end{matrix} \right|;\left| \begin{matrix} a & b \\ {{a}'} & {{b}'} \\ \end{matrix} \right| \right)$ và vuông góc với hai véctơ $\vec{u},\vec{v}$, được gọi là tích có hướng của $\vec{u}$ và $\vec{v}$, kí hiệu $\left[ \vec{u},\vec{v} \right]$

Ví dụ.Trong không gian $Oxyz$, cho $\vec{u}=\left( 1;-2;0 \right)$ và $\vec{v}=\left( 3;1;-4 \right)$. Tính $\left[ \vec{u},\vec{v} \right]$

Lời giải

Ta có $\left[ \vec{u},\vec{v} \right]=\left( \left| \begin{matrix} -2 & 0 \\ 1 & -4 \\ \end{matrix} \right|;\left| \begin{matrix} 0 & 1 \\ -4 & 3 \\ \end{matrix} \right|;\left| \begin{matrix} 1 & -2 \\ 3 & 1 \\ \end{matrix} \right| \right)=\left( 8;4;7 \right)$

CẶP VÉCTƠ CHỈ PHƯƠNG

Trong không gian $Oxyz$, hai véctơ $\vec{u}$ và $\vec{v}$ được gọi là cặp véctơ chỉ phương của mặt phẳng $\left( \alpha \right)$ nếu chúng không cùng phương và có giá nằm trong hoặc song song với mặt phẳng $\left( \alpha \right)$.

Nếu $\vec{u},\vec{v}$ là cặp véctơ chỉ phương của $\left( \alpha \right)$ thì $\left[ \vec{u},\vec{v} \right]$ là một véctơ pháp tuyến của mặt phẳng $\left( \alpha \right)$

PHƯƠNG TRÌNH TỔNG QUÁT CỦA MẶT PHẲNG

Trong không gian $Oxyz$, mỗi mặt phẳng đều có phương trình dạng $Ax+By+Cz+D=0$, trong đó $A,B,C$ không đồng thồi bằng $0$, được gọi là phương trình tổng quát của mặt phẳng đó.

Phương trình tổng quát của mặt phẳng có dạng $\left( \alpha \right):Ax+By+Cz+D=0$, trong dó $A,B,C$ không đồng thời bằng $0$ nhận$\overrightarrow{n}=\left( A;B;C \right)$ làm một véctơ pháp tuyến.

Một số trường hợp đặc biệt của mặt phẳng

Điều kiện	Dạng	Tính chất
$D=0$	$\left( \alpha \right):Ax+By+Cz=0$	$\left( \alpha \right)$ đi qua gốc toạ độ
$A=0$	$\left( \alpha \right):By+Cz+D=0$	$\left( \alpha \right)$ song song hoặc chứa $Ox$
$B=0$	$\left( \alpha \right):Ax+Cz+D=0$	$\left( \alpha \right)$ song song hoặc chứa $Oy$
$C=0$	$\left( \alpha \right):Ax+By+D=0$	$\left( \alpha \right)$ song song hoặc chứa $Oz$
$\left\{ \begin{aligned} & A=0 \\ &B=0 \end{aligned} \right.$	$\left( \alpha \right):Cz+D=0$	$\left( \alpha \right)$ song song hoặc trùng với $\left(Oxy \right)$
$\left\{ \begin{aligned} & A=0 \\ &C=0 \end{aligned} \right.$	$\left( \alpha \right):By+D=0$	$\left( \alpha \right)$ song song hoặc trùng với $\left(Oxz \right)$
$\left\{ \begin{aligned} & B=0 \\ &C=0 \end{aligned} \right.$	$\left( \alpha \right):Ax+D=0$	$\left( \alpha \right)$ song song hoặc trùng với $\left(Oyz \right)$

Các mặt phẳng toạ độ

Phương trình	Mặt phẳng
$z=0$	$\left( Oxy \right)$
$y=0$	$\left( Oxz \right)$
$x=0$	$\left( Oyz \right)$

VIẾT PHƯƠNG TRÌNH TỔNG QUÁT MẶT PHẲNG

Để viết phương trình tổng quát của mặt phẳng, ta cần biết 1 điểm thuộc mặt phẳng và 1 véctơ pháp tuyến của mặt phẳng đó

Cho $\left( \alpha \right)$ đi qua điểm $A\left( {{x}_{0}};{{y}_{0}};{{z}_{0}} \right)$ và có véctơ pháp tuyến $\overrightarrow{n}=\left( A;B;C \right)$. Khi đó phương trình tổng quát của $\left( \alpha \right)$ là $$\left( \alpha \right):A\left( x-{{x}_{0}} \right)+B\left( y-{{y}_{0}} \right)+C\left( z-{{z}_{0}} \right)=0$$

PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG THEO ĐOẠN CHẮN

Phương trình mặt phẳng $\left( \alpha \right)$ cắt các trục toạ độ $Ox,Oy,Oz$ tại các điểm $A\left( a;0;0 \right),B\left( 0;b;0 \right),C\left( 0;0;c \right)$, $abc\ne 0$ có dạng

$$\left( \alpha \right):\frac{x}{a}+\frac{y}{b}+\frac{z}{c}=1$$

ĐIỀU KIỆN ĐỂ HAI MẶT PHẲNG VUÔNG GÓC

Trong không gian $Oxyz$, cho hai mặt phẳng $\left( \alpha \right):Ax+By+Cz+D=0$ và $\left( \beta \right):{A}'x+{B}'y+{C}'z+{D}'=0$, với hai véctơ pháp tuyến $\vec{n}=\left( A;B;C \right)$ và ${\vec{n}}'=\left( {A}';{B}';{C}' \right)$. Khi đó $$\left( \alpha \right)\bot \left( \beta \right)\Leftrightarrow \vec{n}\bot {\vec{n}}'\Leftrightarrow A{A}'+B{B}'+C{C}'=0$$

Chú ý. Nếu hai mặt phẳng vuông góc với nhau thì véctơ pháp tuyến của mặt phẳng này có giá song song hoặc nằm trong mặt phẳng kia.

ĐIỀU KIỆN ĐỂ HAI MẶT PHẲNG SONG SONG

Trong không gian $Oxyz$, cho hai mặt phẳng $\left( \alpha \right):Ax+By+Cz+D=0$ và $\left( \beta \right):{A}'x+{B}'y+{C}'z+{D}'=0$, với hai véctơ pháp tuyến $\vec{n}=\left( A;B;C \right)$ và ${\vec{n}}'=\left( {A}';{B}';{C}' \right)$. Khi đó $\left( \alpha \right)\text{//}\left( \beta \right)$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{align} & {\vec{n}}'=k\vec{n} \\ & {D}'\ne kD \\ \end{align} \right.$ với $k$ nào đó

Chú ý

+) Nếu hai mặt phẳng song song với nhau thì véctơ pháp tuyến của mặt phẳng nằy cũng chính là véctơ pháp tuyến của mặt phẳng kia

Hai mặt phẳng $\left( \alpha \right)$ và $\left( \beta \right)$ trùng nhau khi và chỉ khi tồn tại số $k\ne 0$ sao cho

$${A}'=kA;{B}'=kB;{C}'=kC;{D}'=kD$$

KHOẢNG CÁCH TỪ MỘT ĐIỂM ĐẾN MỘT MẶT PHẲNG

Cho mặt phẳng $\left( \alpha \right):Ax+By+Cz+D=0$ và điểm $M\left( {{x}_{0}};{{y}_{0}};{{z}_{0}} \right)$. Khi đó khoảng cách từ điểm $M$ đến mặt phẳng $\left( \alpha \right)$, ký hiệu là $d\left( M,\left( \alpha \right) \right)$ và được xác định bởi $$d\left( M,\left( \alpha \right) \right)=\frac{\left| A{{x}_{0}}+B{{y}_{0}}+C{{z}_{0}}+D \right|}{\sqrt{{{A}^{2}}+{{B}^{2}}+{{C}^{2}}}}$$

Ví dụ Cho $A\left( 1;2;3 \right)$ và $\left( \alpha \right):2x-y+3z-1=0$. Tính $d\left( A,\left( \alpha \right) \right)$

Lời giải

$$d\left( A,\left( \alpha \right) \right)=\frac{\left| 2\cdot 1-2+3\cdot 3-1 \right|}{\sqrt{{{2}^{2}}+{{\left( -1 \right)}^{2}}+{{3}^{2}}}}=\frac{4\sqrt{14}}{7}$$