© Được viết bởi CaolacVC. Blog https://caolacvc.blogspot.com

VÔ CÙNG BÉ (INFINITESIMAL)

Ta có thể hiểu khái niệm vô cùng bé này là một giá trị rất nhỏ, tiệm cận đến $0$ nhưng không bằng $0$. Trong ngữ cảnh toán học, một đại lượng vô cùng bé có thể được sử dụng để mô tả sự thay đổi rất nhỏ trong các biến số hoặc hàm.

Hàm số $\alpha \left( x \right)$ được gọi là vô cùng bé (VCB) khi $x\to {{x}_{0}}$ nếu $\displaystyle \underset{x\to {{x}_{0}}}{\mathop{\lim }}\,\alpha \left( x \right)=0$

Hàm số $\alpha \left( x \right)$ được gọi là vô cùng lớn (VCL) khi $x\to {{x}_{0}}$ nếu $\displaystyle \underset{x\to {{x}_{0}}}{\mathop{\lim }}\,\alpha \left( x \right)=\infty $

Cho ${{\alpha }_{1}}\left( x \right),{{\alpha }_{2}}\left( x \right)$ là các VCB khi $x\to {{x}_{0}}$, đặt $\displaystyle \underset{x\to {{x}_{0}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{{{\alpha }_{1}}\left( x \right)}{{{\alpha }_{2}}\left( x \right)}=k$

+) Nếu $k=0$, ta nói ${{\alpha }_{1}}\left( x \right)$ là VCB bậc cao nhơn ${{\alpha }_{2}}\left( x \right)$

+) Nếu $k\ne 0,k\ne \infty $, ta nói ${{\alpha }_{1}}\left( x \right)$ là VCB cùng bậc ${{\alpha }_{2}}\left( x \right)$

+) Nếu $k=1$, ta nói ${{\alpha }_{1}}\left( x \right)$ tương đương ${{\alpha }_{2}}\left( x \right)$, ta viết ${{\alpha }_{1}}\left( x \right)\sim {{\alpha }_{2}}\left( x \right)$

Các ví dụ về vô cùng bé, vô cùng bé tương đương

Ví dụ về các VCB, VCL

$x,{{x}^{2}},{{x}^{3}},\ldots ,\sin x,{{e}^{x}}-1,\ldots $ là các VCB khi $x\to 0$

$x,{{x}^{2}},{{x}^{3}},\ldots ,{{e}^{x}},\ln x,\ldots $ là các VCL khi $x\to +\infty $

Ví dụ về VCB tương đương

Vì $\displaystyle \underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{\sin x}{x}=1$ nên $\sin x\sim x$ khi $x\to 0$

Tương tự, ta cũng có các VCB tương đương cần ghi nhớ

$\sin x\sim x$ khi $x\to 0$

$\tan x\sim x$ khi $x\to 0$

$\left( 1-\cos x \right)\sim \frac{1}{2}{{x}^{2}}$ khi $x\to 0$

$\arcsin x\sim x$ khi $x\to 0$

$\ln \left( 1+x \right)\sim x$ khi $x\to 0$

$\left( {{e}^{x}}-1 \right)\sim x$ khi $x\to 0$

$\left[ {{\left( 1+x \right)}^{a}}-1 \right]\sim ax$ khi $x\to 0$

Một số tính chất

Nếu ${{\alpha }_{2}}\left( x \right)$ là VCB bậc cao hơn ${{\alpha }_{1}}\left( x \right)$ khi $x\to {{x}_{0}}$, suy ra ${{\alpha }_{1}}\left( x \right)+{{\alpha }_{2}}\left( x \right)\sim {{\alpha }_{1}}\left( x \right)$ khi $x\to {{x}_{0}}$

Quy tắc tương đương

Nếu $\displaystyle \left\{ \begin{align} & f\left( x \right)\sim \alpha \left( x \right) \\ & g\left( x \right)\sim \beta \left( x \right) \\ \end{align} \right.$, khi $x\to {{x}_{0}}$ thì $$\underset{x\to {{x}_{0}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{f\left( x \right)}{g\left( x \right)}=\underset{x\to {{x}_{0}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{\alpha \left( x \right)}{\beta \left( x \right)}$$

Ví dụ

Tính $\displaystyle \underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{{{e}^{\sin x}}-1}{x\cos x}$

Lời giải

Ta có ${{e}^{\sin x}}\sim \sin x\sim x$ và $x\cos x\sim x$ khi $x\to 0$ nên $\displaystyle \underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{{{e}^{\sin x}}-1}{x\cos x}=\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{x}{x}=1$

Quy tắc L’Hospital

Quy tăc L’Hospital áp dụng cho $\displaystyle \underset{x\to {{x}_{0}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{f\left( x \right)}{g\left( x \right)}$ có dạng vô định $\frac{0}{0}$ hoặc $\frac{\infty }{\infty }$

Nếu tồn tại $\displaystyle \underset{x\to {{x}_{0}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{{f}'\left( x \right)}{{g}'\left( x \right)}$ thì $\displaystyle \underset{x\to {{x}_{0}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{f\left( x \right)}{g\left( x \right)}=\underset{x\to {{x}_{0}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{{f}'\left( x \right)}{{g}'\left( x \right)}$