KHAI TRIỂN TAYLOR, MACLAURIN
Nhắc đến Taylor thì mọi người sẽ nghĩ đến một ca sĩ, nếu như chơi guitar thì biết rằng nó là một dòng đàn khá cao cấp mà ai chơi guitar chỉ cần sở hữu con Taylor là đã quá đẳng cấp rồi. Toán cũng có khai triển Taylor, công thức cho ta một mối tương quan giữa một hàm tuỳ ý theo một hàm đa thức, mà đa thức thì việc tính toán sẽ dễ chịu hơn nhiều, chí ít là về mặt lý thuyết
Dưới đây là một số bài tập về khai triển Taylor, Maclaurin ở chương trình Giải tích bậc đại học
Công thức khai triển này giống như là tinh hoa của phần giải tích cổ điển
CÔNG THỨC KHAI TRIỂN TAYLOR TỔNG QUÁT
Công thức khai triển Taylor của một hàm \( f(x) \) khả vi tại điểm \( a \):
\begin{multline*} f(x) = f(a) + f'(a)(x-a) + \frac{f''(a)}{2!}(x-a)^2 \\ + \frac{f^{(3)}(a)}{3!}(x-a)^3 + \dots + \frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n + R_n(x), \end{multline*}
CÔNG THỨC KHAI TRIỂN MACLAURIN
Khi \( a = 0 \), công thức Taylor trở thành:
\begin{multline*} f(x) = f(0) + f'(0)x + \frac{f''(0)}{2!}x^2 \\ + \frac{f^{(3)}(0)}{3!}x^3 + \dots + \frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^n + R_n(x). \end{multline*}
KHAI TRIỂN MACLAURIN MỘT SỐ HÀM CƠ BẢN
Hàm mũ \( e^x \)
\[ e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \dots + \frac{x^n}{n!} + \dots \]
Hàm sin \( \sin(x) \)
\[\sin(x) = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \frac{x^7}{7!} + \dots + (-1)^n \frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!} + \dots\]
Hàm cos \( \cos(x) \)
\[ \cos(x) = 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \frac{x^6}{6!} + \dots + (-1)^n \frac{x^{2n}}{(2n)!} + \dots \]
Hàm arcsin \( \arcsin(x) \)
\[\arcsin(x) = x + \frac{x^3}{6} + \frac{3x^5}{40} + \frac{5x^7}{112} + \dots + \frac{(2n)!}{(2^n n!)^2 (2n+1)}x^{2n+1} + \dots \quad \text{với } |x| \leq 1.\]
Hàm arccos \( \arccos(x) \)
\[\arccos(x) = \frac{\pi}{2} - \arcsin(x) = \frac{\pi}{2} - \left( x + \frac{x^3}{6} + \frac{3x^5}{40} + \dots \right) \quad \text{với } |x| \leq 1.\]
Hàm \( \arctan(x) \)
\[\arctan(x) = x - \frac{x^3}{3} + \frac{x^5}{5} - \frac{x^7}{7} + \dots + (-1)^n \frac{x^{2n+1}}{2n+1} + \dots \quad \text{với } |x| \leq 1.\]
Hàm ln \( \ln(1 + x) \)
\[\ln(1 + x) = x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \frac{x^4}{4} + \dots + (-1)^{n+1} \frac{x^n}{n} + \dots \quad \text{với } |x| < 1.\]
Hàm \( (1 + x)^n \)
\[(1 + x)^n = 1 + nx + \frac{n(n-1)}{2!}x^2 + \frac{n(n-1)(n-2)}{3!}x^3 + \dots \quad \text{với } |x| < 1.\]
Hàm \( \frac{1}{1-x} \)
\[\frac{1}{1-x} = 1 + x + x^2 + x^3 + \dots + x^n + \dots \quad \text{với } |x| < 1.\]
Một số bài tập ví dụ có lời giải chi tiết
Ví dụ 1
Khai triển Taylor hàm $f\left( x \right)=x\ln \left( 3-x \right)$ tại ${{x}_{0}}=2$
Lời giải
+) $f\left( 2 \right)=0$
+) $f'\left( x \right)=\ln \left( 3-x \right)-\dfrac{x}{3-x}\Rightarrow f'\left( 2 \right)=-2$
+) $f''\left( x \right)=-\dfrac{1}{3-x}-\dfrac{3}{{{\left( 3-x \right)}^{2}}}\Rightarrow f''\left( x \right)=-4$
+) ${{f}^{\left( n \right)}}\left( x \right)={{\left[ x\ln \left( 3-x \right) \right]}^{\left( n \right)}}\overset{Lebnitz}{\mathop{=}}\,C_{n}^{0}x{{\left[ \ln \left( 3-x \right) \right]}^{\left( n \right)}}+C_{n}^{1}x'{{\left[ \ln \left( 3-x \right) \right]}^{\left( n-1 \right)}}$
$=x{{\left( -1 \right)}^{n-1}}\dfrac{{{\left( -1 \right)}^{n}}\left( n-1 \right)!}{{{\left( 3-x \right)}^{n}}}+n{{\left( -1 \right)}^{n-2}}\dfrac{{{\left( -1 \right)}^{n-1}}\left( n-2 \right)!}{{{\left( 3-x \right)}^{n-1}}}$
$\Rightarrow {{f}^{\left( n \right)}}\left( 2 \right)=-2\left( n-1 \right)!-n\left( n-2 \right)!$
Áp dụng công thức khai triển Taylor ta được
$f\left( x \right)=f\left( 2 \right)+\dfrac{f'\left( 2 \right)}{1!}\left( x-2 \right)+\dfrac{f''\left( 2 \right)}{2!}{{\left( x-2 \right)}^{2}}+\cdots +\dfrac{{{f}^{\left( n \right)}}\left( 2 \right)}{n!}{{\left( x-2 \right)}^{n}}+o\left( {{\left( x-2 \right)}^{n}} \right)$
$=0+\dfrac{-2}{1!}\left( x-2 \right)+\dfrac{-4}{2!}{{\left( x-2 \right)}^{2}}+\cdots +\dfrac{-2\left( n-1 \right)!-n\left( n-2 \right)!}{n!}{{\left( x-2 \right)}^{n}}+o\left( {{\left( x-2 \right)}^{n}} \right)$
$=-2\left( x-2 \right)-2{{\left( x-2 \right)}^{2}}+\cdots +\left( \dfrac{-2}{n}-\dfrac{1}{n-1} \right){{\left( x-2 \right)}^{n}}+o\left( {{\left( x-2 \right)}^{n}} \right)$
Lưu ý. Trong lời giải, có sử dụng kết quả sau
$$\displaystyle {{\left[ \ln \left( 3-x \right) \right]}^{\left( n \right)}}={{\left( -1 \right)}^{n-1}}\frac{{{\left( -1 \right)}^{n}}\left( n-1 \right)!}{{{\left( 3-x \right)}^{n}}}$$
Các bạn xem nó như là một bài tập nhỏ
Ví dụ 2
Khai triển Taylor của $\displaystyle y=\sin 2x+2\cos x$ tại lân cận của điểm $\displaystyle x=-\frac{\pi }{2}$ đến $\displaystyle {{\left( x+\frac{\pi }{2} \right)}^{5}}$
Lời giải
Xét hàm số $f\left( x \right)=\sin 2x+2\cos x$
Ta có $f\left( -\frac{\pi }{2} \right)=0$
$\displaystyle {f}'\left( x \right)=2\cos 2x-2\sin x\Rightarrow {f}'\left( -\frac{\pi }{2} \right)=0$
$\displaystyle {f}''\left( x \right)=-4\sin 2x-2\cos x\Rightarrow {f}''\left( -\frac{\pi }{2} \right)=0$
$\displaystyle {f}'''\left( x \right)=-8\cos 2x+2\sin x\Rightarrow {f}'''\left( -\frac{\pi }{2} \right)=6$
$\displaystyle {{f}^{\left( 4 \right)}}\left( x \right)=16\sin 2x+2\cos x\Rightarrow {{f}^{\left( 4 \right)}}\left( -\frac{\pi }{2} \right)=0$
$\displaystyle {{f}^{\left( 5 \right)}}\left( x \right)=32\cos 2x-2\sin x\Rightarrow {{f}^{\left( 5 \right)}}\left( -\frac{\pi }{2} \right)=-30$
Theo công thức khai triển Taylor ta có
$\displaystyle f\left( x \right)=f\left( -\frac{\pi }{2} \right)+\frac{{f}'\left( -\frac{\pi }{2} \right)}{1!}\left( x+\frac{\pi }{2} \right)+\cdots \frac{{{f}^{\left( 5 \right)}}\left( -\frac{\pi }{2} \right)}{5!}{{\left( x+\frac{\pi }{2} \right)}^{5}}+o\left( {{\left( x+\frac{\pi }{2} \right)}^{5}} \right)$
$\displaystyle f\left( x \right)={{\left( x+\frac{\pi }{2} \right)}^{3}}-\frac{1}{4}{{\left( x+\frac{\pi }{2} \right)}^{5}}+o\left( {{\left( x+\frac{\pi }{2} \right)}^{5}} \right)$
Vậy $\displaystyle y=\sin 2x+2\cos x={{\left( x+\frac{\pi }{2} \right)}^{3}}-\frac{1}{4}{{\left( x+\frac{\pi }{2} \right)}^{5}}+o\left( {{\left( x+\frac{\pi }{2} \right)}^{5}} \right)$
Ví dụ 3
Tính $\displaystyle {{f}^{\left( 100 \right)}}\left( 0 \right)$ của hàm số $f\left( x \right)={{x}^{2}}{{e}^{3x}}$
Lời giải
Áp dụng khai triển Maclaurin ta có
\[{{e}^{x}}=1+\frac{x}{1!}+\frac{{{x}^{2}}}{2!}+\cdots +\frac{{{x}^{98}}}{98!}+o\left( {{x}^{98}} \right)\]
\[\Rightarrow {{e}^{3x}}=1+\frac{3x}{1!}+\frac{{{\left( 3x \right)}^{2}}}{2!}+\cdots +\frac{{{\left( 3x \right)}^{98}}}{98!}+o\left( {{x}^{98}} \right)\]
\[\Rightarrow {{x}^{2}}{{e}^{3x}}={{x}^{2}}+\frac{3{{x}^{3}}}{1!}+\frac{{{3}^{2}}{{x}^{4}}}{2!}+\cdots +\frac{{{3}^{98}}{{x}^{100}}}{98!}+o\left( {{x}^{98}} \right),(1)\]
Mặt khác, theo khai triển Maclaurin ta có
$$\displaystyle f\left( x \right)=f\left( 0 \right)+\frac{{f}'\left( 0 \right)}{1!}x+\cdots +\frac{{{f}^{\left( 100 \right)}}\left( 0 \right)}{100!}+o\left( {{x}^{100}} \right),(2)$$
Đồng nhất hệ số của ${{x}^{100}}$ ở $(1)$ và $(2)$ ta được
$$\displaystyle \frac{{{f}^{\left( 100 \right)}}\left( 0 \right)}{100!}=\frac{{{3}^{98}}}{98!}\Rightarrow {{f}^{\left( 100 \right)}}\left( 0 \right)=100\cdot 99\cdot {{3}^{98}}$$
Vậy ${{f}^{\left( 100 \right)}}\left( 0 \right)=100\cdot 99\cdot {{3}^{98}}$
0 Comments
Vui lòng đăng nhập google để bình luận
Để gõ công thức toán, hãy đặt [biểu thức toán] trong dấu $$
Ví dụ: $[biểu thức toán]$