TÍCH PHÂN HÀM ẨN 8+ (CÓ LỜI GIẢI CHI TIẾT)

TÍCH PHÂN HÀM ẨN CÓ LỜI GIẢI CHI TIẾT

Bài toán tính tích phân thông thường giờ đây đã trở nên quá đơn giản trong kỳ thi do có sự hỗ trợ của máy tính casio, rơi vào những câu trắc nghiệm như thế đôi khi không cần nhớ cách làm và công thức, chỉ cần bấm máy, sẽ được kết quả

Bài viết này trình bày một số dạng tích phân hàm ẩn (tức chưa biết hàm cụ thể), dạng toán tích phân hàm ẩn này cực kỳ hay gặp trong các bài thi trắc nghiệm, vì đòi hỏi phải nắm được công thức và cách làm

Để hiểu được bài toán hàm ẩn này thì các em phải nắm được phương pháp đổi biến số nguyên hàm

---

Ví dụ 1.Cho $\displaystyle \int\limits_{2}^{6}{f(x)dx}=15$. Tính $\displaystyle \int\limits_{1}^{3}{f(2x)dx}$

Giải

Đặt $u=2x\Rightarrow du=2dx$ hay $\displaystyle dx=\frac{du}{2}$

Đổi cận $\left\{ \begin{align} & x=1\to u=2 \\ & x=3\to u=6 \\ \end{align} \right.$

Khi đó tích phân $\displaystyle \int\limits_{1}^{3}{f(2x)dx}$ trở thành

$\displaystyle \int\limits_{2}^{6}{f(u)\frac{du}{2}}=\frac{1}{2}\int\limits_{2}^{6}{f(u)du}=\frac{1}{2}\times 15=\frac{15}{2}$

Lưu ý. Tích phân không phụ thuộc vào biến nên $\displaystyle \int\limits_{2}^{6}{f(x)dx}=\int\limits_{2}^{6}{f(u)du}$

Ví dụ 2. Cho hàm số $f\left( x \right)$ liên tục trên $\left[ 0;+\infty \right)$ và thoả mãn $f\left( {{x}^{2}}+4x \right)=-2{{x}^{2}}-7x+1,\forall x\in \left[ 0;+\infty \right)$. Biết$f\left( 5 \right)=-8$, tính $\displaystyle I=\int\limits_{0}^{5}{x.{f}'\left( x \right)\text{d}x}.$

Ta có $f\left( {{x}^{2}}+4x \right)=-2{{x}^{2}}-7x+1\Leftrightarrow \left( 2x+4 \right)f\left( {{x}^{2}}+4x \right)=\left( -2{{x}^{2}}-7x+1 \right)\left( 2x+4 \right)$.

Lấy tích phân cận chạy từ $0\to 1$ hai vế ta được:

$\displaystyle \int\limits_{0}^{1}{\left( 2x+4 \right)}f\left( {{x}^{2}}+4x \right)dx=\int\limits_{0}^{1}{\left( -2{{x}^{2}}-7x+1 \right)\left( 2x+4 \right)}dx=-\frac{52}{3}$.

Xét $\displaystyle \int\limits_{0}^{1}{\left( 2x+4 \right)}f\left( {{x}^{2}}+4x \right)dx$. Đặt $\left\{ \begin{align} & t={{x}^{2}}+4x\Rightarrow dt=\left( 2x+4 \right)dx \\ & x=0\to t=0,x=1\to t=5 \\ \end{align} \right.$. Khi đó ta có

$\displaystyle \int\limits_{0}^{1}{\left( 2x+4 \right)}f\left( {{x}^{2}}+4x \right)dx=\int\limits_{0}^{5}{f\left( t \right)}dt=\int\limits_{0}^{5}{f\left( x \right)}dx=-\frac{52}{3}$.

Xét $\displaystyle I=\int\limits_{0}^{5}{x.{f}'\left( x \right)dx}=\left. xf\left( x \right) \right|_{0}^{5}-\int\limits_{0}^{5}{f\left( x \right)}dx=-40-\left( -\frac{52}{3} \right)=-\frac{68}{3}$.

Ví dụ 3. Cho hàm số $f(x)$ liên tục trên $\mathbb{R},$ thỏa mãn $f(x)=f(2020-x)$ và $\displaystyle \int\limits_{4}^{2016}{f(x)dx=2}.$ Tính$\int\limits_{4}^{2016}{xf(x)\text{d}x}.$

Xét $\displaystyle I=\int\limits_{4}^{2016}{xf(x)dx}.$ Đặt $t=2020-x\Rightarrow dt=-dx$ và $\left\{ \begin{align} & x=4\Rightarrow t=2016 \\ & x=2016\Rightarrow t=4 \\ \end{align} \right.$

Do đó $\displaystyle I=\int\limits_{4}^{2016}{xf(x)dx}=\int\limits_{2016}^{4}{(2020-t)f(2020-t)(-dt)}$

$\displaystyle =\int\limits_{4}^{2016}{(2020-x)f(2020-x)dx}$

$\displaystyle =\int\limits_{4}^{2016}{(2020-x)f(x)dx}=2020\int\limits_{4}^{2016}{f(x)dx}-\int\limits_{4}^{2016}{xf(x)dx}=2020.2-I$

$\displaystyle \Rightarrow I=4040-I\Leftrightarrow 2I=4040\Leftrightarrow I=2020.$