Phương trình đường vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau

Bài toán. Cho hai đường thẳng $d_1,d_2$ chéo nhau. Viết phương trình đường thẳng vuông góc chung của $d_1,d_2$.

Cách 1. Viết phương trình mặt phẳng $(P)$ đi đi qua $d_1$ và song song với $d_2$. Viết phương trình mặt phẳng $(Q)$ đi qua $d_1$ và vuông góc với $(P)$. Tìm giao điểm $M$ của $(Q)$ và $d_2$. Phương trình đường thẳng vuông góc chung của $d_1,d_2$ là đường thẳng đi qua $M$ và vuông góc với $(P)$.

Cách 2. Giả sử $d$ là đường vuông góc chung của $d_1,d_2$, gọi $M=d\cap d_1,N=d\cap d_2$. Khi đó ta có hệ phương trình $$\{\begin{array}{l}\overrightarrow{MN}\overrightarrow{u_{d_1}}=0\\ \overrightarrow{MN}\overrightarrow{u_{d_2}}=0\end{array}$$ Từ đó ta suy ra được tọa độ $M,N$ và viết được $d$.

---

Ví dụ 1. Viết phương trình đường vuông góc chung của hai đường thẳng

$d_1:\{\begin{array}{rl}& x=t\\ & y=5-2t\\ & z=14-3t\end{array}$ và $d_2:\{\begin{array}{rl}& x=9-4t\\ & y=3+t\\ & z=-1+5t\end{array}$

Giải

Gọi $\mathrm{\Delta }$ là đường thẳng vuông góc chung của $d_1;d_2$

Gọi $M=\mathrm{\Delta }\cap d_1;N=\mathrm{\Delta }\cap d_2$

Khi đó $M\in d_1\Rightarrow M(t;5-2t;14-3t)$

$N\in d_2\Rightarrow N(9-4t^{\prime };3+t^{\prime };-1+5t^{\prime })$

Suy ra $\overrightarrow{MN}=(9-4t^{\prime }-t;-2+t^{\prime }+2t;-15+5t^{\prime }+3t)$

Khi đó ta có hệ phương trình

$\{\begin{array}{rl}& \overrightarrow{MN}.\overrightarrow{u_1}=0\\ & \overrightarrow{MN}.\overrightarrow{u_2}=0\end{array}$ $\iff$ $\{\begin{array}{rl}& 1(9-4t^{\prime }-t)-2(-2+t^{\prime }+2t)-3(-15+5t^{\prime }+3t)=0\\ & -4(9-4t^{\prime }-t)+1(-2+t^{\prime }+2t)+5(-15+5t^{\prime }+3t)=0\end{array}$

$\iff \{\begin{array}{rl}& -21t^{\prime }-14t=-58\\ & 42t^{\prime }+21t=-113\end{array}$

$\iff \{\begin{array}{rl}& t^{\prime }=-\frac{400}{21}\\ & t=\frac{229}{7}\end{array}$

Suy ra ${\displaystyle M(\frac{229}{7};-\frac{423}{7};-\frac{589}{7});N(\frac{1789}{21};-\frac{337}{21};-\frac{2021}{21})}$

${\displaystyle \overrightarrow{MN}=(\frac{1102}{21};\frac{932}{21};-\frac{245}{21})}$

Phương trình đường vuông góc chung $\mathrm{\Delta }$

$\mathrm{\Delta }:\{\begin{array}{rl}& x=\frac{229}{7}+\frac{1102}{21}t\\ & y=-\frac{423}{7}+\frac{932}{21}t\\ & z=-\frac{589}{7}-\frac{245}{21}t\end{array}$