© Được viết bởi CaolacVC. Blog https://caolacvc.blogspot.com

DẤU CỦA TAM THỨC BẬC HAI

1. Tam Thức Bậc Hai

Tam thức bậc hai (đối với $x$) là biểu thức có dạng $ax^2 + bx + c$, trong đó $a, b, c$ là những số thực cho trước (với $a \ne 0$), được gọi là các hệ số của tam thức bậc hai.

Chú ý: Nghiệm của phương trình $ax^2 + bx + c = 0 \, (a \ne 0)$ cũng được gọi là nghiệm của tam thức bậc hai $ax^2 + bx + c$.

Ví dụ 1: Hãy cho biết biểu thức nào sau đây là tam thức bậc hai?

$A = 3x + 2\sqrt{x} + 1$; $B = -5x^4 + 3x^2 + 4$; $C = -\frac{2}{3}x^2 + 7x - 4$; $D = (\frac{1}{x})^2 + 2\cdot\frac{1}{x} + 3$

---

Lời giải:

$C = -\frac{2}{3}x^2 + 7x - 4$ là tam thức bậc hai với các hệ số $a = -\frac{2}{3}; b = 7; c = -4$.

2. Định Lý Về Dấu Của Tam Thức Bậc Hai

Cho tam thức bậc hai $f(x) = ax^2 + bx + c \, (a \ne 0)$.

TH1: Nếu $\Delta < 0$ thì $f(x)$ cùng dấu với hệ số $a$ với mọi $x \in \mathbb{R}$.

TH2: Nếu $\Delta = 0$ thì $f(x)$ cùng dấu với hệ số $a$ với mọi $x \in \mathbb{R} \setminus \{-\frac{b}{2a}\}$.

TH3: Nếu $\Delta > 0$, giả sử $f(x)$ có hai nghiệm $x_1 < x_2$.

• $f(x)$ cùng dấu với hệ số $a$ với mọi $x \in (-\infty; x_1) \cup (x_2; +\infty)$.
• $f(x)$ trái dấu với hệ số $a$ với mọi $x \in (x_1; x_2)$.

Ghi nhớ: "TRONG TRÁI - NGOÀI CÙNG"

(Trong khoảng hai nghiệm thì trái dấu với a, ngoài khoảng hai nghiệm thì cùng dấu với a).

Chú ý: Trong định lý về dấu của tam thức bậc hai ta có thể thay $\Delta$ bởi $\Delta'$.

Ví dụ minh họa:

Ví dụ 2: Lập bảng xét dấu các tam thức bậc hai sau:

a) $f(x) = 4x^2 - 3x + 1$

b) $f(x) = -x^2 + 3x - 5$

c) $f(x) = x^2 - 4x + 4$

d) $f(x) = x^2 - 5x + 6$

e) $f(x) = (2x - 4)(x + 3)$

---

Lời giải:

a) Tam thức $f(x) = 4x^2 - 3x + 1$ có $\Delta = (-3)^2 - 4\cdot 4\cdot 1 = -7 < 0$ nên $f(x)$ luôn cùng dấu với $a$ với mọi $x \in \mathbb{R}$.
Mà $a = 4 > 0$ nên $f(x) > 0, \forall x \in \mathbb{R}$.

b) Tam thức $f(x) = -x^2 + 3x - 5$ có $\Delta = 3^2 - 4(-1)(-5) = -11 < 0$ nên $f(x)$ luôn cùng dấu với $a$.
Mà $a = -1 < 0$ nên $f(x) < 0, \forall x \in \mathbb{R}$.

c) Tam thức $f(x) = x^2 - 4x + 4$ có $\Delta = (-4)^2 - 4\cdot 1\cdot 4 = 0$ nên có nghiệm kép $x = 2$.
Vì $a = 1 > 0$ nên $f(x) > 0, \forall x \in \mathbb{R} \setminus \{2\}$.

d) Tam thức $f(x) = x^2 - 5x + 6$ có hai nghiệm là $x = 2, x = 3$. Vì $a = 1 > 0$ nên ta có bảng xét dấu:

Kết luận:

• $f(x) > 0$ khi $x \in (-\infty; 2) \cup (3; +\infty)$
• $f(x) < 0$ khi $x \in (2; 3)$
• $f(x) = 0$ khi $x = 2, x = 3$

e) Tam thức $f(x) = (2x - 4)(x + 3) = 2x^2 + 2x - 12$ có hai nghiệm $x = 2, x = -3$. Vì $a = 2 > 0$ nên ta có bảng xét dấu:

Kết luận:

• $f(x) > 0$ khi $x \in (-\infty; -3) \cup (2; +\infty)$
• $f(x) < 0$ khi $x \in (-3; 2)$
• $f(x) = 0$ khi $x = -3, x = 2$

3. Bất Phương Trình Bậc Hai

Bất phương trình bậc hai ẩn $x$ là bất phương trình có dạng $ax^2 + bx + c > 0$ (hoặc $\ge 0, < 0, \le 0$), trong đó $a, b, c$ là những số cho trước và $a \ne 0$.

Giải bất phương trình bậc hai là tìm các khoảng mà trong đó $f(x)$ cùng dấu với hệ số $a$ (nếu $a > 0$) hay trái dấu với $a$ (nếu $a < 0$).

Ví dụ minh họa:

Ví dụ 3: Giải các bất phương trình bậc hai sau:

a) $3x^2 + x + 5 \le 0$

b) $-3x^2 + 2\sqrt{3}x - 1 \ge 0$

c) $-x^2 + 2x + 1 > 0$

---

Lời giải:

a) Tam thức $f(x) = 3x^2 + x + 5$ có $\Delta = -59 < 0$, nên $f(x)$ cùng dấu với $a$ ($a=3>0$) với mọi $x \in \mathbb{R}$. Do đó $f(x) > 0, \forall x$.
Vậy bất phương trình $3x^2 + x + 5 \le 0$ vô nghiệm.

b) Tam thức $f(x) = -3x^2 + 2\sqrt{3}x - 1$ có $\Delta = 0$ (nghiệm kép $x = \frac{\sqrt{3}}{3}$). Vì $a = -3 < 0$ nên $f(x) < 0, \forall x \ne \frac{\sqrt{3}}{3}$.
Tại $x = \frac{\sqrt{3}}{3}$ thì $f(x) = 0$.
Vậy bất phương trình $\ge 0$ có nghiệm duy nhất $x = \frac{\sqrt{3}}{3}$.

c) Tam thức $f(x) = -x^2 + 2x + 1$ có $\Delta = 2 > 0$ nên có hai nghiệm phân biệt $x = 1 - \sqrt{2}; x = 1 + \sqrt{2}$.
Vì $a = -1 < 0$ (Trong trái - Ngoài cùng), để $f(x) > 0$ (trái dấu với a) thì $x$ phải nằm trong khoảng hai nghiệm.
Tập nghiệm: $S = (1 - \sqrt{2}; 1 + \sqrt{2})$.

Ví dụ 4: Với những giá trị nào của $m$ thì đa thức $f(x) = (2 - m)x^2 - 2x + 1$ luôn dương?

---

Lời giải:

+) Với $2 - m = 0 \Leftrightarrow m = 2$: $f(x) = -2x + 1$. Hàm này đổi dấu, không luôn dương. (Loại)

+) Với $m \ne 2$: Để $f(x)$ luôn dương ($\forall x \in \mathbb{R}$) thì:

$$ \begin{cases} a > 0 \\ \Delta' < 0 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} 2 - m > 0 \\ (-1)^2 - (2 - m)\cdot 1 < 0 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} m < 2 \\ 1 - 2 + m < 0 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} m < 2 \\ m < 1 \end{cases} \Leftrightarrow m < 1 $$

Vậy với $m < 1$ thì $f(x)$ luôn dương.

4. Các Dạng Bài Tập Có Lời Giải Chi Tiết

Dạng 1: Ứng dụng xét dấu để tìm tập xác định

Ví dụ 5: Tìm tập xác định của hàm số $y = \sqrt{x^2 - 4x + 3}$.

Lời giải:

Điều kiện: $x^2 - 4x + 3 \ge 0$.

Xét tam thức $x^2 - 4x + 3$ có hai nghiệm $x = 1, x = 3$. Hệ số $a = 1 > 0$.

Áp dụng "Trong trái - Ngoài cùng", ta lấy phần dương (ngoài khoảng).

Vậy tập xác định $D = (-\infty; 1] \cup [3; +\infty)$.

Dạng 2: Tìm tham số m để tam thức luôn dương/âm

Ví dụ 6: Tìm $m$ để $f(x) = (m-1)x^2 + (2m+1)x + m + 1$ luôn dương với mọi $x \in \mathbb{R}$.

Lời giải:

Để $f(x) > 0, \forall x \in \mathbb{R}$ thì:

$$ \begin{cases} a > 0 \\ \Delta < 0 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} m - 1 > 0 \\ (2m+1)^2 - 4(m-1)(m+1) < 0 \end{cases} $$

$$ \Leftrightarrow \begin{cases} m > 1 \\ 4m^2 + 4m + 1 - 4(m^2 - 1) < 0 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} m > 1 \\ 4m + 5 < 0 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} m > 1 \\ m < -\frac{5}{4} \end{cases} $$

Vậy không có giá trị nào của $m$ thỏa mãn.

Dạng 3: Tìm m để bất phương trình có nghiệm đúng với mọi x

Ví dụ 7: Tìm $m$ để bất phương trình $x^2 - 2mx + 4 > 0$ có nghiệm đúng với mọi $x \in \mathbb{R}$.

Lời giải:

Yêu cầu bài toán $\Leftrightarrow f(x) = x^2 - 2mx + 4 > 0, \forall x \in \mathbb{R}$.

$$ \begin{cases} a > 0 \\ \Delta' < 0 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} 1 > 0 \text{ (luôn đúng)} \\ (-m)^2 - 4 < 0 \end{cases} \Leftrightarrow m^2 - 4 < 0 \Leftrightarrow -2 < m < 2 $$

Vậy $m \in (-2; 2)$.

👉 XEM BÀI KẾ TIẾP: PHƯƠNG TRÌNH QUY VỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI

KẾT LUẬN

Hy vọng qua bài viết này, các em biết được tam thức bậc hai dương khi nào, âm khi nào, biết cách xét dấu tam thức bậc hai và ghi nhớ TRONG TRÁI - NGOÀI CÙNG.

Hãy để lại ý kiến đóng góp ở phần bình luận để bài viết ngày càng hoàn thiện hơn!

5. Bài Tập Trắc Nghiệm Nhanh

Câu 1: Điều kiện để tam thức bậc hai $f(x) = ax^2 + bx + c \, (a \ne 0)$ luôn dương với mọi $x \in \mathbb{R}$ là gì?

A. $\begin{cases} a > 0 \\ \Delta < 0 \end{cases}$ B. $\begin{cases} a < 0 \\ \Delta < 0 \end{cases}$ C. $\begin{cases} a > 0 \\ \Delta > 0 \end{cases}$

---

Câu 2: Nếu $\Delta < 0$ thì dấu của tam thức bậc hai phụ thuộc vào yếu tố nào?

A. Luôn cùng dấu với hệ số $a$. B. Luôn trái dấu với hệ số $a$. C. Phụ thuộc vào giá trị của $x$.

Nguồn: caolacvc.blogspot.com
Tác giả: Nguyễn Hoàng Thứ