10 HK1 L5

ĐỀ THI HỌC KÌ 1 LỚP 10 - L5

10 HK1 L5

Đề thi học kì một theo chương trình sách mới Kết nối tri thức và cuộc sống

Chỉ thành viên được chia sẻ mới có thể Download

---

HƯỚNG DẪN GIẢI TỰ LUẬN

Câu 39. Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$ cho điểm $M\left( 3\,;\,1 \right)$. Giả sử $A\left( a\,;\,0 \right)$ và $B\left( 0\,;\,b \right)$ là hai điểm sao cho tam giác $MAB$ vuông tại $M$ và có diện tích nhỏ nhất. Tính giá trị của biểu thức $T={{a}^{2}}+{{b}^{2}}$.

Ta có: $\overrightarrow{MA}=\left( a-3;-1 \right)$1

$\overrightarrow{MB}=\left( -3;b-1 \right)$

+) Ta có tam giác $MAB$ vuông tại $M$ nên

$\overrightarrow{MA}\cdot \overrightarrow{MB}=0$

$\Leftrightarrow \left( a-3 \right)\times \left( -3 \right)+\left( -1 \right)\times \left( b-1 \right)=0$

$\Leftrightarrow b=10-3a$

+) Diện tích tam giác $MAB$ là

$S=\dfrac{1}{2}MA.MB$

$S=\dfrac{1}{2}\sqrt{{{\left( a-3 \right)}^{2}}+{{\left( -1 \right)}^{2}}}\times \sqrt{{{\left( -3 \right)}^{2}}+{{\left( b-1 \right)}^{2}}}$

Thay $b=10-3a$ và ta được

$S=\dfrac{1}{2}\sqrt{{{\left( a-3 \right)}^{2}}+{{\left( -1 \right)}^{2}}}\times \sqrt{{{\left( -3 \right)}^{2}}+{{\left( 10-3a-1 \right)}^{2}}}$

$S=\dfrac{1}{2}\sqrt{{{\left( a-3 \right)}^{2}}+1}\times \sqrt{9+{{\left( 9-3a \right)}^{2}}}$

$S=\dfrac{1}{2}\sqrt{{{\left( a-3 \right)}^{2}}+1}\times 3\sqrt{1+{{\left( 3-a \right)}^{2}}}$

$S=\dfrac{3}{2}\sqrt{{{\left( a-3 \right)}^{2}}+1}\times \sqrt{1+{{\left( a-3 \right)}^{2}}}$

$S=\dfrac{3}{2}\left[ {{\left( a-3 \right)}^{2}}+1 \right]$

$S=\dfrac{3}{2}{{\left( a-3 \right)}^{2}}+\dfrac{3}{2}\ge \dfrac{3}{2}$

Vậy giá trị nhỏ nhất của $S$ là $\dfrac{3}{2}$, dấu “bằng” xảy ra khi $a=3$ và $b=1$

Vậy $T={{a}^{2}}+{{b}^{2}}={{3}^{2}}+{{1}^{2}}=10$