CÔNG THỨC SỐ ĐIỂM CỰC TRỊ CỦA HÀM CHỨA TRỊ TUYỆT ĐỐI

---

Bài toán. Cho đồ thị hàm số $y=f(x)$. Hỏi đồ thị hàm số $y=|f(x)|$ có bao nhiêu điểm cực trị?

Trả lời

Gọi $m$ là số cực trị của hàm số $y=f(x)$. Gọi $n$ là số nghiệm bội lẻ của phương trình $f(x)=0$ (hay giao đồ thị $f(x)$ với $Ox$, chỉ lấy những điểm cắt không lấy những điểm tiếp xúc). Khi đó số cực trị của hàm số $y=|f(x)|$ là $m+n$

Ví dụ. Cho hàm $f(x)$ có đồ thị như hình dưới. Hàm số $y=|f(x)|$ có bao nhiêu điểm cực trị?

Trả lời

Quan sat đồ thị ta có nhận xét

+) Số cực trị của đồ thị là $2$ nên $m=2$

+) Số nghiệm của phương trình $f(x)=0$ là $3$ nên $n=3$

Vậy số điểm cực trị của hàm số $y=|f(x)|$ là $m+n=5$

---

Bài toán. Cho đồ thị hàm số $y=f(x)$. Hỏi đồ thị hàm số $y=f(|x|)$ có bao nhiêu điểm cực trị?

Trả lời

Gọi $m$ là số cực trị của hàm số $y=f(x)$ có hoành độ dương. Khi đó số cực trị của hàm số $y=f(|x|)$ là $2m+1$

Ví dụ. Cho hàm $f(x)$ có đồ thị như hình dưới. Hàm số $y=f(|x|)$ có bao nhiêu điểm cực trị?

Trả lời

Quan sát đồ thị

+) Số cực trị của hàm số $y=f(x)$ có hoành độ dương là $1$ nên $m=1$

Vậy số điểm cực trị của hàm số $y=f(|x|)$ là $2m+1=3$

Đọc vẽ đồ thị chứa trị tuyệt đối để hiểu rõ vì sao lại có các công thức như trên

---

Ví dụ về cực trị của hàm chứa trị tuyệt đối

Ví dụ 1. Cho hàm số $f(x)=x^3-3x+2$. Tìm số điểm cực trị của hàm số $|f(x)|$ và $f(|x|)$

Giải

Khảo sát hàm số $f(x)=x^3-3x+2$, ta có được đồ thị như sau

*) Số điểm cực trị của hàm $|f(x)|$

Dựa vào đồ thị, ta có số cực trị của $f(x)$ là $2$ nên $m=2$. Số nghiệm bội lẻ của $f(x)=0$ là $1$ nên $n=1$ (không lấy điểm tiếp xúc)

Vậy số cực trị của $|f(x)|$ là $m+n=3$

*) Số điểm cực trị của hàm số $f(|x|)$

Dựa vào đồ thị, số điểm cực trị dương của đồ thị hàm số $f(x)$ là $1$ nên $n=1$

Vậy số điểm cực trị của $f(|x|)$ là $2n+1=3$

Ví dụ 2. Cho hàm số $y=\left| {{x}^{4}}-2{{x}^{2}}+m \right|$ với $m$ là tham số. Tìm $m$ để hàm số có bảy điểm cực trị

Giải

Xét hàm số $f\left( x \right)={{x}^{4}}-2{{x}^{2}}+m$

$f'\left( x \right)=4{{x}^{3}}-4x=0$

$\Rightarrow \left[ \begin{align} & x=0 \\ & x=-1 \\ & x=1 \\ \end{align} \right.$

Ta có bảng biến thiên

Để hàm số $y=\left| f\left( x \right) \right|$ có $7$ điểm cực trị thì hàm số $y=f\left( x \right)$ phải có $3$ điểm cực trị và $4$ nghiệm (bội lẻ)

Yêu cầu bài toán tương đương phương trình ${{x}^{4}}-2{{x}^{2}}+m=0$ có $4$ nghiệm

$\Leftrightarrow m-1<0<m$

$\Leftrightarrow 0<m<1$

Ví dụ 3. Cho hàm số $y=\left| 3{{x}^{4}}-4{{x}^{3}}-12{{x}^{2}}+m \right|$ với $m$ là tham số. Tìm $m$ để hàm số có $5$ điểm cực trị

Giải

Xét hàm số $f\left( x \right)=3{{x}^{4}}-4{{x}^{3}}-12{{x}^{2}}+m$

$f'\left( x \right)=12{{x}^{3}}-12{{x}^{2}}-24x=0$

$\Rightarrow \left[ \begin{align} & x=0 \\ & x=-1 \\ & x=2 \\ \end{align} \right.$

Ta có bảng biến thiên

Để hàm số $y=\left| f\left( x \right) \right|$ có $5$ cực trị thì hàm số $y=f\left( x \right)$ có $3$ cực trị và $2$ nghiệm (bội lẻ)

Yêu cầu bài toán tương đương phương trình $3{{x}^{4}}-4{{x}^{3}}-12{{x}^{2}}+m=0$ có $2$ nghiệm (bội lẻ)

$\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & m-32<0\le m-5 \\ & m<0 \\ \end{align} \right.$

$\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & 5\le m<32 \\ & m<0 \\ \end{align} \right.$