KHAI TRIỂN TAYLOR, MACLAURIN
Nhắc đến Taylor thì mọi người sẽ nghĩ đến một ca sĩ, nếu như chơi guitar thì biết rằng nó là một dòng đàn khá cao cấp mà ai chơi guitar chỉ cần sở hữu con Taylor là đã quá đẳng cấp rồi. Toán cũng có khai triển Taylor, công thức cho ta một mối tương quan giữa một hàm tuỳ ý theo một hàm đa thức, mà đa thức thì việc tính toán sẽ dễ chịu hơn nhiều, chí ít là về mặt lý thuyết
Dưới đây là một số bài tập về khai triển Taylor, Maclaurin ở chương trình Giải tích bậc đại học
Công thức khai triển này giống như là tinh hoa của phần giải tích cổ điển
Ví dụ 1. Khai triển Taylor hàm $f\left( x \right)=x\ln \left( 3-x \right)$ tại ${{x}_{0}}=2$
+) $f\left( 2 \right)=0$
+) $f'\left( x \right)=\ln \left( 3-x \right)-\dfrac{x}{3-x}\Rightarrow f'\left( 2 \right)=-2$
+) $f''\left( x \right)=-\dfrac{1}{3-x}-\dfrac{3}{{{\left( 3-x \right)}^{2}}}\Rightarrow f''\left( x \right)=-4$
+) ${{f}^{\left( n \right)}}\left( x \right)={{\left[ x\ln \left( 3-x \right) \right]}^{\left( n \right)}}\overset{Lebnitz}{\mathop{=}}\,C_{n}^{0}x{{\left[ \ln \left( 3-x \right) \right]}^{\left( n \right)}}+C_{n}^{1}x'{{\left[ \ln \left( 3-x \right) \right]}^{\left( n-1 \right)}}$
$=x{{\left( -1 \right)}^{n-1}}\dfrac{{{\left( -1 \right)}^{n}}\left( n-1 \right)!}{{{\left( 3-x \right)}^{n}}}+n{{\left( -1 \right)}^{n-2}}\dfrac{{{\left( -1 \right)}^{n-1}}\left( n-2 \right)!}{{{\left( 3-x \right)}^{n-1}}}$
$\Rightarrow {{f}^{\left( n \right)}}\left( 2 \right)=-2\left( n-1 \right)!-n\left( n-2 \right)!$
Áp dụng công thức khai triển Taylor ta được
$f\left( x \right)=f\left( 2 \right)+\dfrac{f'\left( 2 \right)}{1!}\left( x-2 \right)+\dfrac{f''\left( 2 \right)}{2!}{{\left( x-2 \right)}^{2}}+\cdots +\dfrac{{{f}^{\left( n \right)}}\left( 2 \right)}{n!}{{\left( x-2 \right)}^{n}}+o\left( {{\left( x-2 \right)}^{n}} \right)$
$=0+\dfrac{-2}{1!}\left( x-2 \right)+\dfrac{-4}{2!}{{\left( x-2 \right)}^{2}}+\cdots +\dfrac{-2\left( n-1 \right)!-n\left( n-2 \right)!}{n!}{{\left( x-2 \right)}^{n}}+o\left( {{\left( x-2 \right)}^{n}} \right)$
$=-2\left( x-2 \right)-2{{\left( x-2 \right)}^{2}}+\cdots +\left( \dfrac{-2}{n}-\dfrac{1}{n-1} \right){{\left( x-2 \right)}^{n}}+o\left( {{\left( x-2 \right)}^{n}} \right)$
Lưu ý. Trong lời giải, có sử dụng kết quả sau
$\displaystyle {{\left[ \ln \left( 3-x \right) \right]}^{\left( n \right)}}={{\left( -1 \right)}^{n-1}}\frac{{{\left( -1 \right)}^{n}}\left( n-1 \right)!}{{{\left( 3-x \right)}^{n}}}$
Các bạn xem nó như là một bài tập nhỏ
0 Comments
Vui lòng đăng nhập google để bình luận
Để gõ công thức toán, hãy đặt [biểu thức toán] trong dấu $$
Ví dụ: $[biểu thức toán]$