KHOẢNG BIẾN THIÊN, KHOẢNG TỨ PHÂN VỊ CỦA MSL GHÉP NHÓM

Các số đặc trưng đo mức độ phân tán của MSL ghép nhóm

Khoảng biến thiên

Cho mẫu số liệu ghép nhóm

Nhóm	$[a_1;a_2)$	$\dots$	$[a_i;a_{i+1})$	$\dots$	$[a_k;a_{k+1})$
Tần số	$m_1$	$\dots$	$m_i$	$\dots$	$m_k$

Trong đó các tần số $m_1>0,m_k>0$ và $n=m_1+m_2+\cdots +m_k$ là cỡ mẫu

Khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm trên là $R=a_{k+1}-a_1$

Ý nghĩa. Khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm xấp xỉ cho khoảng biến thiên của mẫu số liệu gốc. Khoảng biến thiên được dùng để đo mức độ phân tán của mẫu số liệu ghép nhóm. Khoảng biến thiên càng lớn thì mẫu số liệu càng phân tán.

Ví dụ 1

Thống kê thời gian sử dụng mạng xã hội trong ngày của các bạn Tổ 1 và Tổ 2 lớp 12A, thu được kết quả như sau

Thời gian sử dụng (phút)	$[0;10)$	$[10;30)$	$[30;60)$	$[60;90)$
HS Tổ 1	$2$	$4$	$3$	$1$
HS Tổ 2	$5$	$1$	$3$	$0$

Tìm khoảng biến thiên cho thời gian sử dụng mạng xã hội của học sinh mỗi tổ và giải thích ý nghĩa.

Lời giải

Gọi $R_1,R_2$ tương ứng là khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm về thời gian sử dụng mạng xã hội trong ngày của các bạn Tổ 1 và Tổ 2.

Ta có: $R_1=90-0=90$ và $R_2=60-0=60$.

Do $R_1>R_2$ nên ta có thể kết luận rằng thời gian sử dụng mạng xã hội trong ngày của các bạn Tổ 1 phân tán hơn thời gian sử dụng mạng xã hội của các bạn Tổ 2.

---

Khoảng tứ phân vị

Các em đã biết cách tìm các tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm ở lớp 11, bây giờ ta sẽ xác định khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm bằng cách lấy hiệu của tứ phân vị thứ ba và tứ phân vị thứ nhất

Tứ phân vị thứ $r$ được xác định bởi công thức

$$Q_r=a_p+\frac{\frac{r\cdot n}{4}-(m_1+\cdots +m_{p-1})}{m_p}(a_{p+1}-a_p)$$

Trong đó $[a_p;a_{p+1})$ là nhóm chứa tứ phân vị thứ $r$ với $r=1,2,3$

Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm, kí hiệu là ${\mathrm{\Delta }}_Q$, là hiệu số giữa tứ phân vị thứ ba $Q_3$ và tứ phân vị thứ nhất $Q_1$, tức là $\mathrm{\Delta }Q=Q_3-Q_1$

Ý nghĩa. Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm xấp xỉ cho khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu gốc. Khoảng tứ phân vị cũng dùng để đo mức độ phân tán của mẫu số liệu ghép nhóm. Khoảng tứ phân vị càng lớn thì mẫu số liệu càng phân tán.

Nhận xét. Do khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm chỉ phụ thuộc vào nửa giữa của mẫu số liệu, nên không bị ảnh hưởng bởi các giá trị bất thường và có thể dùng đại lượng này để loại các giá trị bất thường.

Ví dụ 2

Thời gian chờ khám bệnh của các bệnh nhân tại phòng khám X được cho trong bảng sau:

Thờigian (phút)	$[0;5)$	$[5;10)$	$[10;15)$	$[15;20)$
Số bệnh nhân	$3$	$12$	$15$	$8$

a) Tìm khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm này.

b) Từ một mẫu số liệu về thời gian chờ khám bệnh của các bệnh nhân tại phòng khám Y người ta tính được khoảng tứ phân vị bằng $9,23$. Hỏi thời gian chờ của bệnh nhân tại phòng khám nào phân tán hơn?

Lời giải

a) Cỡ mẫu là $n=38$. Gọi $x_1,\dots ,x_{38}$ là thời gian chờ khám bệnh của 38 bệnh nhân này và giả sử dãy số liệu gốc này đã được sắp xếp theo thứ tự tăng dần.

Tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu gốc là $x_{10}$ nên nhóm chứa tứ phân vị thứ nhất là $[5;10)$, ta có:

$$Q_1=5+\frac{\frac{1\cdot 38}{4}-3}{12}\times 5\approx 7,71$$

Tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu gốc là $x_{29}$ nên nhóm chứa tứ phân vị thứ ba là $[10;15)$, ta có:

$$Q_3=10+\frac{\frac{3\cdot 38}{4}-(3+12)}{15}\times 5=14,5$$

Vậy khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm là: $\mathrm{\Delta }Q=Q_3-Q_1=6,79$.

b) Do $\mathrm{\Delta }Q=6,79<9,23$ nên thời gian chờ của bệnh nhân tại phòng khám $Y$ phân tán hơn thời gian chờ của bệnh nhân tại phòng khám $X$.

---

Tóm tắt công thức khoảng biến thiên, khoảng tứ phân vị