HÀM SỐ: LÝ THUYẾT VÀ BÀI TẬP
1. Khái Niệm Hàm Số
Nếu mỗi giá trị $ x $ thuộc tập hợp số $ D $ có một và chỉ một giá trị tương ứng của $ y $ thuộc tập số thực $ \mathbb{R} $ thì ta có một hàm số.
- Ta gọi $ x $ là biến số và $ y $ là hàm số của $ x $.
- Tập hợp $ D $ được gọi là tập xác định (TXĐ) của hàm số.
- Tập hợp tất cả các giá trị $ y $ nhận được, gọi là tập giá trị của hàm số.
2. Dạng Tìm Tập Xác Định Của Hàm Số
- Hàm số $ y = \sqrt{f(x)} $ có nghĩa khi $ f(x) \ge 0 $.
- Hàm số $ y = \frac{1}{f(x)} $ có nghĩa khi $ f(x) \neq 0 $.
- Hàm số $ y = \frac{1}{\sqrt{f(x)}} $ có nghĩa khi $ f(x) \gt 0 $.
Ví dụ minh họa:
Ví dụ 1: Tìm tập xác định của các hàm số sau:
a) $y = \sqrt{x - 1}$ b) $y = \dfrac{1}{x - 2}$
c) $y = \sqrt{3 - x} + \dfrac{1}{\sqrt{x + 2}}$
Lời giải:
a) Hàm số $y = \sqrt{x - 1}$ xác định khi và chỉ khi biểu thức dưới dấu căn không âm:
$$x - 1 \ge 0 \Leftrightarrow x \ge 1.$$
Vậy tập xác định của hàm số là $D = [1; +\infty)$.
b) Hàm số $y = \dfrac{1}{x - 2}$ xác định khi và chỉ khi mẫu số khác 0:
$$x - 2 \neq 0 \Leftrightarrow x \neq 2.$$
Vậy tập xác định của hàm số là $D = \mathbb{R} \setminus \{2\}$.
c) Hàm số $y = \sqrt{3 - x} + \dfrac{1}{\sqrt{x + 2}}$ xác định khi các điều kiện sau đồng thời xảy ra:
- Biểu thức dưới căn bậc hai (trên tử) phải không âm: $3 - x \ge 0 \Leftrightarrow x \le 3$.
- Biểu thức dưới căn bậc hai (dưới mẫu) phải dương (để căn có nghĩa và mẫu khác 0): $x + 2 > 0 \Leftrightarrow x > -2$.
Kết hợp hai điều kiện trên, ta có: $-2 < x \le 3$.
Vậy tập xác định của hàm số là $D = (-2; 3]$.
3. Tìm Tập Giá Trị Của Hàm Số
Ví dụ: Tìm tập giá trị của các hàm số sau:
a) $y = x^2 + 2$ b) $y = \sqrt{x - 1} + 3$
Lời giải:
a) Tập xác định: $D = \mathbb{R}$.
Ta biết rằng bình phương của một số thực luôn không âm, tức là $x^2 \ge 0$ với mọi $x \in \mathbb{R}$.
Cộng thêm 2 vào cả hai vế: $x^2 + 2 \ge 2$.
Do đó, giá trị nhỏ nhất của $y$ là 2.
Vậy tập giá trị của hàm số là $T = [2; +\infty)$.
b) Điều kiện xác định: $x - 1 \ge 0 \Leftrightarrow x \ge 1$.
Với mọi $x \ge 1$, căn bậc hai luôn không âm: $\sqrt{x - 1} \ge 0$.
Cộng thêm 3 vào cả hai vế: $\sqrt{x - 1} + 3 \ge 3$.
Do đó, giá trị nhỏ nhất của $y$ là 3.
Vậy tập giá trị của hàm số là $T = [3; +\infty)$.
4. Đồ Thị Hàm Số
5. Sự Đồng Biến, Nghịch Biến Của Hàm Số
- Hàm số được gọi là đồng biến (tăng) trên $ (a; b) $ nếu:
$$ \forall x_1, x_2 \in (a; b), x_1 \lt x_2 \Rightarrow f(x_1) \lt f(x_2) $$ - Hàm số được gọi là nghịch biến (giảm) trên $ (a; b) $ nếu:
$$ \forall x_1, x_2 \in (a; b), x_1 \lt x_2 \Rightarrow f(x_1) \gt f(x_2) $$
- Đồ thị của một hàm số đồng biến trên khoảng $ (a; b) $ là đường đi lên từ "trái" sang "phải".
- Đồ thị của một hàm số nghịch biến trên khoảng $ (a; b) $ là đường đi xuống từ "trái" sang "phải".
Dáng đồ thị của hàm số đồng biến và nghịch biến trên khoảng $(a;b)$ được mô tả như hình dưới
XEM BÀI KẾ TIẾP: HÀM SỐ BẬC HAI
GIẢI CHI TIẾT BÀI TẬP SGK KẾT NỐI TRI THỨC
Bài 6.1 trang 9: Xét hai đại lượng $x, y$ phụ thuộc vào nhau theo các hệ thức dưới đây. Những trường hợp nào thì $y$ là hàm số của $x$?
a) $x + y = 1$; b) $y = x^2$;
c) $y^2 = x$; d) $x^2 - y^2 = 0$.
Lời giải:
Theo định nghĩa, đại lượng $y$ được gọi là hàm số của đại lượng $x$ nếu với mỗi giá trị của $x$ (thuộc tập xác định), ta luôn xác định được duy nhất một giá trị tương ứng của $y$.
a) Ta có $x + y = 1 \Leftrightarrow y = 1 - x$.
Với mỗi giá trị của $x$, ta luôn tính được đúng một giá trị $y = 1 - x$.
$\Rightarrow$ Trường hợp này $y$ là hàm số của $x$.
b) Ta có $y = x^2$.
Với mỗi giá trị của $x$, bình phương của nó là duy nhất, nên ta xác định được duy nhất một giá trị của $y$.
$\Rightarrow$ Trường hợp này $y$ là hàm số của $x$.
c) Ta có $y^2 = x$. Điều kiện $x \ge 0$.
Xét ví dụ: Nếu $x = 4$, ta có $y^2 = 4$, suy ra $y = 2$ hoặc $y = -2$.
Như vậy, với một giá trị $x > 0$, ta tìm được hai giá trị khác nhau của $y$. Điều này vi phạm định nghĩa hàm số.
$\Rightarrow$ Trường hợp này $y$ không phải là hàm số của $x$.
d) Ta có $x^2 - y^2 = 0 \Leftrightarrow y^2 = x^2 \Leftrightarrow |y| = |x| \Leftrightarrow y = x \text{ hoặc } y = -x$.
Xét ví dụ: Nếu $x = 1$, ta có $y = 1$ hoặc $y = -1$.
Tương tự như câu c, một giá trị $x$ (khác 0) ứng với hai giá trị của $y$.
$\Rightarrow$ Trường hợp này $y$ không phải là hàm số của $x$.
Kết luận: Các trường hợp $y$ là hàm số của $x$ là a và b.
Bài 6.3 trang 9: Tìm tập xác định của các hàm số sau:
a) $y = 2x^3 + 3x + 1$; b) $y = \dfrac{x - 1}{x^2 - 3x + 2}$;
c) $y = \sqrt{x + 1} + \sqrt{1 - x}$.
Lời giải:
a) Hàm số $y = 2x^3 + 3x + 1$ là hàm đa thức, nên nó xác định với mọi giá trị thực của $x$.
Vậy tập xác định của hàm số là $D = \mathbb{R}$.
b) Hàm số $y = \dfrac{x - 1}{x^2 - 3x + 2}$ xác định khi và chỉ khi mẫu thức khác 0:
$$x^2 - 3x + 2 \neq 0$$
Giải phương trình $x^2 - 3x + 2 = 0$:
Ta thấy tổng các hệ số $a + b + c = 1 + (-3) + 2 = 0$, nên phương trình có hai nghiệm là $x_1 = 1$ và $x_2 = \frac{c}{a} = 2$.
Do đó, điều kiện xác định là $x \neq 1$ và $x \neq 2$.
Vậy tập xác định của hàm số là $D = \mathbb{R} \setminus \{1; 2\}$.
c) Hàm số $y = \sqrt{x + 1} + \sqrt{1 - x}$ xác định khi các biểu thức dưới dấu căn bậc hai đều không âm:
$$\begin{cases} x + 1 \ge 0 \\ 1 - x \ge 0 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} x \ge -1 \\ x \le 1 \end{cases}$$
Giao hai điều kiện trên, ta được: $-1 \le x \le 1$.
Vậy tập xác định của hàm số là $D = [-1; 1]$.
7. Bài Tập Trắc Nghiệm (Quiz)
Câu 1: Tập xác định của hàm số $ y = \sqrt{2x - 4} $ là gì?
Câu 2: Hàm số nào sau đây nghịch biến trên $ \mathbb{R} $?
Câu 3: Đồ thị hàm số đồng biến có dạng như thế nào?
Tác giả: Nguyễn Hoàng Thứ
0 Comments
Vui lòng đăng nhập google để bình luận
Để gõ công thức toán, hãy đặt [biểu thức toán] trong dấu $$
Ví dụ: $[biểu thức toán]$