Phương trình đường vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau

Bài toán. Cho hai đường thẳng $d_1,d_2$ chéo nhau. Viết phương trình đường thẳng vuông góc chung của $d_1,d_2$.

Cách 1. Viết phương trình mặt phẳng $(P)$ đi đi qua $d_1$ và song song với $d_2$. Viết phương trình mặt phẳng $(Q)$ đi qua $d_1$ và vuông góc với $(P)$. Tìm giao điểm $M$ của $(Q)$ và $d_2$. Phương trình đường thẳng vuông góc chung của $d_1,d_2$ là đường thẳng đi qua $M$ và vuông góc với $(P)$.

Cách 2. Giả sử $d$ là đường vuông góc chung của $d_1,d_2$, gọi $M=d\cap d_1,N=d\cap d_2$. Khi đó ta có hệ phương trình $$\begin{cases}\overrightarrow{MN}\vec{u_{d_1}}=0\\\overrightarrow{MN}\vec{u_{d_2}}=0\end{cases}$$ Từ đó ta suy ra được tọa độ $M,N$ và viết được $d$.

---

Ví dụ 1. Viết phương trình đường vuông góc chung của hai đường thẳng

${{d}_{1}}:\left\{ \begin{align} & x=t \\ & y=5-2t \\ & z=14-3t \\ \end{align} \right.$ và ${{d}_{2}}:\left\{ \begin{align} & x=9-4t \\ & y=3+t \\ & z=-1+5t \\\end{align} \right.$

Giải

Gọi $\Delta $ là đường thẳng vuông góc chung của ${{d}_{1}};{{d}_{2}}$

Gọi $M=\Delta \cap {{d}_{1}};N=\Delta \cap {{d}_{2}}$

Khi đó $M\in {{d}_{1}}\Rightarrow M(t;5-2t;14-3t)$

$N\in {{d}_{2}}\Rightarrow N(9-4t';3+t';-1+5t')$

Suy ra $\overrightarrow{MN}=(9-4t'-t;-2+t'+2t;-15+5t'+3t)$

Khi đó ta có hệ phương trình

$\left\{ \begin{align} & \overrightarrow{MN}.\overrightarrow{{{u}_{1}}}=0 \\ & \overrightarrow{MN}.\overrightarrow{{{u}_{2}}}=0 \\\end{align} \right.$ $\Leftrightarrow$ $\left\{ \begin{align} & 1(9-4t'-t)-2(-2+t'+2t)-3(-15+5t'+3t)=0 \\ & -4(9-4t'-t)+1(-2+t'+2t)+5(-15+5t'+3t)=0 \\\end{align} \right.$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{align} & -21t'-14t=-58 \\ & 42t'+21t=-113 \\ \end{align} \right.$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{align} & t'=-\frac{400}{21} \\ & t=\frac{229}{7} \\ \end{align} \right.$

Suy ra $\displaystyle M\left( \frac{229}{7};-\frac{423}{7};-\frac{589}{7} \right);N\left( \frac{1789}{21};-\frac{337}{21};-\frac{2021}{21} \right)$

$\displaystyle \overrightarrow{MN}=\left( \frac{1102}{21};\frac{932}{21};-\frac{245}{21} \right)$

Phương trình đường vuông góc chung $\Delta $

$\Delta :\left\{ \begin{align} & x=\frac{229}{7}+\frac{1102}{21}t \\ & y=-\frac{423}{7}+\frac{932}{21}t \\ & z=-\frac{589}{7}-\frac{245}{21}t \\ \end{align} \right.$