© Được viết bởi CaolacVC. Blog https://caolacvc.blogspot.com

DẤU CỦA TAM THỨC BẬC HAI

TAM THỨC BẬC HAI

Tam thức bậc hai (đối với $x$) là biểu thức có dạng $a{x}^2+bx+c$, trong đó $a,b,c$ là những số thực cho trước (với $a\ne 0$), được gọi là các hệ số của tam thức bậc hai

Chú ý. Nghiệm của phương trình $a{x}^2+bx+c=0,(a\ne 0)$ cũng được gọi là nghiệm của tam thức bậc hai $a{x}^2+bx+c$

Ví dụ 1. Hãy cho biết biểu thức nào sau đây là tam thức bậc hai

$A=3x+2\sqrt{x}+1$; $B=-5x^4+3x^2+4$; $C=-\frac{2}{3}{x}^2+7x-4$; $D={\left(\frac{1}{x}\right)}^2+2\cdot \frac{1}{x}+3$

Lời giải

$C=-\frac{2}{3}{x}^2+7x-4$ là tam thức bậc hai với các hệ số $a=-\frac{2}{3};b=7;c=-4$

---

ĐỊNH LÝ VỀ DẤU CỦA TAM THỨC BẬC

Cho tam thức bậc hai $f\left(x\right)=a{x}^2+bx+c,(a\ne 0)$

TH1: Nếu $\mathrm{\Delta }<0$ thì $f\left(x\right)$ cùng dấu với hệ số $a$ với mọi $x\in \mathbb{R}$

TH2: Nếu $\mathrm{\Delta }=0$ thì $f\left(x\right)$ cùng dấu với hệ số $a$ với mọi $x\in \mathbb{R}\mathrm{\setminus }\{-\frac{b}{2a}\}$

TH3: Nếu $\mathrm{\Delta }>0$, giả sử $f\left(x\right)=a{x}^2+bx+c,(a\ne 0)$ có hai nghiệm $x_1<x_2$

+) $f\left(x\right)$ cùng dấu với hệ số $a$ với mọi $x\in (-\mathrm{\infty };x_1)\cup (x_2;+\mathrm{\infty })$

+) $f\left(x\right)$ trái dấu với hệ số $a$ với mọi $x\in (x_1;x_2)$

Ghi nhớ. TRONG TRÁI - NGOÀI CÙNG

Chú ý. Trong định lý về dấu của tam thức bậc hai ta có thể thay $\mathrm{\Delta }$ bởi ${\mathrm{\Delta }}^{\prime }$.

Ví dụ 2. Lập bảng xét dấu các tam thức bậc hai sau

a) $f\left(x\right)=4x^2-3x+1$

b) $f\left(x\right)=-x^2+3x-5$

c) $f\left(x\right)=x^2-4x+4$

d) $f\left(x\right)=x^2-5x+6$

e) $f\left(x\right)=(2x-4)(x+3)$

Lời giải

a) Tam thức $f\left(x\right)=4x^2-3x+1$ có $\mathrm{\Delta }={(-3)}^2-4\cdot 4\cdot 1=-7<0$ nên $f\left(x\right)$ luôn cùng dấu với $a$ với mọi $x\in \mathbb{R}$, mà $a=4>0$ nên $f\left(x\right)>0,\mathrm{\forall }x\in \mathbb{R}$

Vậy $f\left(x\right)>0,\mathrm{\forall }x\in \mathbb{R}$

b) Tam thức $f\left(x\right)=4x^2-3x+1$ có $\mathrm{\Delta }=3^2-4\cdot (-1)\cdot (-5)=-11<0$ nên $f\left(x\right)$ luôn cùng dấu với $a$ với mọi $x\in \mathbb{R}$, mà $a=-11<0$ nên $f\left(x\right)<0,\mathrm{\forall }x\in \mathbb{R}$

Vậy $f\left(x\right)<0,\mathrm{\forall }x\in \mathbb{R}$

c) Tam thức $f\left(x\right)=x^2-4x+4$ có $\mathrm{\Delta }={(-4)}^2-4\cdot 1\cdot 4=0$ nên có nghiệm kép $x=-\frac{b}{2a}=2$ nên $f\left(x\right)$ luôn cùng dấu với $a$ với mọi $x\in \mathbb{R}\mathrm{\setminus }\left\{2\right\}$, mà $a=1>0$ nên $f\left(x\right)>0,\mathrm{\forall }x\in \mathbb{R}\mathrm{\setminus }\left\{2\right\}$

Vậy $f\left(x\right)>0,\mathrm{\forall }x\in \mathbb{R}\mathrm{\setminus }\left\{2\right\}$ và $f\left(x\right)=0$ khi $x=2$

d) Tam thức $f\left(x\right)=x^2-5x+6$ có hai nghiệm là $x=2,x=3$

Ta có bảng xét dấu ($a=1>0$)

Kết luận, $f\left(x\right)=x^2-5x+6>0$ khi $x\in (-\mathrm{\infty };2)\cup (3;+\mathrm{\infty })$

$f\left(x\right)=x^2-5x+6<0$ khi $x\in (2;3)$

$f\left(x\right)=0$ khi $x=2,x=3$

e) Tam thức $f\left(x\right)=(2x-4)(x+3)=2x^2+2x-12$ có hai nghiệm $x=2,x=-3$

Ta có bảng xét dấu ($a=2>0$)

Kết luận, $f\left(x\right)=(2x-4)(x+3)>0$ khi $x\in (-\mathrm{\infty };-3)\cup (2;+\mathrm{\infty })$

$f\left(x\right)=(2x-4)(x+3)<0$ khi $x\in (-3;2)$

$f\left(x\right)=0$ khi $x=-3,x=2$

---

BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI

Bất phương trình bậc hai ẩn $x$ là bất phương trình có dạng $a{x}^2+bx+c>0$ hoặc $a{x}^2+bx+c\ge 0$; $a{x}^2+bx+c<0$; $a{x}^2+bx+c\le 0$, trong đó $a,b,c$ là những số cho trước và $a\ne 0$.

Số thực $x_0$ gọi là một nghiệm của phương trình bậc hai $a{x}^2+bx+c>0$ nếu $a{x}_0^2+b{x}_0+c>0$. Tập hợp tất cả các nghiệm của bất phương trình bậc hai $a{x}^2+bx+c>0$ gọi là tập nghiệm của bất phương trình này

Giải bất phương trình bậc hai $f\left(x\right)=a{x}^2+bx+c>0$ là tìm tập nghiệm của nó, tức là tìm các khoảng mà trong đó $f\left(x\right)$ cùng dấu với hệ số $a$ (nếu $a>0$) hay trái dấu với $a$ (nếu $a<0$)

Nhận xét. Để giải bất phương trình bậc hai $f\left(x\right)=a{x}^2+bx+c>0$ (hoặc $f\left(x\right)=a{x}^2+bx+c\ge 0$, $f\left(x\right)=a{x}^2+bx+c<0$,$f\left(x\right)=a{x}^2+bx+c\le 0$) ta cần xét dấu tam thức $a{x}^2+bx+c$, từ đó suy ra tập nghiệm

Ví dụ 3. Giải các bất phương trình bậc hai sau

a) $3x^2+x+5\le 0$

b) $-3x^2+2\sqrt{3}x-1\ge 0$

c) $-x^2+2x+1>0$

Lời giải

a) Tam thức $f\left(x\right)=3x^2+x+5$ có $\mathrm{\Delta }=-59<0$, nên $f\left(x\right)$ cùng dấu với $a$ với mọi $x\in \mathbb{R}$, mà $a=3>0$ nên $f\left(x\right)=3x^2+x+5>0,\mathrm{\forall }x\in \mathbb{R}$. Do đó, bất phương trình $3x^2+x+5>0$ vô nghiệm.

b) Tam thức $f\left(x\right)=-3x^2+2\sqrt{3}x-1$ có $\mathrm{\Delta }=0$ (nghiệm kép $x=\frac{\sqrt{3}}{3}$), nên $f\left(x\right)$ cùng dấu với $a$ với mọi $x\in \mathbb{R}\mathrm{\setminus }\left\{\frac{\sqrt{3}}{3}\right\}$, mà $a=-3<0$ nên $f\left(x\right)=-3x^2+2\sqrt{3}x-1<0,\mathrm{\forall }x\in \mathbb{R}\mathrm{\setminus }\left\{\frac{\sqrt{3}}{3}\right\}$

Suy ra bất phương trình $-3x^2+2\sqrt{3}x-1\ge 0$ có nghiệm duy nhất $x=\frac{\sqrt{3}}{3}$

c) Tam thức $f\left(x\right)=-x^2+2x+1$ có $\mathrm{\Delta }=2>0$ nên có hai nghiêm phân biệt $x=1-\sqrt{2};x=1+\sqrt{2}$

Ta có bảng xét dấu ($a=-1<0$)

Tập nghiệm của bất phương trình $-x^2+2x+1>0$ là $(1-\sqrt{2};1+\sqrt{2})$

Ví dụ 4. Với những giá trị nào của $m$ thì đa thức $f\left(x\right)=(2-m)x^2-2x+1$ luôn dương

Lời giải

+) Với $2-m=0\iff m=2$, khi đó $f\left(x\right)=-2x+1$

$f\left(x\right)$ có thể nhận giá trị âm, ví dụ $x=1\Rightarrow f\left(x\right)=-1<0$

Do đó $m=2$ không thoả mãn yêu cầu bài toán

+) Với $2-m\ne 0\iff m\ne 2$

Ta có ${\mathrm{\Delta }}^{\prime }={(-1)}^2-(2-m).1=m-1$

Yêu cầu bài toán $\iff \{\begin{array}{rl}& a>0\\ & {\mathrm{\Delta }}^{\prime }<0\end{array}$$\iff \{\begin{array}{rl}& 2-m>0\\ & m-1<0\end{array}$$\iff m<1$

Vậy $m<1$ thì $f\left(x\right)$ luôn dương với mọi $x\in \mathbb{R}$

---

MỘT SỐ DẠNG BÀI TẬP VỀ DẤU CỦA TAM THỨC BẬC HAI CÓ LỜI GIẢI CHI TIẾT

ỨNG DỤNG XÉT DẤU TAM THỨC BẬC HAI ĐỂ TÌM TẬP XÁC ĐỊNH

Ví dụ 5. Tìm tập xác định của hàm số $y=\sqrt{x^2-4x+3}$

Lời giải

Điều kiện: $x^2-4x+3\ge 0$

Đặt $f\left(x\right)=x^2-4x+3$, có $\mathrm{\Delta }>0$ nên có hai nghiệm phân biệt $x=1,x=3$

Bảng xét dấu

Dựa vào bảng xét dấu, suy ra

$f\left(x\right)\ge 0$ khi $x\in (-\mathrm{\infty };1]\cup [3;+\mathrm{\infty })$ Vậy tập xác định $D=(-\mathrm{\infty };1]\cup [3;+\mathrm{\infty })$

TÌM THAM SỐ M ĐỂ TAM THỨC BẬC HAI LUÔN DƯƠNG, LUÔN ÂM

Ví dụ 6. Tìm $m$ để các tam thức $f\left(x\right)=(m-1)x^2+(2m+1)x+m+1$ luôn dương với mọi $x\in \mathbb{R}$

Lời giải

Dễ thấy $a=m-1$, $b=2m+1$, $c=m+1$

Để $f\left(x\right)$ luôn dương $\iff f\left(x\right)>0,\mathrm{\forall }x\in \mathbb{R}$

$\iff \{\begin{array}{rl}& \mathrm{\Delta }<0\\ & a>0\end{array}$$\iff \{\begin{array}{rl}& {(2m+1)}^2-4(m-1)(m+1)<0\\ & m-1>0\end{array}$

$\iff \{\begin{array}{rl}& 4m^2+4m+1-4m^2+4<0\\ & m>1\end{array}$

$\iff \{\begin{array}{rl}& 4m+5<0\\ & m>1\end{array}$

$\iff \{\begin{array}{rl}& m<-\frac{5}{4}\\ & m>1\end{array}$

Vậy không tìm được $m$ thoả mãn yêu cầu bài toán.

TÌM M ĐỂ BẤT PHƯƠNG TRÌNH CÓ NGHIỆM ĐÚNG

Ví dụ 7.Tìm $m$ để bất phương trình $x^2-2mx+4>0$ có nghiệm đúng với mọi $x\in \mathbb{R}$

Đặt $f\left(x\right)=x^2-2mx+4$

Bất phương trình $x^2-2mx+4>0$ có nghiệm đúng với mọi $x\in \mathbb{R}$ tương đương với

$f\left(x\right)>0,\mathrm{\forall }x\in \mathbb{R}$$\iff x^2-2mx+4>0,\mathrm{\forall }x\in \mathbb{R}$

$\iff \{\begin{array}{rl}& {\mathrm{\Delta }}^{\prime }<0\\ & a>0\end{array}$$\iff \{\begin{array}{rl}& {(-m)}^2-1\cdot 4<0\\ & 1>0(hien\mathrm{\_}nhien)\end{array}$$\iff m^2-4<0$

Đặt $g\left(m\right)=m^2-4$, Xét dấu $g\left(m\right)$ ta suy ra $-2<m<2$

Vậy với $m\in (-2;2)$ thì bất phương trình $x^2-2mx+4>0$ có nghiệm đúng với mọi $x\in \mathbb{R}$

XEM BÀI KẾ TIẾP: PHƯƠNG TRÌNH QUY VỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI

---

KẾT LUẬN DẤU CỦA TAM THỨC BẬC HAI

Hy vọng qua bài viết này, các em biết được tam thức bậc hai dương khi nào, âm khi nào, biết cách xét dấu tam thức bậc hai và ghi nhớ TRONG TRÁI - NGOÀI CÙNG.

Các em cũng có thể làm được một số ví dụ về xét dấu cũng như các bài toán cơ bản mà trong bài viết đã trình bày lời giải một cách chi tiết.

Hãy để lại ý kiến đóng góp cũng như bình luận ở phần comment để bài viết ngày càng hoàn thiện hơn!