HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN

 

Ví dụ 1. Người ta dự định dùng hai loại nguyên liệu để chiết xuất ít nhất $140$kg chất A và $9$ kg chất $B.$ Từ mỗi tấn nguyên liệu loại I giá $4$ triệu đồng có thể chiết xuất được $20$kg chất A và $0,6$ kg chất $B.$ Từ mỗi tấn nguyên liệu loại II giá $3$ triệu đồng, có thể chiết xuất được $10$kg chất A và $1,5$ kg chất $B.$ Hỏi phải dùng bao nhiêu tấn nguyên liệu mỗi loại để chi phí mua nguyên liệu là ít nhất, biết rằng cơ sở cung cấp nguyên liệu chỉ có thể cung cấp không quá $10$ tấn nguyên liệu loại I và không quá $9$ tấn nguyên liệu loại II?

Giải

Gọi $x,y$ (tấn) lần lượt là số tấn nguyên liệu loại I, II ($x,y\ge 0$)

+) Cơ sở cung cấp nguyên liệu chỉ có thể cung cấp không quá $10$ tấn nguyên liệu loại I và không quá $9$ tấn nguyên liệu loại II nên:

$\{\begin{array}{rl}& 0\le x\le 10\\ & 0\le y\le 9\end{array}\left(1\right)$

+) Từ $1$ tấn nguyên liệu loại I có thể chiết được $20$kg chất A, $0,6$kg chất B, từ $1$ tấn nguyên liệu loại II có thể chiết được $10$kg chất A, $1,5$kg chất B và cần chiết xuất ít nhất $140$kg chất A, $9$kg chất B nên:

$\{\begin{array}{rl}& 20x+10y\ge 140\\ & 0,6x+1,5y\ge 9\end{array}$

Hay

$\{\begin{array}{rl}& 2x+y\ge 14\\ & 2x+5y\ge 30\end{array}\left(2\right)$

+) Từ $\left(1\right),\left(2\right)$ ta có hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn

$\{\begin{array}{rl}& 0\le x\le 10\\ & 0\le y\le 9\\ & 2x+y\ge 14\\ & 2x+5y\ge 30\end{array}(\ast )$

+) Biểu diễn miền nghiệm của hệ $(\ast )$

+) Miền nghiệm của hệ $(\ast )$ là tứ giác lồi $ABCD$ (kể cả biên)

Với $A(5;4)$, $B(\frac{5}{2};9)$, $C(10;9)$, $D(10,2)$

+) $1$ tấn nguyên liệu loại I có giá $4$ triệu đồng, $1$ tấn nguyên liệu loại II có giá $3$ triệu đồng nên chi phí để mưa nguyên liệu là:

$F(x,y)=4x+3y$ (triệu đồng)

+) Chi phí mua nguyên liệu thấp nhất khi đạt tại các đỉnh. Thử lần lượt toạ độ các điểm vào $F(x,y)$ ta được $F(5,4)=32$ là nhỏ nhất

+) Vậy $x=5,y=4$. Vậy sử dụng $5$ tấn nguyên liệu loại I và $4$ tấn nguyên liệu loại II thì chi phí thấp nhất

he bpt bac nhat hai an, hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn