BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM MẶT NÓN - LỜI GIẢI CHI TIẾT (PHẦN 1)

Trắc nghiệm mặt nón lời giải chi tiết (Phần 1)

Phần 1 bao gồm 20 câu trắc nghiệm mặt nón có lời giải chi tiết

Câu 1. Cho khối nón có bán kính đáy là $r$ và đường cao là $h$. Thể tích của khối nón bằng

A. $\dfrac{1}{3}\pi {r^2}h$. 

B. $\pi {r^2}h$.

C. $2\pi {r^2}h$.

D. $\dfrac{1}{3}\pi r{h^2}$.

Phương pháp:  Thể tích của khối nón có bán kính đáy là $r$ và đường cao là $h$ là: $\dfrac{1}{3}\pi {r^2}h$.

Giải. Thể tích của khối nón có bán kính đáy là $r$ và đường cao là $h$ là: $\dfrac{1}{3}\pi {r^2}h$.

Chọn A.

Câu 2. Diện tích xung quanh của hình nón có bán kính đường tròn đáy $R$ và chiều cao $h$ bằng:

A. ${S_{xq}} = \dfrac{1}{3}\pi {R^2}h$

B. ${S_{xq}} = \pi R\sqrt {{R^2} + {h^2}} $

C. ${S_{xq}} = \pi R\sqrt {{R^2} - {h^2}} $

D. ${S_{xq}} = \pi Rh$

Phương pháp:  - Tính đường sinh của hình nón $l = \sqrt {{R^2} + {h^2}} $.

- Áp dụng công thức

C tính diện tích xung quanh của hình nón có bán kính đáy $R$, đường sinh $l$là ${S_{xr}} = \pi Rl$.

Giải. Hình nón có bán kính đáy R và chiều cao h thì đường sinh $l = \sqrt {{R^2} + {h^2}} $.

Khi đó diện tích xung quanh hình nón là ${S_{xq}} = \pi Rl = \pi R\sqrt {{R^2} + {h^2}} $.

Chọn B.

Câu 3. Cho hình nón có bán kính đường tròn đáy bằng $R,$ chiều cao bằng $h,$ độ dài đường sinh bằng $l.$ Khẳng định nào sau đây đúng?

A. ${R^2} = {l^2} + {h^2}$

B. $l = \sqrt {{R^2} + {h^2}} $

C. $l = \sqrt {{R^2} - {h^2}} $

D. $h = \sqrt {{R^2} - {l^2}} $

Phương pháp:  Hình nón có bán kính đáy $R,$ chiều cao $h$ và đường sinh $l$ thì ta có: ${l^2} = {h^2} + {R^2}.$

Giải. 

Hình nón có bán kính đáy $R,$ chiều cao $h$ và đường sinh $l$ thì ta có: ${l^2} = {h^2} + {R^2}.$

$ \Rightarrow l = \sqrt {{R^2} + {h^2}} .$

Chọn B.

Câu 4. Cho hình nón có bán kính đáy $r = \sqrt 3 ,$ độ dài đường sinh $l = 4.$ Tính diện tích xung quanh của hình nón đó?

A. $\sqrt {39} \pi $

B. $4\sqrt 3 \pi $

C. $12\pi $

D. $8\sqrt 3 \pi $

Phương pháp:  Diện tích xung quanh của hình nón bán kính đáy $R$ và đường sinh $l$ là: ${S_{xq}} = \pi Rl.$

Giải. Diện tích xung quanh của hình nón đã cho là: ${S_{xq}} = \pi Rl = \pi .\sqrt 3 .4 = 4\sqrt 3 \pi .$

Chọn B.

Câu 5. Diện tích xung quanh của hình nón có chiều cao $h$, độ dài đường sinh $l$, bán kính đáy $r$ bằng:

A. ${S_{xq}} = \pi rl$

B. ${S_{xq}} = 2\pi rh$

C. ${S_{xq}} = 2\pi {r^3}h$

D. ${S_{xq}} = \pi rh$

Phương pháp:  Diện tích xung quanh của hình nón có chiều cao $h$, độ dài đường sinh $l$, bán kính đáy $r$ bằng: ${S_{xq}} = \pi rl$.

Giải. Diện tích xung quanh của hình nón có chiều cao $h$, độ dài đường sinh $l$, bán kính đáy $r$ bằng: ${S_{xq}} = \pi rl$.

Chọn A.

Câu 6. Cho hình nón có chiều cao $h = 4,$ bán kính đáy $r = 3.$ Diện tích xung quanh của hình nón đã cho bằng:

A. $20\pi $

B. $10\pi $

C. $15\pi $

D. $30\pi $

Phương pháp:  Diện tích xung quanh của hình nón bán kính đáy $R$ và chiều cao $h$ là ${S_{xq}} = \pi Rl = \pi R.\sqrt {{h^2} + {R^2}} .$

Giải. Diện tích xung quanh của hình nón đã cho là: ${S_{xq}} = \pi Rl = \pi .3.\sqrt {{4^2} + {3^2}} = 15\pi .$

Chọn C.

Câu 7. Cho hai đường thẳng $d$ và $\Delta $ cắt nhau nhưng không vuông góc với nhau. Mặt tròn xoay sinh bởi đường thẳng $d$ khi quay quanh $\Delta $ là:

A. Mặt trụ

B. Mặt phẳng

C. Mặt cầu

D. Mặt nón

Phương pháp:  Dựa vào lý thuyết về khối tròn xoay.

Giải. Mặt tròn xoay sinh bởi đường thẳng $d$ khi quay quanh $\Delta $ với $d$ và $\Delta $ là hai đường thẳng cắt nhau nhưng không vuông góc ta được một khối nón tròn xoay.

Chọn D.

Câu 8. Cho khối nón có chiều cao $h$ và đường kính đường tròn đáy là $a$. Thể tích của khối nón đã cho bằng:

A. $\dfrac{1}{{12}}\pi {a^2}h$

B. $\dfrac{1}{6}\pi {a^2}h$ 

C. $\dfrac{1}{4}\pi {a^2}h$

D. $\dfrac{1}{3}\pi {a^2}h$

Phương pháp:  Thể tích khối nón có chiều cao $h$ và bán kính đáy $R$ là: $V = \dfrac{1}{3}\pi {R^2}h.$

Giải. Bán kính đường tròn đáy của khối nón đã cho là: $R = \dfrac{a}{2}.$

$ \Rightarrow $ Thể tích của khối nón đã cho là:$V = \dfrac{1}{3}\pi {R^2}h = \dfrac{1}{3}\pi {\left( {\dfrac{a}{2}} \right)^2}.h = \dfrac{1}{{12}}\pi {a^2}h.$

Chọn A.

Câu 9. Cho hình nón có thiết diện qua trục là tam giác đều cạnh bằng $2a$ . Diện tích xung quanh của hình nón bằng

A. $2\pi {a^2}$

B. $8\pi {a^2}$

C. $4\pi {a^2}$

D. $\dfrac{2}{3}\pi {a^2}$

Phương pháp:  - Dựa vào thiết diện qua trục xác định đường sinh $l$ và bán kính $r$ của hình nón.

- Diện tích xung quanh của hình nón có đường sinh $l$ và bán kính $r$ là ${S_{xq}} = \pi rl$.

Giải. 

Vì thiết diện qua trục là tam giác đều cạnh $2a$ nên hình nón có đường sinh $l = 2a$ và bán kính đáy $r = a$.

Vậy diện tích xung quanh của hình nón là ${S_{xq}} = \pi rl = \pi .a.2a = 2\pi {a^2}$.

Chọn A.

Câu 10. Cho hình nón có bán kính đáy R, gó

C ở đỉnh là $2\alpha $ với ${45^0} < \alpha < {90^0}$. Tính diện tích xung quanh của hình nón theo R và $\alpha $.

A. $\dfrac{{4\pi {a^2}}}{{\sin \alpha }}$

B. $\dfrac{{2\pi {a^2}}}{{\sin \alpha }}$

C. $\dfrac{{\pi {a^2}}}{{\sin \alpha }}$

D. $\dfrac{{\pi {a^2}}}{{3\sin \alpha }}$

Phương pháp:  - Dựa vào thiết diện qua trục xác định đường sinh $l$ và bán kính $r$ của hình nón.

- Diện tích xung quanh của hình nón có đường sinh $l$ và bán kính $r$ là ${S_{xq}} = \pi rl$.

Giải. 

Theo bài ra ta có: $\angle NSM = 2\alpha \Rightarrow \angle OSM = \alpha $.

Xét tam giác vuông SOM ta có: $l = SM = \dfrac{{OM}}{{\sin \alpha }} = \dfrac{R}{{\sin \alpha }}$.

Vậy diện tích xung quanh của hình nón là ${S_{xq}} = \pi .R.\dfrac{R}{{\sin \alpha }} = \dfrac{{\pi {R^2}}}{{\sin \alpha }}$.

Chọn C.

Câu 11. Tính diện tích xung quanh của hình nón có đường sinh bằng 2, bán kính đáy bằng 1.

A. $2\pi $

B. $4\pi $

C. $\pi $

D. $\sqrt 3 \pi $

Phương pháp:  Công thức tính diện tích xung quanh hình nón có bán kính đáy $R,\;$chiều cao $h$ và đường sinh $l:\;$

$\;{S_{xq}} = \pi Rl = \pi R\sqrt {{h^2} + {R^2}} .$

Giải. Diện tích xung quanh của hình nón có đường sinh bằng 2, bán kính đáy bằng 1 là: ${S_{xq}} = \pi Rl = \pi .2.1 = 2\pi .$

Chọn A.

Câu 12. Cho hình nón có chiều cao $h = 4cm$, bán kính đáy $r = 3cm$. Độ dài đường sinh của hình nón là

A. $5cm$

B. $\sqrt 7 cm$

C. $12cm$

D. $7cm$

Phương pháp:  Gọi $h,\,\,r,\,\,l$ lần lượt là đường cao, bán kính đáy và độ dài đường sinh của hình nón, khi đó $l = \sqrt {{h^2} + {r^2}} $.

Giải. Độ dài đường sinh của hình nón là $l = \sqrt {{h^2} + {r^2}} = \sqrt {{4^2} + {3^2}} = 5\,\,\left( {cm} \right).$

Chọn A.

Câu 13. Cho hình nón có diện tích xung quanh bằng $6\pi {a^2}$ và đườngkính đáy bằng $2a$. Tính độ dài đường sinh hình nón đã cho.

A. $3a$

B. $2a$

C. $6a$

D. $\sqrt 6 a$

Phương pháp:  Diện tích xung quanh của hình nón có bán kính đáy $r$ và đường sinh $l$ là: ${S_{xq}} = \pi rl$.

Giải. Bán kính đáy của hình nón là $r = \dfrac{{2a}}{2} = a$.

Diện tích xung quanh của hình nón là: ${S_{xq}} = \pi rl$ $ \Leftrightarrow 6\pi {a^2} = \pi .a.l \Leftrightarrow l = 6a$.

Vậy độ dài đường sinh của hình nón đã cho là $6a$.

Chọn C.

Câu 14. Cho tam giác ABC vuông tại $A,\,\,AB = c,\,\,AC = b.$ Quay tam giác $ABC$ xung quanh đường thẳng chứa cạnh $AB$ ta được một hình nón có thể tích bằng.

A. $\frac{1}{3}\pi b{c^2}.$

B. $\frac{1}{3}b{c^2}.$ 

C. $\frac{1}{3}{b^2}c.$

D. $\frac{1}{3}\pi {b^2}c.$

Phương pháp:  Thể tích khối nón có bán kính đáy $R$ và chiều cao $h:\;\;\;V = \frac{1}{3}\pi {R^2}h.$ 

Giải. Khi quay $\Delta ABC$ vuông tại $A$ quanh đường thẳng chứa cạnh $AB$ ta đượ

C hình nón có đường cao $h = A

B = c,$ bán kính đáy $r = A

C = b.$ Khi đó thể tích khối nón đượ

C tạo thành là: $V = \frac{1}{3}\pi {r^2}h = \frac{1}{3}\pi {b^2}c.$

Chọn D.

Câu 15. Diện tích xung quanh ${S_{xq}}$ của hình nón có bán kính đáy $R = a$ và đường sinh $l = a\sqrt 2 $ là.

A. ${S_{xq}} = 2\pi {a^2}.$

B. ${S_{xq}} = \pi {a^2}.$

C. ${S_{xq}} = \pi \sqrt 2 {a^2}.$

D. ${S_{xq}} = \sqrt 2 {\pi ^2}a.$

Phương pháp:  Diện tích xung quanh hình nón ${S_{xq}} = \pi Rl$.

Giải. Diện tích xung quanh hình nón ${S_{xq}} = \pi Rl$$ = \pi .a.a\sqrt 2 = \pi {a^2}\sqrt 2 $.

Chọn C.

Câu 16. Nếu một khối nón có bán kính đường tròn đáy và độ dài đường cao cùng bằng $3a$ thì có thể tích bằng

A. $\pi {a^3}.$

B. $3\pi {a^3}.$

C. $27\pi {a^3}.$

D. $9\pi {a^3}.$

Phương pháp:  Thể tích khối nón có chiều cao $h$, bán kính đáy $r$ là $V = \dfrac{1}{3}\pi {r^2}h$.

Giải. Ta có: $r = h = 3a$.

Vậy thể tích khối nón là: $V = \dfrac{1}{3}\pi {r^2}h = \dfrac{1}{3}\pi {\left( {3a} \right)^2}.3a = 9\pi {a^3}$.

Đáp án D.

Câu 17. Cho khối nón có bán kính đáy $r = \sqrt 2 $, chiều cao $h = 2\sqrt 3 $. Thể tích của khối nón là:

A. $\frac{{4\pi \sqrt 3 }}{3}$

B. $8\pi \sqrt 3 $

C. $\frac{{2\pi \sqrt 3 }}{3}$

D. $\frac{{4\pi \sqrt 3 }}{2}$

Phương pháp:  Thể tích khối nón có chiều cao $h$, bán kính đáy $r$ là: $V = \frac{1}{3}\pi {r^2}h$.

Giải. Thể tích khối nón là $V = \frac{1}{3}\pi .{\left( {\sqrt 2 } \right)^2}.2\sqrt 3 = \frac{{4\pi \sqrt 3 }}{3}$.

Chọn A.

Câu 18. Cho hình nón có bán kính đường tròn đáy $r = 3a$ và đường sinh $l = 2r.$ Diện tích xung quanh của hình nón bằng

A. $6\pi {a^2}.$ 

B. $9\pi {a^2}.$ 

C. $36\pi {a^2}.$ 

D. $18\pi {a^2}.$

Phương pháp:  Diện tích xung quanh hình nón ${S_{xq}} = \pi rl$.

Giải. Diện tích xung quanh hình nón ${S_{xq}} = \pi rl$$ = \pi .\left( {3a} \right).\left( {2.3a} \right) = 18\pi {a^2}$.

Chọn D.

Câu 19. Cho khối nón có bán kính đáy $r = 3$ và chiều cao $h = 5$. Tính thể tích $V$ của khối nón đã cho

A. $V = 5\pi $

B. $V = 45\pi $

C. $V = 16\pi \sqrt 3 $

D. $V = 15\pi $

Phương pháp:  Thể tích của khối nón được tính bởi công thức $V = \dfrac{1}{3}\pi {r^2}h$ ($r$ là bán kính đáy, $h$ là chiều cao).

Giải. Thể tích $V$ của khối nón có bán kính đáy $r = 3$ và chiều cao $h = 5$ là: $V = \dfrac{1}{3}\pi {r^2}h = \dfrac{1}{3}\pi {.3^2}.5 = 15\pi .$

Chọn D.

Câu 20. Một dụng cụ đựng chất lỏng có dạng hình nón với chiều cao là 30cm và bán kính đáy là 15cm. Dụng cụ này đựng được tối đa bao nhiêu cm3 chất lỏng?

A. $2250\pi \left( {c{m^3}} \right).$ 

B. $750\pi \left( {c{m^3}} \right).$

C. $2250\left( {c{m^3}} \right).$ 

D. $750\left( {c{m^3}} \right).$

Phương pháp:  Thể tích khối nón chiều cao $h$, bán kính đáy $r$ là $V = \frac{1}{3}\pi {r^2}h$.

Giải. Khối nón có chiều cao cao $h = 30cm$ và bán kính đáy $r = 15cm$ có thể tích là $V = \frac{1}{3}\pi {r^2}h = \frac{1}{3}\pi {.15^2}.30 = 2250\pi \,\,\left( {c{m^3}} \right)$.

Chọn A.