© Được viết bởi CaolacVC. Blog https://caolacvc.blogspot.com
HÀM SỐ BẬC HAI
1. Định Nghĩa Hàm Số Bậc Hai
Hàm số bậc hai là hàm số cho bởi công thức $y = ax^2 + bx + c$.
Trong đó $x$ là biến số, $a, b, c$ là các hằng số và $a \ne 0$.
Tập xác định của hàm số bậc hai là $D = \mathbb{R}$.
Ví dụ 1: Hàm số nào dưới đây là hàm số bậc hai?
A. $y = x^4 + 3x^2 + 2$
B. $y = \dfrac{1}{x^2}$
C. $y = -3x^2 + 1$
D. $y = 3\left(\dfrac{1}{x}\right)^2 + 3\dfrac{1}{x} - 1$
Lời giải:
Theo định nghĩa, hàm số bậc hai là hàm số được cho bởi công thức có dạng $y = ax^2 + bx + c$, trong đó $x$ là biến số, $a, b, c$ là các hằng số và $a \neq 0$.
Ta phân tích từng đáp án:
- Đáp án A: $y = x^4 + 3x^2 + 2$. Đây là hàm đa thức bậc 4 (hàm trùng phương), số mũ cao nhất của $x$ là 4 nên không phải là hàm số bậc hai.
- Đáp án B: $y = \dfrac{1}{x^2} = x^{-2}$. Đây là hàm phân thức (hoặc lũy thừa với số mũ âm), không phải là đa thức bậc 2.
- Đáp án C: $y = -3x^2 + 1$. Hàm số này có dạng $y = ax^2 + bx + c$ với $a = -3$ (thỏa mãn $a \neq 0$), $b = 0$ và $c = 1$. Do đó, đây là hàm số bậc hai.
- Đáp án D: $y = 3\left(\dfrac{1}{x}\right)^2 + 3\dfrac{1}{x} - 1$. Biểu thức chứa biến $x$ ở dưới mẫu số, nên đây không phải là hàm đa thức bậc hai theo biến $x$.
Kết luận: Chọn đáp án C.
Ví dụ 2: Cho hàm số $y = (x - 1)(2 - 3x)$.
a) Hàm số đã cho có phải là hàm số bậc hai không? Nếu có, hãy xác định các hệ số $a, b, c$ của nó.
b) Thay dấu "?" bằng các số thích hợp để hoàn thành bảng giá trị sau của hàm số đã cho:
| $x$ | $-2$ | $-1$ | $0$ | $1$ |
| $y$ | ? | ? | ? | ? |
Lời giải:
a) Ta biến đổi biểu thức xác định hàm số về dạng đa thức:
$$y = (x - 1)(2 - 3x)$$
$$y = 2x - 3x^2 - 2 + 3x$$
$$y = -3x^2 + 5x - 2$$
Hàm số có dạng $y = ax^2 + bx + c$ với $a = -3 \neq 0$, $b = 5$ và $c = -2$.
Vậy hàm số đã cho là hàm số bậc hai với các hệ số $a = -3, b = 5, c = -2$.
b) Thay các giá trị của $x$ vào công thức $y = -3x^2 + 5x - 2$ (hoặc $y = (x-1)(2-3x)$):
- Với $x = -2$: $y = -3(-2)^2 + 5(-2) - 2 = -12 - 10 - 2 = -24$.
- Với $x = -1$: $y = -3(-1)^2 + 5(-1) - 2 = -3 - 5 - 2 = -10$.
- Với $x = 0$: $y = -3(0)^2 + 5(0) - 2 = -2$.
- Với $x = 1$: $y = -3(1)^2 + 5(1) - 2 = -3 + 5 - 2 = 0$.
Ta có bảng giá trị hoàn chỉnh như sau:
| $x$ | $-2$ | $-1$ | $0$ | $1$ |
| $y$ | -24 | -10 | -2 | 0 |
2. Các Tính Chất Cần Ghi Nhớ
Dạng hàm số: $y = ax^2 + bx + c \, (a \ne 0)$
Tập xác định: $D = \mathbb{R}$
Tọa độ đỉnh: $\displaystyle I\left( -\frac{b}{2a}; -\frac{\Delta}{4a} \right)$
Trục đối xứng: $\displaystyle x = -\frac{b}{2a}$
Tính đơn điệu:
- Nếu $a > 0$:
- Hàm số đồng biến trên $\displaystyle \left( -\frac{b}{2a}; +\infty \right)$
- Hàm số nghịch biến trên $\displaystyle \left( -\infty; -\frac{b}{2a} \right)$
- Nếu $a \lt 0$:
- Hàm số đồng biến trên $\displaystyle \left( -\infty; -\frac{b}{2a} \right)$
- Hàm số nghịch biến trên $\displaystyle \left( -\frac{b}{2a}; +\infty \right)$
3. Các Bước Vẽ Đồ Thị Hàm Số Bậc Hai
- Bước 1: Tìm tập xác định $D = \mathbb{R}$.
- Bước 2: Xác định tọa độ đỉnh $\displaystyle I\left( -\frac{b}{2a}; -\frac{\Delta}{4a} \right)$.
- Bước 3: Vẽ trục đối xứng $\displaystyle x = -\frac{b}{2a}$.
- Bước 4: Xét tính đơn điệu (đồng biến, nghịch biến).
- Bước 5: Lập Bảng biến thiên (BBT).
- Bước 6: Xác định các điểm thuộc đồ thị (thường lấy 5 điểm: đỉnh, 2 điểm bên trái, 2 điểm bên phải; hoặc các giao điểm với trục tung, trục hoành).
- Bước 7: Vẽ Parabol đi qua các điểm đã xác định.
Ví dụ minh họa:
Ví dụ 1: Lập bảng biến thiên (BBT) và vẽ đồ thị của hàm số $(P): y = x^2 - 2x + 1$.
Lời giải:
+) Tập xác định: $D = \mathbb{R}$
+) Toạ độ đỉnh: $x_I = -\frac{-2}{2.1} = 1 \Rightarrow y_I = 0$. Vậy $I(1; 0)$.
+) Trục đối xứng: $x = 1$
+) Sự biến thiên:
- Hàm số nghịch biến trên $(-\infty; 1)$
- Hàm số đồng biến trên $(1; +\infty)$
+) Bảng biến thiên:
+) Điểm thuộc đồ thị:
| $x$ | $-1$ | $0$ | $1$ | $2$ | $3$ |
|---|---|---|---|---|---|
| $y$ | $4$ | $1$ | $0$ | $1$ | $4$ |
+) Đồ thị:
4. Dạng Bài Toán Xác Định Parabol
Dạng bài toán xác định parabol $(P): y = ax^2 + bx + c$ nghĩa là ta đi tìm các hệ số $a, b, c$ của parabol đó dựa trên các dữ kiện đề bài cho (đi qua điểm, trục đối xứng, tọa độ đỉnh...).
Ví dụ 2: Xác định parabol $(P): y = ax^2 - 3x + 2$, biết parabol đó:
a) Đi qua điểm $A(1; 5)$
b) Cắt trục $Ox$ tại điểm có hoành độ bằng $2$
c) Có trục đối xứng $x = -3$
Lời giải:
a) Do $A \in (P)$ nên ta thay toạ độ điểm $A$ vào $(P)$ ta được:
$$ a.1^2 - 3.1 + 2 = 5 \Leftrightarrow a - 1 = 5 \Leftrightarrow a = 6 $$
Vậy $(P): y = 6x^2 - 3x + 2$.
b) $(P)$ cắt trục $Ox$ tại điểm có hoành độ bằng $2$, nghĩa là $x = 2, y = 0$.
Suy ra: $$ a.2^2 - 3.2 + 2 = 0 \Leftrightarrow 4a - 4 = 0 \Leftrightarrow 4a = 4 \Leftrightarrow a = 1 $$
Vậy $(P): y = x^2 - 3x + 2$.
c) $(P)$ có trục đối xứng $x = -3$, công thức trục đối xứng là $x = -\frac{b}{2a}$.
Nghĩa là: $$ -\frac{-3}{2a} = -3 \Leftrightarrow \frac{3}{2a} = -3 \Leftrightarrow 3 = -6a \Leftrightarrow a = -\frac{1}{2} $$
Vậy $(P): y = -\frac{1}{2}x^2 - 3x + 2$.
5. Bài Tập Trắc Nghiệm Nhanh
Câu 1: Toạ độ đỉnh $I$ của Parabol $y = ax^2 + bx + c$ là gì?
Câu 2: Nếu $a > 0$ thì hàm số đồng biến trên khoảng nào?
Tác giả: Nguyễn Hoàng Thứ
0 Comments
Vui lòng đăng nhập google để bình luận
Để gõ công thức toán, hãy đặt [biểu thức toán] trong dấu $$
Ví dụ: $[biểu thức toán]$